《平面向量》测试题及答案1中学教育试题中学教育试题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 平面向量 一、选择题 1在ABC 中，ABAC，D，E 分别是 AB，AC 的中点，则()AAB与AC共线 BDE与CB共线 CAD与AE相等 DAD与BD相等 2下列结论正确的是()A向量AB与BA是两平行向量 B若 a，b都是单位向量，则 ab C若ABDC，则 A，B，C，D 四点构成平行四边形 D两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3，1)，B(1，3)，若点 C 满足 OCOAOB，其中，R，且1，则点 C 的轨迹方程为()A3x2y110 B(x1)2(y1)25 C2xy0 Dx2y50 4已知 a、b

2、是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则 a与 b的夹角是()A6 B3 C23 D56 5已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A，C)，则AP()A(ABAD)，(0，1)B(ABBC)，(0，22)C(ABAD)，(0，1)D(ABBC)，(0，22)6ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，则DF()AEFED BEFDE CEFAD DEFAF 7若平面向量 a 与 b 的夹角为 60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量 a 的模为()A2 B4 C6 D12 8点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OAOBO

3、BOCOCOA，则点(第 1 题)学习必备 欢迎下载 O 是ABC 的()A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的交点 C三条中线的交点 D三条高的交点 9在四边形 ABCD 中，ABa2b，BC4ab，DC5a3b，其中 a，b不共线，则四边形 ABCD 为()A平行四边形 B矩形 C梯形 D菱形 10如图，梯形 ABCD 中，|AD|BC|，EFABCD则相等向量是()AAD与BC BOA与OB CAC与BD DEO与OF 二、填空题 11已知向量OA(k，12)，OB(4，5)，OC(k，10)，且 A，B，C 三点共线，则k 12 已知向量 a(x3，x23x4)与MN相等，

4、其中 M(1，3)，N(1，3)，则 x 13 已知平面上三点 A，B，C 满足|AB|3，|BC|4，|CA|5，则ABBCBCCACAAB的值等于 14给定两个向量 a(3，4)，b(2，1)，且(amb)(ab)，则实数m 等于 15已知 A，B，C 三点不共线，O 是ABC 内的一点，若OAOBOC0，则 O 是ABC 的 (第 10 题)与是两平行向量若都是单位向量则若则四点构成平行四边形两向量相等的充要条件是它们的始点终点相同平面直角坐标系中为坐标原点已知两点若点满足其中且则点的轨迹方程为已知是非零向量且满足则与的夹角是已知四边形是菱点满足则点学习必备欢迎下载是的三个内角的角平分线

5、的交点三条边的垂直平分线的交点三条中线的交点三条高的交点在四边形中其中不共线则四边形为平行四边形矩形梯形菱形如图梯形中则相等向量是与与与与二填空题第题已知共线是内的一点若则是的学习必备欢迎下载设平面内有四边形和点若则四边形的形状是三解答题已知点若点满足试求为何值时点在第三象限内如图已知分别是的中点且与交于求第题如图在正方形中分别为的中点求证利用向量证明已学习必备 欢迎下载 16设平面内有四边形 ABCD 和点 O，OAa，OBb，OCc,ODd，若 acbd，则四边形 ABCD 的形状是 三、解答题 17已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点 P 满足APABAC(R)，试求

6、 为何值时，点 P 在第三象限内？18如图，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D 分别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于 F，求DF 19如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，求证：AFDE(利用向量证明)20已知向量 a(cos ，sin )，向量 b(3，1)，求|2ab|的最大值(第 18 题)(第 19 题)与是两平行向量若都是单位向量则若则四点构成平行四边形两向量相等的充要条件是它们的始点终点相同平面直角坐标系中为坐标原点已知两点若点满足其中且则点的轨迹方程为已知是非零向量且满足则与的夹角是已知四边形是菱点满

7、足则点学习必备欢迎下载是的三个内角的角平分线的交点三条边的垂直平分线的交点三条中线的交点三条高的交点在四边形中其中不共线则四边形为平行四边形矩形梯形菱形如图梯形中则相等向量是与与与与二填空题第题已知共线是内的一点若则是的学习必备欢迎下载设平面内有四边形和点若则四边形的形状是三解答题已知点若点满足试求为何值时点在第三象限内如图已知分别是的中点且与交于求第题如图在正方形中分别为的中点求证利用向量证明已学习必备 欢迎下载 参考答案 一、选择题 1B 解析：如图，AB与AC，AD与AE不平行，AD与BD共线反向 2A 解析：两个单位向量可能方向不同，故 B 不对若ABDC，可能 A，B，C，D 四点共

8、线，故 C 不对两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故 D 也不对 3D 解析：提示：设OC(x，y)，OA(3，1)，OB(1，3)，OA(3，)，OB(，3)，又OAOB(3，3)，(x，y)(3，3)，33yx，又1，由此得到答案为 D 4B 解析：(a2b)a，(b2a)b，(a2b)aa22ab0，(b2a)bb22ab0，a2b2，即|a|b|a|22|a|b|cos 2|a|2cos 解得 cos 21 a与 b的夹角是3 5A 解析：由平行四边形法则，ABADAC，又ABBCAC，由 的范围和向量数乘的长度，(0，1)6D 解析：如图，AFDE，DFDEEFEFAF (第

9、 6 题)7C 解析：由(a2b)(a3b)72，得 a2ab6b272 而|b|4，ab|a|b|cos 60 2|a|，|a|22|a|9672，解得|a|6 8D 解析：由 OAOBOBOCOCOA，得OAOBOCOA,(第 1 题)与是两平行向量若都是单位向量则若则四点构成平行四边形两向量相等的充要条件是它们的始点终点相同平面直角坐标系中为坐标原点已知两点若点满足其中且则点的轨迹方程为已知是非零向量且满足则与的夹角是已知四边形是菱点满足则点学习必备欢迎下载是的三个内角的角平分线的交点三条边的垂直平分线的交点三条中线的交点三条高的交点在四边形中其中不共线则四边形为平行四边形矩形梯形菱形如

10、图梯形中则相等向量是与与与与二填空题第题已知共线是内的一点若则是的学习必备欢迎下载设平面内有四边形和点若则四边形的形状是三解答题已知点若点满足试求为何值时点在第三象限内如图已知分别是的中点且与交于求第题如图在正方形中分别为的中点求证利用向量证明已学习必备 欢迎下载 即OA(OCOB)0，故BCOA0，BCOA，同理可证ACOB，O 是ABC 的三条高的交点 9C 解析：ADABBCDC8a2b2BC，ADBC且|AD|BC|四边形 ABCD 为梯形 10D 解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量 二、填空题 1132解析：A，B，C 三点共线等价于AB，BC共线，A

11、BOBOA(4，5)(k，12)(4k，7)，BCOCOB(k，10)(4，5)(k4，5)，又 A，B，C 三点共线，5(4k)7(k4)，k32 121解析：M(1，3)，N(1，3)，MN(2，0)，又 aMN，043232xxx 解得411xxx或 x1 1325解析：思路 1：AB3，BC4，CA5，ABC 为直角三角形且ABC90，即ABBC，ABBC0，ABBCBCCACAAB BCCACAAB CA(BCAB)(CA)22CA25 思路 2：AB3，BC4，CA5，ABC90，cosCABCAAB53，cosBCACABC54 与是两平行向量若都是单位向量则若则四点构成平行四边

12、形两向量相等的充要条件是它们的始点终点相同平面直角坐标系中为坐标原点已知两点若点满足其中且则点的轨迹方程为已知是非零向量且满足则与的夹角是已知四边形是菱点满足则点学习必备欢迎下载是的三个内角的角平分线的交点三条边的垂直平分线的交点三条中线的交点三条高的交点在四边形中其中不共线则四边形为平行四边形矩形梯形菱形如图梯形中则相等向量是与与与与二填空题第题已知共线是内的一点若则是的学习必备欢迎下载设平面内有四边形和点若则四边形的形状是三解答题已知点若点满足试求为何值时点在第三象限内如图已知分别是的中点且与交于求第题如图在正方形中分别为的中点求证利用向量证明已学习必备 欢迎下载 根据数积定义，结合图(右

13、图)知ABBC0，BCCABCCAcosACE45(54)16，CAABCAABcosBAD35(53)9 ABBCBCCACAAB016925 14323解析：amb(32m，4m)，ab(1，5)(amb)(ab)，(amb)(ab)(32m)1(4m)50m323 15 答案：重心 解析：如图，以OA，OC为邻边作AOCF交 AC 于点 E，则OFOAOC，又 OAOCOB，OF2OEOBO 是ABC 的重心 16答案：平行四边形 解析：acbd，abdc，BACD 四边形 ABCD 为平行四边形 三、解答题 17 1 解析：设点 P 的坐标为(x，y)，则AP(x，y)(2，3)(x2

14、，y3)ABAC(5，4)(2，3)(7，10)(2，3)(3，)(5，7)(35，7)APABAC，(x2，y3)(35，17)713532yx 即7455yx 要使点 P 在第三象限内，只需074055 解得 1 18DF(47，2)(第 15 题)(第 18 题)D(第 13 题)与是两平行向量若都是单位向量则若则四点构成平行四边形两向量相等的充要条件是它们的始点终点相同平面直角坐标系中为坐标原点已知两点若点满足其中且则点的轨迹方程为已知是非零向量且满足则与的夹角是已知四边形是菱点满足则点学习必备欢迎下载是的三个内角的角平分线的交点三条边的垂直平分线的交点三条中线的交点三条高的交点在四边

15、形中其中不共线则四边形为平行四边形矩形梯形菱形如图梯形中则相等向量是与与与与二填空题第题已知共线是内的一点若则是的学习必备欢迎下载设平面内有四边形和点若则四边形的形状是三解答题已知点若点满足试求为何值时点在第三象限内如图已知分别是的中点且与交于求第题如图在正方形中分别为的中点求证利用向量证明已学习必备 欢迎下载 解析：A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，AB(4，3)，AC(3，5)又 D 是 BC 的中点，AD21(ABAC)21(43，35)21(7，8)(27，4)又 M，N 分别是 AB，AC 的中点，F 是 AD 的中点，DFFD21AD21(27，4)(47，2)19证明：设

16、ABa，ADb，则AFa21b，EDb21a AFED(a21b)(b21a)21b221a243ab 又ABAD，且ABAD，a2b2，ab0 AFED0，AFED 本题也可以建平面直角坐标系后进行证明 20分析：思路 1：2ab(2cos 3，2sin 1)，|2ab|2(2cos 3)2(2sin 1)284sin 43cos 又 4sin 43cos 8(sin cos3cos sin3)8sin(3)，最大值为 8，|2ab|2的最大值为 16，|2ab|的最大值为 4 思路 2：将向量 2a，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2ab|表示 2a，b 终点间的距离|2a|2，所以

17、 2a 的终点是以原点为圆心，2 为半径的圆上的动点 P，b 的终点是该圆上的一个定点 Q，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为 4 (第 19 题)与是两平行向量若都是单位向量则若则四点构成平行四边形两向量相等的充要条件是它们的始点终点相同平面直角坐标系中为坐标原点已知两点若点满足其中且则点的轨迹方程为已知是非零向量且满足则与的夹角是已知四边形是菱点满足则点学习必备欢迎下载是的三个内角的角平分线的交点三条边的垂直平分线的交点三条中线的交点三条高的交点在四边形中其中不共线则四边形为平行四边形矩形梯形菱形如图梯形中则相等向量是与与与与二填空题第题已知共线是内的一点若则是的学习必备欢迎下载设平面内有四边形和点若则四边形的形状是三解答题已知点若点满足试求为何值时点在第三象限内如图已知分别是的中点且与交于求第题如图在正方形中分别为的中点求证利用向量证明已