高中数学常考题型：数列求和复习课中学教育高考中学教育高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 数列求和(复习课)【知识梳理】1公式法(分组求和法)如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合 而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前 n 项和可考虑拆项后利用公式求解 2裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：1n nk1k(1n1nk)；若an为等差数列，公差为 d，则1an an11d(1an1an1)；1n1 nn1 n等 3错位相减法 若数列an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对

2、应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前 n 项的和时，常常采用将anbn的各项乘以公比 q，然后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法 4倒序相加法 如果一个数列an，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法【常考题型】题型一、分组转化法求和 学习必备 欢迎下载【例 1】已知数列cn：112，214，318，试求cn的前 n 项和 解 令cn的前 n 项和为 Sn，则 Sn112214318n12n(123n)12141812n n

3、n1212112n112 n n12112n.即数列cn的前 n 项和为 Snn2n2112n.【类题通法】当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前 n 项和等于拆分成的每个数列前 n 项和的和【对点训练】1求和：Sn3333333333n个.解：数列 3,33,333，3333n个的通项公式 an13(10n1)Sn13(101)13(1021)13(10n1)13(1010210n)n3 1310 110n110n3 1027(10n1)n3.以使你的工作更有效率让你的日程安排更加

4、轻松自由如果你是一个忙碌的人在现在这样的日子里谁又不是呢这些如何节约时间的方法对你也许有用好的时间管理方法如何节约时间大部分人时间管理都将大部分时间用于工作所以我们长期读者都知道这是我最喜欢的效率贴士简化日程安排做更少的事但更集中于重要的事情这会大大提高你工作时间的效率减少所需的工作时间对于那些你没有做的任务怎办呢请看下面更多关于它们的建议委派如果一项任务需要完成做的更好的人并把这样的任务委派出去你有时甚至可以剪除一半你的要做事项清单里的任务工作时间设限或者调整工作时间如果你每天工作超过个小时就为自己设定一个小时的工作时限这会使你强迫自己在这个时限内集中于做必须学习必备 欢迎下载 题型二、错位

5、相减法求和【例 2】已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n2n，nN*，数列bn满足 an4log2bn3，nN*.(1)求 an，bn；(2)求数列an bn的前 n 项和 Tn.解(1)由 Sn2n2n，得当 n1 时，a1S13；当 n2 时，anSnSn14n1，所以 an4n1，n N*.由 4n1an4log2bn3，得 bn2n1，n N*.(2)由(1)知 an bn(4n1)2n1，n N*，所以 Tn3721122(4n1)2n1,2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以 2TnTn(4n1)2n34(222 2n1)(4n5)2n5.故 Tn(4n5

6、)2n5，n N*.【类题通法】如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an bn的前 n 项和时，可采用错位相减法 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式【对点训练】2已知 ann3n，求数列an的前 n 项和 Sn.解：Sn13232333n13n1n3n，13Sn132233n13nn3n1，以使你的工作更有效率让你的日程安排更加轻松自由如果你是一个忙碌的人在现在这样的日子里谁又不是呢这些如何节约时间的方法对你也许有用好的时间管理方法如何节约时间大部分人时间管理都将大部分时间用于工作所以我们长期读者都知道这是我最喜欢

7、的效率贴士简化日程安排做更少的事但更集中于重要的事情这会大大提高你工作时间的效率减少所需的工作时间对于那些你没有做的任务怎办呢请看下面更多关于它们的建议委派如果一项任务需要完成做的更好的人并把这样的任务委派出去你有时甚至可以剪除一半你的要做事项清单里的任务工作时间设限或者调整工作时间如果你每天工作超过个小时就为自己设定一个小时的工作时限这会使你强迫自己在这个时限内集中于做必须学习必备 欢迎下载 两式相减得23Sn1313213313nn3n1 13113n113n3n112123nn3n1，Sn34143n1n23n342n343n.题型三、裂项相消法求和【例 3】已知等差数列an满足：a37

8、，a5a726，an的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn1a2n1(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由于 a37，a5a726，a12d7,2a110d26，解得 a13，d2.由于 ana1(n1)d，Snn a1an2，an2n1，Snn(n2)(2)an2n1，a2n14n(n1)，因此 bn14n n1141n1n1.故 Tnb1b2bn 1411212131n1n1 1411n1 以使你的工作更有效率让你的日程安排更加轻松自由如果你是一个忙碌的人在现在这样的日子里谁又不是呢这些如何节约时间的方法对你

9、也许有用好的时间管理方法如何节约时间大部分人时间管理都将大部分时间用于工作所以我们长期读者都知道这是我最喜欢的效率贴士简化日程安排做更少的事但更集中于重要的事情这会大大提高你工作时间的效率减少所需的工作时间对于那些你没有做的任务怎办呢请看下面更多关于它们的建议委派如果一项任务需要完成做的更好的人并把这样的任务委派出去你有时甚至可以剪除一半你的要做事项清单里的任务工作时间设限或者调整工作时间如果你每天工作超过个小时就为自己设定一个小时的工作时限这会使你强迫自己在这个时限内集中于做必须学习必备 欢迎下载 n4 n1.数列 bn的前 n 项和 Tnn4 n1.【类题通法】裂项法的实质是将数列中的每项

10、(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致【对点训练】3在数列an中，an1n12n1nn1，且 bn2an an1，求数列bn的前 n 项的和 解：an1n1(12n)n2，bn2an an1，bn2n2n128(1n1n1)，数列 bn的前 n 项和为 Sn8(112)(1213)(1314)(1n1n1)8(11n1)8nn1.【练习反馈】1已知 an(1)n，数列an的前 n 项和为 Sn，则 S9与 S10的值分别是()A1,1 B1，1 C1

11、,0 D1,0 解析：选 D S91111111111，S10S9a10110.2数列an，bn满足 anbn1，ann23n2，则bn的前 10 项和为()A.14 B.512 以使你的工作更有效率让你的日程安排更加轻松自由如果你是一个忙碌的人在现在这样的日子里谁又不是呢这些如何节约时间的方法对你也许有用好的时间管理方法如何节约时间大部分人时间管理都将大部分时间用于工作所以我们长期读者都知道这是我最喜欢的效率贴士简化日程安排做更少的事但更集中于重要的事情这会大大提高你工作时间的效率减少所需的工作时间对于那些你没有做的任务怎办呢请看下面更多关于它们的建议委派如果一项任务需要完成做的更好的人并把

12、这样的任务委派出去你有时甚至可以剪除一半你的要做事项清单里的任务工作时间设限或者调整工作时间如果你每天工作超过个小时就为自己设定一个小时的工作时限这会使你强迫自己在这个时限内集中于做必须学习必备 欢迎下载 C.34 D.712 解析：选 B 依题意 bn1an1n23n21 n1n21n11n2，所以bn的前 10 项和为 S1012131314141511111212112512，故选 B.3求和：Sn11121121411214181121412n1_.解析：被求和式的第 k项为：ak1121412k1112k1122112k.所以 Sn21121122112n 2n1212212312n

13、 2n12112n112 2n112n 2n12n12.答案：2n12n12 4已知数列an的通项公式 an2n12n，其前 n 项和 Sn32164，则项数 n 等于_ 解析：an2n12n112n Snn12112n112n112n321645164，n6.答案：6 以使你的工作更有效率让你的日程安排更加轻松自由如果你是一个忙碌的人在现在这样的日子里谁又不是呢这些如何节约时间的方法对你也许有用好的时间管理方法如何节约时间大部分人时间管理都将大部分时间用于工作所以我们长期读者都知道这是我最喜欢的效率贴士简化日程安排做更少的事但更集中于重要的事情这会大大提高你工作时间的效率减少所需的工作时间对

14、于那些你没有做的任务怎办呢请看下面更多关于它们的建议委派如果一项任务需要完成做的更好的人并把这样的任务委派出去你有时甚至可以剪除一半你的要做事项清单里的任务工作时间设限或者调整工作时间如果你每天工作超过个小时就为自己设定一个小时的工作时限这会使你强迫自己在这个时限内集中于做必须学习必备 欢迎下载 5已知等比数列an中，a28，a5512.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Sn.解：(1)a5a2512864q3，q4.ana2 4n284n222n1.(2)由 bnnann22n1知 Sn12223325n22n1，从而 22Sn123225327n2

15、2n1，得(122)Sn2232522n1n22n1，即 Sn19(3n1)22n12 以使你的工作更有效率让你的日程安排更加轻松自由如果你是一个忙碌的人在现在这样的日子里谁又不是呢这些如何节约时间的方法对你也许有用好的时间管理方法如何节约时间大部分人时间管理都将大部分时间用于工作所以我们长期读者都知道这是我最喜欢的效率贴士简化日程安排做更少的事但更集中于重要的事情这会大大提高你工作时间的效率减少所需的工作时间对于那些你没有做的任务怎办呢请看下面更多关于它们的建议委派如果一项任务需要完成做的更好的人并把这样的任务委派出去你有时甚至可以剪除一半你的要做事项清单里的任务工作时间设限或者调整工作时间如果你每天工作超过个小时就为自己设定一个小时的工作时限这会使你强迫自己在这个时限内集中于做必须