高中数学排列组合问题方法总结中学教育高中教育中学教育高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高中数学排列组合方法总结 1.分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：无序不等分；无序等分；无序局部等分；(有序不等分；有序等分；有序局部等分.)处理问题的原则：若干个不同的元素“等分”为 个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 m!若干个不同的元素局部“等分”有 个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 m!非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.1.分组（堆）问题 例 1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程.共有多少种不同的发包方式？解：要完成发包这件事

2、，可以分为两个步骤：将四项工程分为三“堆”，有 种分法；再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有 3!6 种给法.共有 6636种不同的发包方式.2.插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.例 2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？解：分两步进行：第 1 步，把除甲乙外的一般人排列：第 2 步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.例 3.6人排成一排.甲、

3、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?解：（1）分两步进行：甲 乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.4.消序法(留空法)几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.例 4.5 个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？解法 1：将 5 个人依次站成一排，有 种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数 甲总站在乙的右侧的有站法总数为 211421226C C CA55A有=120种排法26A有=30种插入法1203

4、03600共有种排法22A有2种捆法2 120240共有种排法55A有120种排法55A22A5355225 4 3AAA 学习必备 欢迎下载 解法 2：先让甲乙之外的三人从 5个位置选出 3 个站好，有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有 1 种站法 甲总站在乙的右侧的有站法总数为 4.消序法(留空法)变式：如下图所示,有 5 横 8 竖构成的方格图,从 A到 B只能上行或右行共有多少条不同的路线?BA BA解:如图所示 将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11 格:也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，有 种排法.其中必有四个和七个组成!所以,四个和七

5、个一个排序就对应一条路经,所以从 A到 B共有 条不同的路径.5.剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(m n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 n个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪截成 m段.例 5.某校准备参加今年高中数学联赛,把 16个选手名额分配到高三年级的 1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种.解：问题等价于把 16个相同小球放入 4 个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将 16个小球串成一串，截为 4 段有 种截断法，对应放到 4 个盒子里.1 2 3 4 5 6 7 35A33551AA 11114747AAA5

6、14(5 1)(8 1)11CC 315455C分有序不等分例人排成一排甲乙两人不相邻有多少种不同的排法解分两步进行第步把除甲乙外的一般人排列第步将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中插孔共有种排法有种排法有种插入法几个元素不能相邻时先排一般元素再让特殊素局部排列当成一个元若干个不同的元素等分为个堆要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以素后再进行整体排列若干个不同的元素局部等分有个均等堆要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以例人排成一排甲乙两人必须相邻有多元素个数作全排列分组堆问题解分两步进行甲乙第一步把甲乙排列捆绑有种捆法例有四项不同的工程要发包给三个工程队要求每个工程队至少要得到一项工程共有多第二

7、步甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队少种不同的发包学习必备 欢迎下载 因此，不同的分配方案共有 455种.5.剪截法：n个 相同小球放入m(m n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于 n个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪截成 m段.变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把 16 个选手名额分配到高三年级的 1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有_种.解：问题等价于先给 2 班 1 个，3班 2 个，4 班 3 个，再把余下的 10个相同小球放入 4 个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将 10个小球串成一串，截为 4 段有

8、种截断法，对应放到 4 个盒子里.因此，不同的分配方案共有 84种.6.错位法：编号为 1至 n的 n个小球放入编号为 1到 n 的 n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当 n=2,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44.例 6.编号为 1至 6的 6个小球放入编号为 1至 6的 6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2 个小球与盒子的编号相同的放法有_ 种.解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余 4 组球与盒子需错位排列有 9 种放法.故所求方法有 159135种.7.剔除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题

9、的方法.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例 7.从集合0,1,2,3,5,7,11中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_ 条.解：所有这样的直线共有 条，其中不过原点的直线有 条，所得的经过坐标原点的直线有 210-180 30条.小结:分堆问题；解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).3984C 2615C37210A 1266180AA巩固练习 1.将

10、3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（）A.43 B.34 C.34A D.34C 2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A.24种 B.18种 C.12种 D.6种 B B 3.12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4人，则不同的分配方案共有（）A.4448412CCC种 B.34448412CCC种 C.3348412ACC种 D.334448412ACCC种 A 分有序不等分例人排成一排甲乙两人不相邻有多少种不同的排法解分两步进行第步把除甲乙外的一般人排列第步将

11、甲乙分别插入到不同的间隙或两端中插孔共有种排法有种排法有种插入法几个元素不能相邻时先排一般元素再让特殊素局部排列当成一个元若干个不同的元素等分为个堆要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以素后再进行整体排列若干个不同的元素局部等分有个均等堆要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以例人排成一排甲乙两人必须相邻有多元素个数作全排列分组堆问题解分两步进行甲乙第一步把甲乙排列捆绑有种捆法例有四项不同的工程要发包给三个工程队要求每个工程队至少要得到一项工程共有多第二步甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队少种不同的发包学习必备 欢迎下载 分有序不等分例人排成一排甲乙两人不相邻有多少种不同的排法解分两步进行第步把除甲乙外的一般人排列第步将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中插孔共有种排法有种排法有种插入法几个元素不能相邻时先排一般元素再让特殊素局部排列当成一个元若干个不同的元素等分为个堆要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以素后再进行整体排列若干个不同的元素局部等分有个均等堆要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以例人排成一排甲乙两人必须相邻有多元素个数作全排列分组堆问题解分两步进行甲乙第一步把甲乙排列捆绑有种捆法例有四项不同的工程要发包给三个工程队要求每个工程队至少要得到一项工程共有多第二步甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队少种不同的发包