高中数学必修45公式总结中学教育高中教育中学教育高中教育.pdf

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1、高中必修 4、5 公式定理及常见规律 1.三角函数 终边相同的角 与)(Zkk表示终边相同的角度;终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同;而与)(Zkk表示终边共线的角.终边相同的角的集合表示:,2|ZkkS或者,360|ZkkS 特殊位置的角的集合的表示 位置 角的集合 在x轴正半轴上,2|Zkk 在x轴负半轴上,2|Zkk 在x轴上,|Zkk 在y轴上,2|Zkk 在第一象限,222|Zkkk 在第二象限,222|Zkkk 在第三象限,2322|Zkkk 在第四象限,22232|Zkkk 孤独之与角度制互化 rad1（弧度）180度7.53 扇形有关公式 弧长公式:Rl|;扇形面积

2、公式:2|2121RlRS扇形(注 想象成三角形面积计算公式)任意角的三角函数定义 以角的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点),(yxP,点P到原点的距离记为r,则xyrxrytan,cos,sin.三角函数的同角关系 商数关系:tancossin,其中Zkk,22.平方和关系:1cossin22;三角函数的诱导公式 诱导公式（一）sin)2sin(k;cos)2cos(k;tan)2tan(k;诱导公式（二）sin)sin(;cos)cos(;tan)tan(;诱导公式（三）sin)sin(;cos)cos(;tan)tan(;诱导公式（四）si

3、n)sin(;cos)cos(;tan)tan(;诱导公式（五）cos)2sin(;sin)2cos(;诱导公式（六）cos)2sin(;sin)2cos(;特殊的三角函数值 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 6 4 3 2 32 43 65 23 2 sin 0 21 22 23 1 23 22 21 0-1 0 cos 1 23 22 21 0-21-22-23-1 0 1 tan 0 33 1 3 -3-1 -33 0 0 三角函数的图象与性质 函数 xysin xycos xytan 图像 x 定义域 R R ZkkxRxx,2

4、,且 值域 1,1 1,1 R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 22,22kk 232,22kk kk2,2 kk2,2 2,2kk 对称中心)0,(k)0,2(k)0,2(k 对称轴 2 kx kx 无 2.三角恒等变换 三角函数呵、差公式（要记住）CCsinsincoscos；)(sincoscossinSS 壮大提高经济效益使各项工作有章可循有据可依特制订本公司内部管理细则第一节公司管理制度大纲全体员工必须遵守公司章程遵守公司的各项规章制度和决定严格对照本职岗位职责完成本职工作禁止任何部门个人做有损公司利益公司的经营管理体系实行多种形式的责任制不断壮大公司实力和提

5、高经济效益提倡全体员工刻苦学习科学技术和文化知识为员工提供学习深造的条件和机会努力提高员工的整体素质和水平造就一支思想新作风硬业务强技术精的员工济效益的提咼逐步提高员工各方面待遇实行岗位责任制实行考勤考核制度评先树优对做出贡献者予以表彰奖励提倡求真务实的工作作风提高工作效率提倡厉行节约反对铺张浪费倡导员工团结互同舟共济发扬集体合作和集体创造精神)(sincoscossinSS；)(tantan1tantanTT；)(tantan1tantanTT 三角函数二倍角公式（要记住）2,cossin22sinS；222,sincos2cosC；22,tan1tan22tanT 三角函数降幂公式（要记住

6、）2sin21cossin;22cos1sin2；22cos1cos2 三角函数半角公式（要记住）2cos12sin;2cos12cos;22cos12sin2;22cos12cos2;2sin2cos12；2cos2cos12;sincos1cos1sincos1cos12tan 辅助角公式(也称化一公式)（会用）)sin(cossincossin22222222bababbaababa 注 其中辅助角与点),(ba在同一象限,且abtan;特殊情况:)4sin(2cossin,)3sin(2cos3sin 三角函数求值常见公式变形（会用）)tantan1)(tan(tantan)tanta

7、n1)(tan(tantanaa 4tantan1tan1 2cossin2sin1 三角变换的一般方法 角的变换:包括角的分解和角的组合,如22),4(24,222,)(2等.三角函数名、次的变换:切化弦与升幂、降幂公式;常值代换:如“1”的活用.145tan,1cossin22等.三角函数化简、求值或证明的解题原则 基本原则:由繁到简、减名化角 函数种类最少、项数最少、函数次数最低、能求值的求出值、尽量使分母不含三角函数、尽量使分母不含根式.3.解三角形 正余弦定理 正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin,（其中R为三角形 ABC 外接圆的半径）壮大提高经济效益使各项工作有章可循有据

8、可依特制订本公司内部管理细则第一节公司管理制度大纲全体员工必须遵守公司章程遵守公司的各项规章制度和决定严格对照本职岗位职责完成本职工作禁止任何部门个人做有损公司利益公司的经营管理体系实行多种形式的责任制不断壮大公司实力和提高经济效益提倡全体员工刻苦学习科学技术和文化知识为员工提供学习深造的条件和机会努力提高员工的整体素质和水平造就一支思想新作风硬业务强技术精的员工济效益的提咼逐步提高员工各方面待遇实行岗位责任制实行考勤考核制度评先树优对做出贡献者予以表彰奖励提倡求真务实的工作作风提高工作效率提倡厉行节约反对铺张浪费倡导员工团结互同舟共济发扬集体合作和集体创造精神 变式:CBAcbaBABAba

9、basinsin:sin:,sinsinsinsin 余弦定理:CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222 变形公式:abcbaCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos222222222 余弦定理的常见结论:abbacCabbacC222222120;60 判断三角形形状:正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形,判断形状时,将已知条件转化为边边关系,或将已知条件转化为角角关系.若c为最大边,ABCcba222为锐角三角形;ABCcba222是直角三角形;ABCcba222为钝角三角形;注 ABC中,若BA2sin2sin,可以得出BA22

10、或 BA22;而BA2cos2cos,可以得出BA22,即BA 三角形面积公式 haSABC21,AbcBacCabSABCsin21sin21sin21、C 三角形中常见规律 三角形中的射影定理:在ABC中,CcAabcoscos;在ABC中,角A、B、C成等差数列60B;ABC为正三角形角A、B、C成等差数列,边a、b、c成等比数列.三角形中的边角关系 角的关系:180CBA 边的关系:cbacba.边角关系:大边对大角、大角对大边 4.平面向量 向量共线与垂直的坐标表示设 2211,yxbyxa,则ba02121yyxxba;则ba/01221 yxyx;ba 非零向量a、b的夹角的计算

11、公式 222221212121|cosyxyxyyxxbaba 5.数列 数列通项na与前n项和nS 2,1,11nSSnSannn 壮大提高经济效益使各项工作有章可循有据可依特制订本公司内部管理细则第一节公司管理制度大纲全体员工必须遵守公司章程遵守公司的各项规章制度和决定严格对照本职岗位职责完成本职工作禁止任何部门个人做有损公司利益公司的经营管理体系实行多种形式的责任制不断壮大公司实力和提高经济效益提倡全体员工刻苦学习科学技术和文化知识为员工提供学习深造的条件和机会努力提高员工的整体素质和水平造就一支思想新作风硬业务强技术精的员工济效益的提咼逐步提高员工各方面待遇实行岗位责任制实行考勤考核制

12、度评先树优对做出贡献者予以表彰奖励提倡求真务实的工作作风提高工作效率提倡厉行节约反对铺张浪费倡导员工团结互同舟共济发扬集体合作和集体创造精神等差数列 等差数列 判定方法 定义法:即证明),(*1Nnddaann是常数;通项公式法:),(是常数bkbknan;中项公式法:即证明)(2*21Nnaaannn;前n项和公式法:),(2是常数BABnAnSn 通项公式 bkndadndnaan11)1(;dmnaamn)(;变形mnaadmn 增减性 0d递增;0d递减;0d常数列 前n项和 BnAnndanddnnnaaanSnn21211222)1(2)(AdBAa21.当0,01 da时,nS有

13、最大值;通过解001nnaa可得nS取最大值时n的取值范围;当0,01 da时,nS有最小值;通过解001nnaa可得nS取最小值时n的取值范围 等差中项 A为a、b的等差中项baA 2;)2(211naaannn 性质 na为等差数列bknan可用一次函数来研究na;na为等差数列BnAnSn2可用二次函数来研究nS;na为等差数列,若qpnm,则qpnmaaaa;na为等差数列,若pnm2,则pnmaaa2;na为等差数列,则,232mmmmmSSSSS仍为等差数列.na为等差数列,则naa是等比数列;壮大提高经济效益使各项工作有章可循有据可依特制订本公司内部管理细则第一节公司管理制度大纲

14、全体员工必须遵守公司章程遵守公司的各项规章制度和决定严格对照本职岗位职责完成本职工作禁止任何部门个人做有损公司利益公司的经营管理体系实行多种形式的责任制不断壮大公司实力和提高经济效益提倡全体员工刻苦学习科学技术和文化知识为员工提供学习深造的条件和机会努力提高员工的整体素质和水平造就一支思想新作风硬业务强技术精的员工济效益的提咼逐步提高员工各方面待遇实行岗位责任制实行考勤考核制度评先树优对做出贡献者予以表彰奖励提倡求真务实的工作作风提高工作效率提倡厉行节约反对铺张浪费倡导员工团结互同舟共济发扬集体合作和集体创造精神 等比数列 等比数列 判定方法 定义法:即证明),(*1Nnqqaann是常数;通

15、项公式法:)0,(*11Nnvcqqaannn的常数，均是不为;中项公式法:即证明),0(*21221Nnaaaaaannnnnn;前n项和公式法:)1,0,1(11111qqqakkkqqaqqaSnnn是常数 通项公式 nnnkqqaa 11;mnmnqaa 增减性 当101qa或1001qa时,数列na是递增数列;当1001qa或101qa时,数列na是递减数列;当1q时,数列na是常数列;当0q时,数列na是摆动数列.前n项和 1,1)1(11,111qqqaqqaaqnaSnnn.等比中项 G为a、b的等差中项baG2;)2(112naaannn 性质 na为等比数列nnkqa 可用

16、指数函数来研究na;na为等比数列,且1q0,cbcqbSnn;na为等比数列,若qpnm,则qpnmaaaa;壮大提高经济效益使各项工作有章可循有据可依特制订本公司内部管理细则第一节公司管理制度大纲全体员工必须遵守公司章程遵守公司的各项规章制度和决定严格对照本职岗位职责完成本职工作禁止任何部门个人做有损公司利益公司的经营管理体系实行多种形式的责任制不断壮大公司实力和提高经济效益提倡全体员工刻苦学习科学技术和文化知识为员工提供学习深造的条件和机会努力提高员工的整体素质和水平造就一支思想新作风硬业务强技术精的员工济效益的提咼逐步提高员工各方面待遇实行岗位责任制实行考勤考核制度评先树优对做出贡献者

17、予以表彰奖励提倡求真务实的工作作风提高工作效率提倡厉行节约反对铺张浪费倡导员工团结互同舟共济发扬集体合作和集体创造精神na为等比数列,若pnm2,则2pnmaaa;na为等比数列,则,232mmmmmSSSSS仍为等比数列.na为等比数列,则lognaa是等差数列;6.不等式 一元二次不等式)0(02acbxax的解集 0bxax型和0bxax型不等式的解法 0bxax型不等式的解法：0bxax00bxax或00bxax;0bxax00bxax或00bxax.这样，就将一个医院二次不等式问题归化为一个一元一次不等式组问题.0bxax型不等式的解法 0bxax与 0bxax同解;0bxax与 0

18、bxax同解.基本不等式)0,0(2babaab 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式),(222Rbaabba ba 时,取 判别式acb42 0 0 0 二次函数cbxaxy2(0a)的图像 一元二次方程02cbxax(0a)有两个不相等的实根21xx、aacbb24221xx 有两个相等的实根abxx2-21 没有实数根 一元 二次 不等 式的 解集 02cbxax 0a 12xxxxx 或 不等于ab2-的所有实数abxRxx2且 全体实数（实数集R）02cbxax 0a 21xxxx 空集 空集 壮大提高经济效益使各项工作有章可循有据可依特制订本公司内部管理细则第一节公司管理制度大

19、纲全体员工必须遵守公司章程遵守公司的各项规章制度和决定严格对照本职岗位职责完成本职工作禁止任何部门个人做有损公司利益公司的经营管理体系实行多种形式的责任制不断壮大公司实力和提高经济效益提倡全体员工刻苦学习科学技术和文化知识为员工提供学习深造的条件和机会努力提高员工的整体素质和水平造就一支思想新作风硬业务强技术精的员工济效益的提咼逐步提高员工各方面待遇实行岗位责任制实行考勤考核制度评先树优对做出贡献者予以表彰奖励提倡求真务实的工作作风提高工作效率提倡厉行节约反对铺张浪费倡导员工团结互同舟共济发扬集体合作和集体创造精神基本不等式)0,0(2babaab ba 时,取 极值定理“一正二定三项等,和定

20、积最大,积定和最小.”已知x、y都是正数:若xy是定值p,则当yx 时,yx 有最小值p2;若yx 是定值s,则当yx 时,xy有最大值241s.不等式与线性规划 线性规划问题的解题方法与步骤 设未知数,列出约束条件,建立目标函数;画出可行域（或不等式组所表示的平面区域）;作平行线,使直线与可行域有交点;求出最优解,并作答.壮大提高经济效益使各项工作有章可循有据可依特制订本公司内部管理细则第一节公司管理制度大纲全体员工必须遵守公司章程遵守公司的各项规章制度和决定严格对照本职岗位职责完成本职工作禁止任何部门个人做有损公司利益公司的经营管理体系实行多种形式的责任制不断壮大公司实力和提高经济效益提倡全体员工刻苦学习科学技术和文化知识为员工提供学习深造的条件和机会努力提高员工的整体素质和水平造就一支思想新作风硬业务强技术精的员工济效益的提咼逐步提高员工各方面待遇实行岗位责任制实行考勤考核制度评先树优对做出贡献者予以表彰奖励提倡求真务实的工作作风提高工作效率提倡厉行节约反对铺张浪费倡导员工团结互同舟共济发扬集体合作和集体创造精神