高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法：第4节中学教育高考中学教育高中教育.pdf

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1、第 4节 空间坐标系及空间向量的坐标运算【基础知识】1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点 O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y 轴，z 轴这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴统称坐标轴 由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指出 y 轴的正方向时，中指指向 z 轴的正方向(3)空间一点 M 的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作 M(x，y，z)，其中 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标 2空间两点间的

2、距离公式 设点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|ABuuu r x1x22 y1y22 z1z22.【规律技巧】1.求向量的数量积的方法：设向量 a，b的夹角为 ，则 a b|a|b|cos ；若 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 a bx1x2y1y2z1z2.根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算 2.求向量模的方法：|a|a2；若 a(x，y，z)，则|a|x2y2z2.3空间向量的坐标运算（1）设 i、j、k 为两两垂直的单位向量，如果OPxiy jzk uuu rrrr，则(,)x y z叫做向量的坐标（2）设 a(x1，y1，z1)，b

3、(x2，y2，z2)，那么 a b121212(,)xxyyzz a b12121 2x xy yz z，cosa，b121212222222111222x xy yz zxyzxyz，|a|a a222111xyz ，a111(,)xyz ，ab121212,xxyyzz(R)，ab12121 20 x xy yz z.（3）设点 M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，则22212212121|()()()M Mxxyyzzuuuuuu r 【典例讲解】【例 1】【针对训练】1、已知向量 a(1，3,2)，b(2,1,1)，点 A(3，1，4)，B(2，2,2)(1)求|2ab

4、|；(2)在直线 AB 上是否存在一点 E，使得OEb(O 为原点)?【答案】（1）5 2；（2）在直线 AB 上存在点 E65，145，25，使OEb.2、在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为()A(4，0，6)B(4，7，6)C(4，0，6)D(4，7，0)【答案】C【解析】点M关于y轴的对称点是(4,7,6)M，点M在坐标平面xOz上的射影是(4，0，6)故选 C 3、在空间直角坐标系中的点(,)P a b c，有下列叙述：点(,)P a b c关于横轴(x轴)的对称点是1(,)P ab c；点(,)P a b c关于yO

5、z坐标平面的对称点为2(,)P abc；点(,)P a b c关于纵轴(y轴)的对称点是3(,)P ab c；点(,)P a b c关于坐标原点的对称点为4(,)Pabc 立三条两两垂直的数轴轴轴轴这时建立了一个空间直角坐标系其中点叫做坐标原点轴轴轴统称坐标轴由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面右手直角坐标系的含义当右手拇指指向轴的正方向食指指出轴的正方向时中指指向轴的正距离公式设点则规律技巧求向量的数量积的方法设向量的夹角为则若则根据已知条件准确选择上述两种方法可简化计算求向量模的方法若则空间向量的坐标运算设为两两垂直的单位向量如果则叫做向量的坐标设那么设点则典例讲解是则点关于轴的对称点在坐

6、标平面上的射影的坐标为答案解析点关于轴的对称点是点在坐标平面上的射影是故选在空间直角坐标系中的点有下列叙述点关于横轴轴的对称点是点关于坐标平面的对称点为点关于纵轴轴的对称点是点关其中错误的叙述个数是()A1 B2 C3 D4【答案】C 4、已知(,5,21)A xxx(1,2,2)Bxx，当|ABuuu r取最小值时，x的值等于（）A87 B87 C19 D1914【答案】A 【巩固提升】1在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与 CD 的位置关系是 ()A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直 解析 由题意得，AB(3，3，3)，

7、CD(1，1，1)，AB3CD，AB与CD共线，又AB与CD没有公共点 ABCD.答案 B 2已知 a(2，1，3)，b(1，2，1)，若 a(a b)，则实数 的值为()A2 B143 C.145 D2 解析 由题意知 a(a b)0，即 a2 a b0，所以 147 0，解得 2.答案 D 3已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量 p在基底ab，ab，c下的坐标是 ()A(4，0，3)B(3，1，3)C(1，2，3)D(2，1，3)答案 B 立三条两两垂直的数轴轴轴轴这时建立了一个空间直角坐标系其中点叫做坐

8、标原点轴轴轴统称坐标轴由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面右手直角坐标系的含义当右手拇指指向轴的正方向食指指出轴的正方向时中指指向轴的正距离公式设点则规律技巧求向量的数量积的方法设向量的夹角为则若则根据已知条件准确选择上述两种方法可简化计算求向量模的方法若则空间向量的坐标运算设为两两垂直的单位向量如果则叫做向量的坐标设那么设点则典例讲解是则点关于轴的对称点在坐标平面上的射影的坐标为答案解析点关于轴的对称点是点在坐标平面上的射影是故选在空间直角坐标系中的点有下列叙述点关于横轴轴的对称点是点关于坐标平面的对称点为点关于纵轴轴的对称点是点关4已知 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，a c4，

9、|b|12，则以 b，c为方向向量的两直线的夹角为_ 答案 60 5、在空间直角坐标系Oxyz中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)ABCD.若123,S SS分别是三棱锥DABC在,xOy yOz zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A123SSS B21SS且23SS C31SS且32SS D32SS且31SS【答案】D 立三条两两垂直的数轴轴轴轴这时建立了一个空间直角坐标系其中点叫做坐标原点轴轴轴统称坐标轴由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面右手直角坐标系的含义当右手拇指指向轴的正方向食指指出轴的正方向时中指指向轴的正距离公式设点则规律技巧求向量的数量积的方法设向量的夹角为则若则根据已知条件准确选择上述两种方法可简化计算求向量模的方法若则空间向量的坐标运算设为两两垂直的单位向量如果则叫做向量的坐标设那么设点则典例讲解是则点关于轴的对称点在坐标平面上的射影的坐标为答案解析点关于轴的对称点是点在坐标平面上的射影是故选在空间直角坐标系中的点有下列叙述点关于横轴轴的对称点是点关于坐标平面的对称点为点关于纵轴轴的对称点是点关