微积分下册知识点高等教育微积分高等教育微积分.pdf

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1、微积分下册知识点 第一章 空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算 1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设),(zyxaaaa，),(zyxbbbb，则),(zzyyxxbabababa,),(zyxaaaa；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222zyxr；2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA 3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4）方向余弦：rzryrxcos ,cos ,cos 1coscoscos

2、222 5）投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二）数量积，向量积 1、数量积：cosbaba 1）2aaa 2）ba0 ba zzyyxxbabababa 2、向量积：bac 大小：sinba，方向：cba,符合右手规则 1）0aa 2）ba/0ba zyxzyxbbbaaakjiba 运算律：反交换律 baab （三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念：0),(:zyxfS 2、旋转曲面：yoz面上曲线0),(:zyfC，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf 绕z轴旋转一周：0),(22zyxf 3、柱面：0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面 4、

3、二次曲面（不考）1）椭圆锥面：22222zbyax 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在

4、平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距2）椭球面：1222222czbyax 旋转椭球面：1222222czayax 3）单叶双曲面：1222222czbyax 4）双叶双曲面：1222222czbyax 5）椭圆抛物面：zbyax2222 6）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax2222 7）椭圆柱面：12222byax 8）双曲柱面：12222byax 9）抛物柱面：ayx2 （四）空间曲线及其方程 1、一般方程：0),(0),(zyxGzyxF 2、参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐

5、标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距3、空间曲线在坐标面上的投影 0)

6、,(0),(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH （五）平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA 法向量：),(CBAn，过点),(000zyx 2、一般式方程：0DCzByAx 截距式方程：1czbyax 3、两平面的夹角：),(1111CBAn，),(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA 21 0212121CCBBAA 21/212121CCBBAA 4、点),(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（六）空间直线及其方程 1、一般式方程

7、：0022221111DzCyBxADzCyBxA 2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量

8、过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距 方向向量：),(pnms，过点),(000zyx 3、参数式方程：ptzzntyymtxx000 4、两直线的夹角：),(1111pnms，),(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm 21LL 0212121ppnnmm 21/LL 212121ppnnmm 5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm/L 0CpBnAm L pCnBmA 第二章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念

9、1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：),(yxfz，图形：3、极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(00 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方

10、程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距4、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 5、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000 6、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。8、全微分：设),(yxfz，则dddzzz

11、xyxy（二）性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法 1）定义：u x 2）复合函数求导：链式法则 z 若(,),(,),(,)zf u v uu x y vv x y，则 v y 偏导数存在 函数可微 函数连续 偏导数连续 充分条件 必要条件 定义 1 2 2 3 4 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕

12、轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距zzuzvxuxvx ，zzuzvyuyvy 3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用 1、极值 1）无条件极值：求函数),(yxfz 的极值 解方程组 00yxff 求出所有驻点，对于每一个驻点),(0

13、0yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，若02 BAC，0A，函数有极小值，若02 BAC，0A，函数有极大值；若02 BAC，函数没有极值；若02 BAC，不定。2）条件极值：求函数),(yxfz 在条件0),(yx下的极值 令：),(),(),(yxyxfyxL Lagrange 函数 解方程组 0),(00yxLLyx 2、几何应用 1）曲线的切线与法平面 曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),(000zyxM（对应参数为0t）处的 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模

14、方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx 法平面方程为：0)()()(000

15、000zztzyytyxxtx 2）曲面的切平面与法线 曲面0),(:zyxF，则上一点),(000zyxM处的切平面方程为：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 第三章 重积分（一）二重积分（一般换元法不考）1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标 bxaxyxyxD)()(),(21，21()()(,)d dd(,)dbxaxDf x yx yxf x y

16、y dycyxyyxD)()(),(21，线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投

17、影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距21()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx 2）极坐标)()(),(21D 21()()(,)d d(cos,sin)dDf x yx ydf （二）三重积分 1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2、性质：3、计算：1）直角坐标 Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(-“先二后一”2）柱面坐标 zzyxsincos，(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz 3）球面坐标

18、cossinsincossinrzryrx 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的

19、投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr （三）应用 曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122 第五章 曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分 1、定义：01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 2、性质：1）(,)(,)d(,)d(,)d.LLLf x yx ysf x ysg x ys 2）12(,)d(,)d(,)d.LLLf x ysf x ysf x ys ).(21LLL 3）在L上，若),(),(yxgyxf，则(,)d

20、(,)d.LLf x ysg x ys 4）lsLd(l 为曲线弧 L的长度)3、计算：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则 22(,)d(),()()()d ,()Lf x ysfttttt （二）对坐标的曲线积分 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次

21、曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距1、定义：设 L 为xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在 L 上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(.向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d

22、 2、性质：用L表示L的反向弧,则LLryxFryxFd),(d),(3、计算：设),(,),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则(,)d(,)d(),()()(),()()d LP x yxQ x yyPtttQtttt 4、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为)()(tytxL：，L上点),(yx处的切向量的方向角为：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLP xQ yPQs.（三）格林公式 1、格林公式：设区域 D

23、 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(yxQyxP在 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面

24、的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距D 上具有连续一阶偏导数,则有LDyQxPyxyPxQdddd 2、G为一个单连通区域，函数),(,),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则 yPxQ 曲线积分 ddLP xQ y在G内与路径无关 曲线积分dd0LP xQ y yyxQxyxPd),(d),(在G内为某一个函数),(yxu的全微分（四）对面积的曲面积分 1、定义：设为光滑曲面，函数),(zyxf是定义在上的一个有界函数，定义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(10 2、计算：“一投二换三代入”),(:yxzz，xyDyx),(，则 yx

25、yxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五）对坐标的曲面积分 1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 2、定义：设为有向光滑曲面，函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP是定义在上的有界函数，定义 01(,)d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS 同理，01(,)d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS 01(,)d dlim(,)()niiiiz xiQ x y zz xRS 线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影

26、向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距3、性质：1）21，则 12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR

27、x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y 2）表示与取相反侧的有向曲面,则d dd dR x yR x y 4、计算：“一投二代三定号”),(:yxzz，xyDyx),(，),(yxzz 在xyD上具有一阶连续偏导数，),(zyxR在上连续，则(,)d d,(,)d dx yDR x y zx yR x y z x yx y,为上侧取“+”，为下侧取“-”.5、两类曲面积分之间的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd 其中,为有向曲面在点),(zyx处的法向量的方向角。（六）高斯公式 1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向

28、取外侧,函数,P Q R在上有连续的一阶偏导数,则有 yxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd 或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd（七）斯托克斯公式 1、斯托克斯公式：设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,的侧与 的正向线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马

29、鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距符合右手法则,),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有 zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddd dddddd 为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd 第六章 常微分方程 1、微分方程的基本概念 含未知函数的导数(或微分)

30、的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程 可分离变量的微分方程：对于第 1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：2、齐次微分方程：)()(d)(d)(ygxhdxdyxxfyyg或xxfyygd)(d)()()(yxxxyy或者

31、,)(可将其化为可分离方程中，令在齐次方程xyuxyy ,xuyxyu，则令 ,udxduxdxdy线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点

32、参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距 代入微分方程即可。可通过坐标平移去掉常数项。3、一阶线性微分方程 型如 称为一阶线性微分方程。其对应的齐次线性微分方程的解为 利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解 4、伯努利方程：于是 U的通解为：5、全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程（1）（2）型的微分方程),(6.4.2)1()(nnyxfy（3）型的微分方程),(6.4.3 yyfy 8、线性微分方程解的结构（1）函数组的线性无关和线性相关（2）线性微分方程的性质和解的结构 叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特

33、解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解.)()1(的方程形如cbyaxfy则令,cbyaxu,ybau).(ufbau原方程可化为.)()2(222111的方程形如cybxacybxafy)()(xqyxpy d)(。xxpCey )d)(d)(d)(。Cxexqeyxxpxxp)1 ,0()()(nyxqyxpyn得将方程两端同除以,ny)1 ,0()()(1nxqyxpyynn dd)1(dd 1，则令xyynxuyunn 11dd，dxdunxyyn )()1(d)()1(d)()1(。Cexqneuxxpnxxpn型的微分方程)()(xfyn d )()(21d)(12xyexy

34、xyxxp线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其

35、应用一基本概念距（3）刘维尔公式（4）二阶非齐线性微分方程解的结构 特解的求解过程主要是通过常数变异法，求解联立方程的解：9、二阶常系数线性微分方程（1）齐次线性微分方程的通解 特征方程：3)特征方程有一对共轭复根 （2）二阶常系数非齐线性微分方程的特解 若 a 不是其特征方程的特征根，则 若 a 是其特征方程的单特征根，则 若 a 是其特征方程的 K重特征根，则 )(*)(1xyxyy 0)()()()(2211，xyxCxyxC )()()()()(2211。xfxyxCxyxC)()()()()(*2211xyxCxyxCxy 02。qp )121，则实根特征方程有两个不同的xxeyey

36、2121 ，21212211。其通解为：xxeCeCyCyCy )221，则实重根特征方程有 22422,1，pqpp即可另外一个线性无关的解再利用刘维尔公式求出的一个解。是方程此时，)1 (11xey i i21，则，)i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy )sincos(21。或xCxCeyx )()(.1的情形xPexfnx )(*。xQeynx )(*。xQexynx )(*。xQexynxk ,sin)(cos)()(.2的情形xxPxxPexfnlx 特解可设为不是特征根时，方程的当i ;sin)(cos)()2()1(xxQxxQxeymmx 解可设为是特征根时，方程的

37、特当i ;sin)(cos)()2()1(xxQxxQxeymmx线共面线性运算加减法数乘空间直角坐标系坐标轴坐标面卦限向量的坐标分解式利用坐标做向量的运算设则向量的模方向角投影向量的模两点间的距离公式方向角非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦投影其中为向量与的夹面上曲线绕轴旋转一周绕轴旋转一周柱面表示母线平行于轴准线为的柱面二次曲面不考椭圆锥面椭球面旋转椭球面单叶双曲面双叶双曲面椭圆抛物面双曲抛物面马鞍面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四空间曲线及其方程一般方程参数方方程截距式方程两平面的夹角点到平面的距离六空间直线及其方程一般式方程对称式点向式方程方向向量过点参数式方程两直线的夹角直线与平面的夹角直线与它在平面上的投影的夹角第二章多元函数微分法及其应用一基本概念距