高中数学专题训练七——轨迹问题中学教育中考中学教育教学研究.pdf

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1、高中数学专题训练轨迹问题 1.已知平面/平面，直线l，点lP，平面、间的距离为 4，则在内到点 P 的距离为 5 且到直线l的距离为29的点的轨迹是（）A.一个圆 B.两条平行直线 C.四个点 D.两个点 2 在四棱锥ABCDP 中，AD面 PAB，BC面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPBAPD，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是（）A.圆 B.不完整的圆 C.抛物线 D.抛物线的一部分 3.如图,定点 A 和 B 都在平面内，定点 P,PB,C 是内异于 A 和 B 的动点。且ACPC，那么动点 C 在平面内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点

2、B.一个圆，但要去掉两个点 C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点 4.如图 3，在正方体1111DCBAABCD 中，P 是侧面1BC内一动点，若 P 到直线 BC 与直线11DC的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 图 3 5.已知正方体1111DCBAABCD 的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点，若点 P到直线11DA的距离等于点 P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 6.已知异面直线 a,b 成60角，公垂线段 MN 的长等于 2，线段 AB 两

3、个端点 A、B 分别在 a,b 上移动，且线段 AB 长等于 4，求线段 AB 中点的轨迹方程。7.已知圆 E 的方程为(x-1)2+y2=1,四边形 PABQ 为该圆的内接梯形，底 AB为圆的直径且在 x 轴上，以 A、B 为焦点的椭圆 C 过 P、Q 两点(1)若直线 QP 与椭圆 C 的右准线相交于点 M，求点 M 的轨迹；(2)当梯形 PABQ 周长最大时，求椭圆 C 的方程 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与

4、直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的8.已知双曲线的两个焦点分别为 F1、F2，其中 F1又是抛物线 y2=4 x 的一个焦点，且点 A(-1,2)，B(3,2)在双曲线上(1)求点 F2的轨迹;(2)是否存在直线 y=x+m 与点 F2的轨

5、迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数 m 的值，若不存在，说明理由 9.已知常数 a 0，c=(0,a)，i=(1,0)，经过原点 O，以 c+i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)，以 i-2c为方向向量的直线交于点 P，其中R，试问：是否存在两个定点 E,F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出 E,F 的坐标，若不存在，说明理由 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线

6、是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的10.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点(2 0)M，AB边所在直线的方程为360 xy 点(11)T，在AD边所在直线上（I）求AD边所在直线的方程；（II）求矩形ABCD外接圆的方程；（III）若动圆P过点(2 0)N，且与矩形ABC

7、D的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程 D TNO A B C M x y迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线

8、的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的11.如图，设抛物线2:xyC的焦点为 F，动点 P 在直线02:yxl上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.x y O A B P F l 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直

9、线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的12.已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是 F1（c，0）、F2（c，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2|1aQF点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足.0|,022TFTFPT （）设x为

10、点 P 的横坐标，证明xacaPF|1；（）求点 T 的轨迹 C 的方程；（）试问：在点T 的轨迹 C 上，是否存在点M，使F1MF2的面积 S=.2b若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线

11、成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的13.过抛物线 y2=4x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，O 为坐标原点.求AOB 的重心 G 的轨迹 C 的方程.14.已知圆22:1C xy和点(2,0)Q，动点M到圆C的切线长与|MQ的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 15.如图，圆1O与圆2O的半径都是 1，421OO，过动点 P 分别作圆1O、圆2O的切线 PM、PN（M、N 分别为

12、切点），使得PNPM2试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦

13、点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的16.已知椭圆 C：xy221691和点 P（1，2），直线 l 经过点 P 并与椭圆 C 交于 A、B 两点，求当 l 倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。17.已知棱长为 3 的正方体ABCDA B C D1111中，长为 2 的线段 MN 的一个端点在DD1上运动，另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，求 MN 中点 P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。18.（经典问题，值得一做，很能训练学生的思维能力）三峡工程需修建一个土石基坑，基坑成矩形ABCD，按规定，挖 出 的 土 方 必 须 沿 道 路PA或PB

14、送 到P点 处。已 知mABmBCmPBmPA160,60,150,100，能否在池中确定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路PA送土方较近，而另一侧的点沿道路PB送土方较近如果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出轨迹方程。迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭

15、圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的19.设点 A和 B 为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知 OAOB，OMAB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 20.某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为 3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在

16、四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的答案：1.如图 1，设点 P

17、在平面内的射影是 O，则 OP 是、的公垂线，OP=4。在内到点 P 的距离等于 5 的点到 O 的距离等于 3，可知所求点的轨迹是内在以 O 为圆心，3 为半径的圆上。又在内到直线l的距离等于29的点的集合是两条平行直线 m、n，它们到点 O的距离都等于32174)29(22，所以直线 m、n 与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选 C。2.因为AD面PAB，BC面PAB，所以AD90CBPDAP8BC,4AD,CPBAPDCPBtanPBCBPAADAPDtan2ADCBPAPB2y)3x(y)3x(|PA|PB|222209x10yx22因为PCAC，且 PC 在内

18、的射影为 BC，所以BCAC，即90ACB。所以点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆且去掉 A、B 两点，故选 B。4.因为 P 到11DC的距离即为 P 到1C的距离，所以在面1BC内，P 到定点1C的距离与 P 到定直线 BC 的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点 P 的轨迹为抛物线，故选 D。5.以 A 为原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系。设 P（x,y），作ADPE 于 E、11DAPF 于 F，连结 EF，易知 1x|EF|PE|PF|2222 又作CDPN 于 N，则|1y|PN|。依题意|PN|PF|，即|1y|1x2，迹是一个圆四个点两条平行直线两个点

19、在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的化简得0y2yx22 故动点

20、 P 的轨迹为双曲线，选 B。6.如图，易知线段 AB 的中点 P 在公垂线段 MN 的中垂面上，直线 a、b为平面内过 MN 的中点 O 分别平行于 a、b 的直线，aAA 于A，bBB 于B，则PBAAB，且 P 也为BA的中点。由已知 MN=2，AB=4，易知,2AP,1AA得32BA。则问题转化为求长等于32的线段BA的两个端点A、B分别在 a、b上移动时其中点 P 的轨迹。现以OBA的角平分线为 x 轴，O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系。设)y,x(P，n|OB|,m|OA|，则)n21,n23(B),m21,m23(A)nm(41y),nm(43x 222)32()nm(41

21、)nm(43 消去 m、n，得线段 AB 的中点 P 的轨迹为椭圆，其方程为1y9x22。7.解(1)设椭圆 C：b2(x-1)2+a2y2=a2 b2(a b 0)，由题意知 2c=2,故 c=1,如 图9-9，从 而 可 得 右 准 线 的 方 程 x=a2+1,设 M(x,y)，P(x0,y0)，连 PB，则有|PA|2+|PB|2=|AB|2,(|PA|+|PB|)2-2|PA|PB|=4，由此可得 (2a)2-22|yP|=4，即 yP 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点

22、是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的=(a2-1)，于是，由得 y=(x-2)又 点 P(x0,y0)是圆 E 上的点，且不与 AB 重合，0|y0|1，故 有 0 a2-1 1

23、,即 1 a2 2 由得 2 x 3，点 M 的轨迹是两条线段，其方程为 y=(x-2)(2 x 0 A(-1,2)，B(3,2)在已知双曲线上，且|AF1|=|BF1|=22于是()当|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|时，有|AF2|=|BF2|,再代入得：F2的轨迹为直线 x=1 除去两个点 F1(1,0),D(1,4)()当|AF1|-|AF2|=-(|BF1|-|BF2|)时，有|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|=24 4=|AB|,点 F2的轨迹是以 A、B 两点为焦点的椭圆 Q，且除去 F1(1,0)，D(1,4)两点，故所求的轨迹方程为 l：x=1 与 Q

24、：14)2(8)1(22yx(y0，y 4)(2)设存在直线 L：y=x+m 满足条件()若 L 过点 F1或点 D，F1、D 两点既在直线 l：x=1 上，又在椭圆 Q 上，但不在 F2的轨迹上，L 与 F2的轨迹只有一个公共点，不合题意()若 L 不过点 F1和 D 两点，(m-1,m3)，则 L 与 l 必有一个公共点 E，且 E 点不在椭圆 Q 上，要使 L 与 F2的轨迹有且只有两个公共点，则 L 必与 Q 有且只有一个公共点 由,14)2(8)1(,22yxmxy得 3x2-(10-4m)x+2m2-8m+1=0,从而，有=(10-4m)2-12(2m2-8m+1)=-8(m2-2

25、m-11),图 9-9 y x A P Q B O 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是

26、抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的当=0 时，有321m即存在符合条件的直线 y=x+321 9.解 c+i=(,a)，i-2c=(1,-2a),由向量平行关系得 OP 与 AP 的方程分别为y=ax，y-a=-2ax 由此消去参数，得 点P(x,y)满足方程为1)2()2(81222aayx,a 0,从而，有(1)当22a时，方程表示的是圆，不存在符合题意的两个定点 E，F；(2)当 022a时，方程表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：)2,2121(),2,2121(22aaFaaE；(3)当22a时，方程表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定

27、点，即为椭圆的两个焦点：)21(21,0(,)21(21,0(22aaFaaE 10.解：（I）因为AB边所在直线的方程为360 xy，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3 又因为点(11)T，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为13(1)yx 即320 xy （II）由36032=0 xyxy ，解得点A的坐标为(02)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为(2 0)M，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心 又22(20)(02)2 2AM 从而矩形ABCD外接圆的方程为22(2)8xy（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以2 2PMPN，即2 2P

28、MPN 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否

29、存在直线与点的故点P的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为2 2的双曲线的左支 因为实半轴长2a，半焦距2c 所以虚半轴长222bca 从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(2)22xyx 11.解：（1）设切点 A、B 坐标分别为2201110(,)(,)()x xx xxx和，切线 AP 的方程为：;02200 xyxx 切线 BP 的方程为：;02211xyxx 解得 P 点的坐标为：1010,2xxyxxxPP 所以APB 的重心 G 的坐标为 PPGxxxxx310，222201010101014(),3333PpPGxyyyyxxx xxxx xy 所以243GGpxyy，由点 P 在直线

30、 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22xxyxyx即 （2）方法1：因为2201000 111111(,),(,),(,).4244xxFAx xFPx xFBx x 由于 P 点在抛物线外，则.0|FP 20100100122200111()()2444cos,|1|()4xxxx xxx xFP FAAFPFPFAFPFPxx 同理有20110110122211111()()2444cos,|1|()4xxxx xxx xFP FBBFPFPFBFPFPxx AFP=PFB.方法 2：当,0,0,0000101yxxxxx则不妨设由于时所以 P 点坐

31、标为)0,2(1x，则P点到直线AF的距离为：,4141:;2|12111xxxyBFxd的方程而直线 即.041)41(1121xyxxx 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭

32、圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的所以 P 点到直线 BF 的距离为：2211111122222111|11|()|()|4 2442121()()44xxxxxxdxxx 所以 d1=d2，即得AFP=PFB.当001xx时，直线 AF 的方程：202000011114(0),()0,4044xyxxxx yxx 即 直线 BF 的方程：212111111114(0),()0,4044xyxxxx yxx 即 所以 P 点到直线 AF 的距离为：22201010010001122

33、22000111|()()|)()|42424121()44xxxxxx xxxxxdxxx 同理可得到 P 点到直线 BF 的距离2|012xxd，因此由 d1=d2，可得到AFP=PFB.12.（）证法一：设点 P 的坐标为).,(yx 由 P),(yx在椭圆上，得.)()()(|222222221xacaxabbcxycxPF 由0,acxacaax知，所以.|1xacaPF 证法二：设点P 的坐标为).,(yx记,|,|2211rPFrPF 则.)(,)(222221ycxrycxr 由.|,4,211222121xacarPFcxrrarr得 证法三：设点 P 的坐标为).,(yx椭

34、圆的左准线方程为.0 xaca 由椭圆第二定义得accaxPF|21，即.|21xacacaxacPF 由0,acxacaax知，所以.|1xacaPF 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两

35、点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的（）解法一：设点 T 的坐标为).,(yx 当0|PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上.当|0|0|2TFPT且时，由02 TFPT，得2TFPT.又|2PFPQ，所以 T 为线段 F2Q 的中点.在QF1F2中，aQFOT|21|1，所以有.222ayx 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是.222ayx 解法二：设点 T 的坐标为).,(yx 当0|PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上.当|0|0|2TFPT且时，由0

36、2 TFPT，得2TFPT.又|2PFPQ，所以 T 为线段 F2Q 的中点.设点 Q 的坐标为（yx,），则.2,2yycxx 因此.2,2yycxx 由aQF2|1得.4)(222aycx 将代入，可得.222ayx 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是.222ayx （）解法一：C 上存在点 M（00,yx）使 S=2b的充要条件是 .|221,2022020bycayx 由得ay|0，由得.|20cby 所以，当cba2时，存在点 M，使 S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点 M 当cba2时，),(),(002001yxcMFyxcMF，由2222022021bcaycxMF

37、MF，迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存

38、在直线与点的 212121cos|MFFMFMFMFMF，22121sin|21bMFFMFMFS，得.2tan21 MFF 解法二：C 上存在点 M（00,yx）使 S=2b的充要条件是 .|221,2022020bycayx 由得.|20cby 上式代入得.0)(2224220cbacbacbax 于是，当cba2时，存在点 M，使 S=2b；当cba2时，不存在满足条件的点 M 当cba2时，记cxykkcxykkMFMF00200121,，由,2|21aFF知9021MFF，所以.2|1|tan212121kkkkMFF 13.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线 l 不垂直于 x

39、轴时，设方程为 y=k（x1），代入 y2=4x，得 k2x2x（2k2+4）+k2=0.设 l 方程与抛物线相交于两点，k0.设点 A、B 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），根据韦达定理，有 x1+x2=22)2(2kk，从而 y1+y2=k（x1+x22）=k4.设AOB 的重心为 G（x，y），x=3021xx=32+234k，y=3021yy=k34，y2=34x98.当 l 垂直于 x轴时，A、B 的坐标分别为（1，2）和（1，2），AOB 的重心 G（32，0），也适合 y2=34x98，因此所求轨迹 C 的方程为 y2=34x98.14.解：设点(,)M x y，点M到

40、圆C的切线的切点为P，则|MPMQ 则 消去 k，得 x=32+34（43y）2，迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知

41、双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的 2222|1MPMOOPxy 22|(2)MQxy 2222 1(2)xyxy 整理，得：222222(1)(1)4(14)0 xyx 动点M的轨迹方程为222222(1)(1)4(14)0 xyx 当1时，它表示直线450 x 当1时，它的方程为222222221 3()1(1)xy，表示以222(,0)1为圆心，221 3|1|为半径的圆。15.解：以21OO的中点O 为原点，21OO所在的 直线为x轴，建立平面直角坐标系，则)0,2(),0,2(21OO 由已知PNPM2可得：222PNPM 因为两

42、圆的半径均为1，所以)1(212221POPO 设),(yxP，则 1)2(21)2(222yxx，即33)6(22yx 所以所求轨迹方程为：33)6(22yx（或031222xyx）16.解：设弦中点为 M（x，y），交点为A xyB xy()()1122，、，。当 M 与 P 不重合时，A、B、M、P 四点共线。()()()()yyxxxy212112 由xyxy1212222216911691，两式相减得 P O 1 O 2 N M 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于

43、和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的()()()()xxxxyyyy121212121690 又xxxyyy121222，216291212x xxy yy()()由可得：0329169

44、22yxyx 当点 M 与点 P 重合时，点 M 坐标为（1，2），适合方程。弦中点的轨迹方程为：032916922yxyx 17.由于 M、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点 P的几何性质，连结DP，因为 MN=2，所以 PD=1，因此点 P 的轨迹是一个以 D为球心，1 为半径的球面在正方体内的部分，所以点 P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163。18.解：如图所示，以AB所在直线为x轴，以AB中点为原点建立直角坐标系。若这样界线存在，如图设点M为此曲线上任一点，则由题义得：BMPBAMPA，即 100150PAPBMBMA5

45、0 M点的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支（在矩形ABCD内部的一段）。方程为：1577562522yx 25x（在矩形ABCD内部的一段）。19.解法一 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)(x0)直线 AB的方程为 x=my+a 由 OMAB，得 m=yx 由 y2=4px 及 x=my+a，消去 x,得 y24pmy4pa=0 所以 y1y2=4pa,x1x2=22122()(4)y yap 所以，由 OAOB，得 x1x2=y1y2 所以244apaap NAMBoyx迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整

46、的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的故 x=my+4p,用 m=yx代入，得 x2+y24px=0(x0)故动点 M 的轨迹方程为

47、 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以 2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设 OA 的方程为ykx，代入 y2=4px得222(,)ppAkk 则OB的方程为1yxk，代入 y2=4px得2(2,2)Bpkpk AB的方程为2(2)1kyxpk，过定点(2,0)Np，由 OMAB，得 M 在以 ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以 2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法三 设 M(x,y)(x0)，OA 的方程为ykx，代入 y2=4px得222(,)ppAkk 则OB的方程为1yxk，代

48、入 y2=4px得2(2,2)Bpkpk 由 OMAB，得 M 既在以 OA 为直径的圆 222220ppxyxykk上，又在以 OB 为直径的圆 222220 xypk xpky上（O 点除外），2k+得 x2+y24px=0(x0)故动点 M 的轨迹方程为 x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点 20.解 设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B，问题转化为求两等圆 P、Q,使它们与O 相内切，与A、B 相外切 建立如图所示的坐标系，并设P 的半径为r,则|PA|+|PO|=(1+r)+(1 5r)=2 5 点 P 在以 A、

49、O 为焦点，长轴长 2 5 的椭圆上，其方程为 3225)41(1622yx=1 同理 P 也在以 O、B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆上，其方程为(x21)2+34y2=1 由、可解得)1412,149(),1412,149(QP，QPBAoyx迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正方体的棱长为点是平面内的动点若点到直线的距离等于点到直线的距离则动点的轨迹所

50、在的曲线是抛物线双曲线椭圆直线已知异面直线成角公垂线梯形底为圆的直径且在轴上以为焦点的椭圆过两点若直线与椭圆的右准线相交于点求点的轨迹当梯形周长最大时求椭圆的方程已知双曲线的两个焦点分别为其中又是抛物线的一个焦点且点在双曲线上求点的轨迹是否存在直线与点的r=73)1412()149(2322 故所求圆柱的直径为76 cm 迹是一个圆四个点两条平行直线两个点在四棱锥中面面底面为梯形满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是圆不完整的圆抛物线抛物线的一部分如图定点和都在平面内定点是内异于和的动点且的轨迹是那么动点在平面内一条线段但要若到直线与直线的距离相等则动点的轨迹所在的曲线是直线圆双曲线抛物线图已知正