高中数学中的对称性问题中学教育高中教育中学教育高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高中数学中的对称性 一、关于点对称(1)点关于点的对称点问题 若点 M00(,)xy关于点 P(,)a b的对称点M的坐标(,)x y，则 P为 MM的中点，利用中点坐标公式可得00,22xxyyab，解算的M的坐标为00(2,2)axby。例如点 M(6,-3)关于点 P(1,-2)的对称点M的坐标是.点 M00(,)xy关于点 P(,)a b的对称点M的坐标;点 M00(,)xy关于原点的对称点M的坐标.(2)直线关于点对称 直线 L：0AxByC 关于原点的对称直线 设所求直线上一点为(,)M x y，则它关于原点的对称点为(,)Mxy，因为M点在直线L上，故有()(

2、)0AxByC ，即0AxByC；直线1l：0AxByC 关于某一点(,)P a b的对称直线2l 解法（一）：在直线2l上任取一点(,)M x y，则它关于P的对称点为(2,2)Maxby，因为M点在1l上，把M点坐标代入直线在1l中，便得到2l的方程即为(2)(2)0A axBbyC 。学习必备 欢迎下载 解法（二）：由12llKK，可设1:0lAxByC 关于点(,)P a b的对称直线为0AxByC且2222AaBbCAaBbCABAB求设C从而可求的及对称直线方程。(3)曲线关于点对称 曲线1:(,)0Cf x y 关于(,)P a b的对称曲线的求法：设(,)M x y是所求曲线的

3、任一点，则M点关于(,)P a b的对称点为(2,2)axby在曲线(,)0f x y 上。故对称曲线方程为(2,2)0faxby。二、关于直线的对称(1)点关于直线的对称 1)点(,)P a b关于x轴的对称点为(,)P ab 2)点(,)P a b关于y轴的对称点为(,)Pa b 3)关于直线xm的对称点是(2,)Pma b 4)关于直线yn的对称点是(,2)P anb 5)点(,)P a b关于直线yx的对称点为(,)P b a 6)点(,)P a b关于直线yx 的对称点为(,)Pba 7)点(,)P a b关于某直线:0L AxByC 的对称点P的坐标 解法设对称点为(,)P x y

4、，由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22ax by把中点坐标代入L中得到022axbyABC ；再由PPBKA得byBaxA，联立、可得到P点坐标。点利用中点坐标公式可得解算的的坐标为例如点关于点的对称点的坐标是点点关于点的对称点的坐标关于原点的对称点的坐标直线关于点对称直线关于原点的对称直线设所求直线上一点为则它关于原点的对称点为因为点在直线上故便得到的方程即为学习必备欢迎下载解法二由可设关于点的对称直线为且求设从而可求的及对称直线方程曲线关于点对称曲线关于的对称曲线的求法设是所求曲线的任一点则点关在曲线上故对称曲线方程为于的对称点为二关于直线于直线的对称点为点关于直线的对称点为点关于某直线

5、的对称点的坐标解法设对称点为由中点坐标公式求得中点坐标为把中点坐标代入中得到再由得联立可得到点坐标学习必备欢迎下载直线关于直线的对称直线设直线则关于轴对称学习必备 欢迎下载 (2)直线1l关于直线l的对称直线2l 设直线:0l AxByC，则l 关于x轴对称的直线是()0AxByC 关于y轴对称的直线是()0AxByC 关于yx对称的直线是0BxAyC 关于yx 对称的直线是()()AyBxC 1)当1l与l不相交时，则1ll2l 在1l上取一点00(,)M xy求出它关于l的对称点M的坐标。再利用12llKK可求出2l的方程。2)当1l与l相交时，1l、l、2l三线交于一点。解法（一）：先解

6、1l与l组成的方程组，求出交点A的坐标。则交点必在对称直线2l上。再在1l上找一点B，点B的对称点B也在2l上，由A、B两点可求出直线2l的方程。解法（二）：在1l上任取一点11(,)P x y，则P点关于直线l的对称点Q在直线2l上，再由PQl，1PQLKK 。又PQ的中点在l上，由此解得11(,),(,)xf x yyg x y，把点11(,)x y代入直线1l的方程中可求出2l的方程。点利用中点坐标公式可得解算的的坐标为例如点关于点的对称点的坐标是点点关于点的对称点的坐标关于原点的对称点的坐标直线关于点对称直线关于原点的对称直线设所求直线上一点为则它关于原点的对称点为因为点在直线上故便得

7、到的方程即为学习必备欢迎下载解法二由可设关于点的对称直线为且求设从而可求的及对称直线方程曲线关于点对称曲线关于的对称曲线的求法设是所求曲线的任一点则点关在曲线上故对称曲线方程为于的对称点为二关于直线于直线的对称点为点关于直线的对称点为点关于某直线的对称点的坐标解法设对称点为由中点坐标公式求得中点坐标为把中点坐标代入中得到再由得联立可得到点坐标学习必备欢迎下载直线关于直线的对称直线设直线则关于轴对称学习必备 欢迎下载 例：求直线1:230lxy 关于直线:10l xy 对称的直线l的方程 解：设,M x y为所求直线l上任意一点，则其关于l对称的点11,Mx y在直线l上.111111 (MM,

8、K=-1)10(MM)22MMlyylxxxxyyl 即K的中在 上1111xyyx 112302 1130 xyyx 又 故所求直线方程为240 xy (3)曲线关于直线对称 相关运用 1，光线从点 A（6，4）发出，与 x 轴相交于点 Q（2，0），经 x 轴反射，求入射光线和反射广线所在的方程.析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.2，已知点 A（1，3）、B（5，2），在 x 轴上找一点 P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为_，P点的坐标为_.,点利用中点坐标公式可得解算的的坐标为例如点关于点的对称点的坐标是点点关于点的对称点的坐标关于原点的对称点的坐标直线关于点对称直线关于原点的对称直线设所求直线上一点为则它关于原点的对称点为因为点在直线上故便得到的方程即为学习必备欢迎下载解法二由可设关于点的对称直线为且求设从而可求的及对称直线方程曲线关于点对称曲线关于的对称曲线的求法设是所求曲线的任一点则点关在曲线上故对称曲线方程为于的对称点为二关于直线于直线的对称点为点关于直线的对称点为点关于某直线的对称点的坐标解法设对称点为由中点坐标公式求得中点坐标为把中点坐标代入中得到再由得联立可得到点坐标学习必备欢迎下载直线关于直线的对称直线设直线则关于轴对称