微积分基本定理第二课时教案中学教育中学学案中学教育中学学案.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 1.6.2微积分基本定理 【学情分析】：在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积 学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质（奇偶性）的函数，这些函数也是可以作为研究的对象【教学目标】：（1）知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系;（2）过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系；（3）情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。【教学重点】：

2、（1）运用基本定理求定积分 （2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系 【教学难点】：（1）求函数()f x的一个原函数()F x （2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系 【教学突破点】：合理利用复合函数的求导法则来求原函数()F x【教学过程设计】：教学环节 教学活动 设计意图 一、提 出 问 题 师：上一节课，我们学习微积分基本定理（投影微积分 基 本 定 理），并 且 使 用 微 积 分 基 本 定 理 计 算 了 一 些简单的定积分下面我们看看试试计算这些定积分，看看你能发现什么结论？生：计算，讨论 例题 1：计算下列定积分：（1）20(2cossin1)dxxx；（2）121dx

3、x 解：（1）(2sincos)2cossin1xxxx 202sincos32xxx 原式=（2）0 x 时，1lnxx 12lnln1ln2ln2x 原式=师（总 结）：运 用 微 积 分 基 本 定 理 求 定 积 分 的 关 键 是求出满足()()F xf x的函数 F(x)（课本 P60）例题 2：计算下列定积分：（1）0sin dx x；（2）2sin dx x；（3）20sin dx x 解：(cos)sinxx 00sin d(cos)(cos)(cos0)2x xx，温故而知新 (2)题 主 要 是 学 生 容 易 忽视定义域，误为 12lnln(1)ln(2)x 导致无法计

4、算 学习必备 欢迎下载 22sin d(cos)(cos2)(cos)2x xx，2200sin d(cos)(cos2)(cos0)0 x xx 二、探 索 新 知 生：（可能会回答）2200sin dsin dsin dx xx xx x 师：这是一个定积分的性质：()d()d()dbcbaacf x xf x xf x x（其中acb）师：试试利用曲边梯形的面积表述所发现的结论 x+12yO x12yO x+12yO 生：定积分的值可以是正值、负值或 0 生：（书本 P60）(1)当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正值，等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴

5、下方时，定积分的值 教师利用函数图象引导学生归纳 积分基本定理进行求定积分的计算本节需要在上一节的基础上进一步理解定积分的几何意义以及利用几何意义求几何图形的面积学生在学习了几种初等函数必然会设法计算它们的一些定积分另外学生在之前还学习一些具有特殊函数函数知识的横向联系过程与方法理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系情感态度与价值观培养学生的探究精神与创新思想教学重点运用基本定理求定积分定积分的值与曲边梯形面积之间的关系教学难点求函数的一个原函数理解节一提问题教学活动设计意图师上一节课我们学习微积分基本定理投影微积分基本定理并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分下面我们看看试试计算这些定

6、积分看看你能发现什么结论生计算讨论例题计算下列定积分温故学习必备 欢迎下载 为负值，等于曲边梯形的面积的相反数 师：根据你们的结论，我们可以进一步补充课本 P51页的定积分的几何意义：dc-+ba Oxyy=f(x)一般情况下（如下图），定积分()dbaf x x的几何意义是介于 x 轴、函数()f x的图象以及直线,xa xb之间各部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x轴下方的面积取负号 师：如 果()f x在 区 间,a b上 恒 为 正，则 定 积 分()d0baf x x，为面积值；但是()d0baf x x，不能推出()f x在区间,a b上恒为正 师：由上图我们还可以

7、等出一个结论：若()f x在区间,a b上不是恒为非负的，则函数与x轴以及 直线,xa xb所围 的 图形 的面 积为()dbaf xx例如上图中，()d()d()d()d()d()d()dbcdbaacdcdbacdf xxf x xf xxf x xf x xf x xf x x 例题 3：已知()f x在,a a上连续，若()f x是奇函数，则()daaf x x 并证明你的结论。附证明：（1）()f x在,a a上连续,是奇函数，()()f xfx ，,xa a 设()()F xf x，则有()()Fxfx,()()()()()()()Fxf xfxFxx FxFx ()()F xFx

8、C（C 为常数）令0 x，则有(0)(0)FFC，0C 给出一般结论 着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：令位于 x 轴上方的曲边梯形的面积取正值，位 于 x轴下方的曲边梯形的面积取负值，这样定积分的值就是曲边梯形面积的代数积分基本定理进行求定积分的计算本节需要在上一节的基础上进一步理解定积分的几何意义以及利用几何意义求几何图形的面积学生在学习了几种初等函数必然会设法计算它们的一些定积分另外学生在之前还学习一些具有特殊函数函数知识的横向联系过程与方法理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系情感态度与价值观培养学生的探究精神与创新思想教学重点运用基本定理求定积分定积分的值与曲边梯形面积之间

9、的关系教学难点求函数的一个原函数理解节一提问题教学活动设计意图师上一节课我们学习微积分基本定理投影微积分基本定理并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分下面我们看看试试计算这些定积分看看你能发现什么结论生计算讨论例题计算下列定积分温故学习必备 欢迎下载()()F xFx()d()()()()()0aaaaf x xF xF aFaF aF a 原式得证 师：本题从几何直观 上是非常容易理解的，但是要使用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数是偶函数这个性质 和 显示出数形结合的威力 积分基本定理进行求定积分的计算本节需要在上一节的基础上进一步理解定积分的几何意义以及利用几何意义求几何

10、图形的面积学生在学习了几种初等函数必然会设法计算它们的一些定积分另外学生在之前还学习一些具有特殊函数函数知识的横向联系过程与方法理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系情感态度与价值观培养学生的探究精神与创新思想教学重点运用基本定理求定积分定积分的值与曲边梯形面积之间的关系教学难点求函数的一个原函数理解节一提问题教学活动设计意图师上一节课我们学习微积分基本定理投影微积分基本定理并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分下面我们看看试试计算这些定积分看看你能发现什么结论生计算讨论例题计算下列定积分温故学习必备 欢迎下载 复合函数的求导法则 的逆运用 容易误为()()F xFx 再次强调运用微积分

11、基本定理求定积分的关键是求出原函数 F(x)三：实 践 新 知 练习：若()f x是偶函数，则0()d2()daaaf x xf x x 证明：()f x在,a a上连续,是偶函数，()()f xfx，,xa a 设()()F xf x，则有()()Fxfx,()()()()()()()Fxf xfxFxx FxFx ()()F xFxC （C 为常数）令0 x，则有(0)(0)FFC，2(0)CF()d()()()2()aaaaf x xF xF aFaF aC 002()d2()2()(0)2()aaf x xF xF aFF aC 原式得证 积分基本定理进行求定积分的计算本节需要在上一节

12、的基础上进一步理解定积分的几何意义以及利用几何意义求几何图形的面积学生在学习了几种初等函数必然会设法计算它们的一些定积分另外学生在之前还学习一些具有特殊函数函数知识的横向联系过程与方法理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系情感态度与价值观培养学生的探究精神与创新思想教学重点运用基本定理求定积分定积分的值与曲边梯形面积之间的关系教学难点求函数的一个原函数理解节一提问题教学活动设计意图师上一节课我们学习微积分基本定理投影微积分基本定理并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分下面我们看看试试计算这些定积分看看你能发现什么结论生计算讨论例题计算下列定积分温故学习必备 欢迎下载 巩固 新知 练习：1

13、 P62 习题 1.6 B 组第 1 题（1）（3）2 P62 习题 1.6 B 组第 2 题（1）（3）总结归纳 定积分的几何意义：一般情况下，定积分()dbaf x x的几何意义是介于 x 轴、函 数()f x的 图 象 以 及 直 线,xa xb之 间 各 部 分 面 积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号 布置作业 1 P62 习题 1.6 B 组第 1 题（2）（4）2 P62 习题 1.6 B 组第 2 题（2）（4）3 P62 习题 1.6 B 组第 3 题 积分基本定理进行求定积分的计算本节需要在上一节的基础上进一步理解定积分的几何意义以及利用几何意

14、义求几何图形的面积学生在学习了几种初等函数必然会设法计算它们的一些定积分另外学生在之前还学习一些具有特殊函数函数知识的横向联系过程与方法理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系情感态度与价值观培养学生的探究精神与创新思想教学重点运用基本定理求定积分定积分的值与曲边梯形面积之间的关系教学难点求函数的一个原函数理解节一提问题教学活动设计意图师上一节课我们学习微积分基本定理投影微积分基本定理并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分下面我们看看试试计算这些定积分看看你能发现什么结论生计算讨论例题计算下列定积分温故学习必备 欢迎下载 设计反思 对于例题 3，在证明某些关键的地方要提示，也可以采用老师讲

15、授的方法，再进行模仿练习。如果实在困难，略去严格的数学证明也未尝不可。（基础题）1.22(sincos)dxxx的值是（）(A)0(B)4(C)2(D)4 答案：C 解释：2222(sincos)dcossin2xx xxx 2.曲线3cos(0)2yxx 与坐标轴所围成的面积是（）(A)2(B)3(C)52 (D)4 答案：B 解释：33222002cosdcos d(cos)dSx xx xxx 3202sinsin123xx 3.sin(02)yxx 与 x 轴所围成图形的面积为 答案：4 解释：2200sin dsin dsin dx xx xx x 20cos(cos)4xx 4.设

16、201()512xxf xx ，求20()f x dx。解释：2121200101()()()256f x dxf x dxf x dxxdxdx（难题）5.求222max,.x xdx xyo12积分基本定理进行求定积分的计算本节需要在上一节的基础上进一步理解定积分的几何意义以及利用几何意义求几何图形的面积学生在学习了几种初等函数必然会设法计算它们的一些定积分另外学生在之前还学习一些具有特殊函数函数知识的横向联系过程与方法理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系情感态度与价值观培养学生的探究精神与创新思想教学重点运用基本定理求定积分定积分的值与曲边梯形面积之间的关系教学难点求函数的一个原函数理

17、解节一提问题教学活动设计意图师上一节课我们学习微积分基本定理投影微积分基本定理并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分下面我们看看试试计算这些定积分看看你能发现什么结论生计算讨论例题计算下列定积分温故学习必备 欢迎下载 解释：由图形可知22220()max,01,12xxf xx xxxxx 0122220111.2x dxxdxx dx原式 6.设()f x为R上以T为周期的连续函数，证明对任何实数a，有0()d()da TTaf x xf x x 证明：()f x为R上以T为周期的连续函数()(),f xTf x xR 设()()F xf x，则有()()F xTf xT()()()(

18、)()()()Fxf xf xTFxTxTFxTF xT()()F xF xTC（C 为常数）()()CF xF xT 令0 x，则(0)()CFF T 令xa，则()()CF aF aT()d()()()a Ta Taaf x xF xF aTF aC 00()d()()(0)TTf x xF xF TFC 原式等证。yxo2yx122yx积分基本定理进行求定积分的计算本节需要在上一节的基础上进一步理解定积分的几何意义以及利用几何意义求几何图形的面积学生在学习了几种初等函数必然会设法计算它们的一些定积分另外学生在之前还学习一些具有特殊函数函数知识的横向联系过程与方法理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系情感态度与价值观培养学生的探究精神与创新思想教学重点运用基本定理求定积分定积分的值与曲边梯形面积之间的关系教学难点求函数的一个原函数理解节一提问题教学活动设计意图师上一节课我们学习微积分基本定理投影微积分基本定理并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分下面我们看看试试计算这些定积分看看你能发现什么结论生计算讨论例题计算下列定积分温故