北师大版八年级下册第六章证明全套教学案小学教育小学学案中学教育中学学案.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 第六章 证明（一）6.1 你能肯定吗 一、教学目标 1.通过观察、猜测得到的结论不一定正确.2.让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.二、教学过程 1.在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界.在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论.那这样得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？下面我们来动手画一画，然后归纳、总结。如上图，四边形 ABCD 四边的中点分别为 E、F、G、H.度量四边形 EFGH 的边和角，你会发现什么结论？画出四边形 ABCD，找到四边形的中点 E、F、G、H 后，量了量四边形

2、 EFGH 的边发现：EF=GH，EH=GF.角EHG=EFG，HEF=HGF.由此说明：四边形 EFGH 是平行四边形.如果改变四边形 ABCD 的形状，你还能得到类似的结论吗？改变了四边形 ABCD 的形状后，它们四边的中点所围成的四边形 EFGH 仍然是对边相等、对角也相等.即：四边形 EFGH 是平行四边形.在八年级上册我们已经知道：连接三角形的两边中点的线段是三角形的中位线.由于 E、F、G、H 是四边形 ABCD 各边的中点，所以可把这个四边形变为两个三角形.即：可以连接AC，也可以连接 BD.把四边形 ABCD 变为ABC 与ADC 或ABD 与BDC.现在我们来连接 AC。如上

3、图 在ABC 中，EF 是ABC 的中位线，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得：EF 平行于 AC 且等于 AC 的一半.学习好资料 欢迎下载 同样，在ADC 中，GH 是ADC 的中位线，则 GH 平行于 AC 且等于 AC 的一半.由“两直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行”可知：EFGH.又因为：EF=21AC，GH=21AC，所以得 EF=GH.这样由平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.可以得到：四边形 EFGH 是平行四边形.即：连接 AC 刚才我们连接了四边形的对角线后，通过推理得证了：连接任意四边形四边的中点所组成的图形是平

4、行四边形.注：本题连接 BD 与连接 AC 的推理过程一样.通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证.2.当 n=0、1、2、3、4、5 时，代数式 n2n+11 的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数 n,n2n+11 的值都是质数？当 n=0 时，n2n+11=11.当 n=1 时，n2n+11=11.当 n=2 时，n2n+11=13.当 n=3 时，n2n+11=17.当 n=4 时，n2n+11=23.当 n=5 时，n2n+11=31.由此可知：当 n=0、1、2、3、4、5 时，代数式 n2n+11 的值都是质数.这样我们就可以得到结论：对于所有自然数 n

5、,n2n+11 的值都是质数.判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行

6、于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 6.2 定义与命题 定义与命题（一）一、教学目标 1.定义的意义 2.命题的概念 二、教学过程 1.讲授新课“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义.“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义.定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中 A、B、C、D、

7、E、F、G、H、I、J、K 处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.图 66 如果 B 处工厂排放污水，那么_处便会受到污染；如果 C 处受到污染，那么_处便受到污染；如果 E 处受到污染，那么_处便受到污染；如果环保人员在 h 处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？如果 B 处工厂排放污水，那么 a、b、c、d 处便会受到污染。如果 B 处工厂排放污水，那么 e、f、g 处也会受到污染的。如果 C 处受到污染，那么 a、b、c 处便受到污染。如果 C 处受到污染，那么 d 处也会受到污染的。如果 E 处受到污染，那么 a、b 处便会受到污染.

8、。如果 h 处受到污染，我认为是 A处的那个工厂或 B 处的那个工厂排放了污水.因为 A处判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位

9、线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 工厂的水向下游排放，B 处工厂的污水也向下游排放。在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.即：命题是判断一件事情的句子.如：熊猫没有翅膀.对顶角相等.两直线平行，内错角相等.无论 n 为任意的自然数，式子 n2n+11 的值都是质数.内错角相等.任意一个三角形都有一个直角.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.全等三角形的对应角相等.三、课堂练习 1.你能列举出一些命题吗？答案：举例略.2.举出一些不是命题的

10、语句.答案：如：画线段 AB=3 cm.两条直线相交，有几个交点？等于同一个角的两个角相等吗？在射线 OA 上，任取两点 B、C.等等.判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四

11、边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 6.3 为什么他们平行 一、教学目标 1.平行线的判定公理.2.平行线的判定定理.二、教学过程 1.讲授新课 看命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如上图，已知，1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且1 与2 互补，求证：ab.要证明直线 a 与 b 平行，可以想到

12、应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：1 与3 是同位角，所以只需证明1=3，则 a 与 b 即平行.因为从图中可知2 与3 组成一个平角，即2+3=180,所以：3=1802.又因为已知条件中有2 与1 互补，即：2+1=180,所以1=1802,因此由等量代换可以知道：1=3.证明：1 与2 互补（已知）1+2=180（互补的定义）1+2=180 1=1802（等式的性质）3+2=180（1 平角=180）3=1802（等式的性质）1=1802，3=1802 1=3（等量代换）1=3 ab（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为

13、：直线平行的判定定理.这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行.判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线

14、平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.（2）方括号内的“1+2=180”等，就是上面刚刚得到的“1+2=180”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.例 1 已知，如上图，1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角，且1=2.求证：ab 证明：1=2（已知）1+3=180（1 平角

15、=180）2+3=180（等量代换）2 与3 互补（互补的定义）ab（同旁内角互补，两直线平行）.这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.这一定理可以简单说成：内错角相等，两直线平行.例 2 已知，如下图，直线 ac,bc.求证：ab.证明：ac,bc（已知）1=902=90（垂直的定义）1=2（等量代换）ba（同位角相等，两直线平行）由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观

16、察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 三、课堂练习 蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图 617 所示，其中=1

17、0928,=7032,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由.解：这三个四边形的形状是平行四边形.理由是：=10928=7032（已知）+=180（等式的性质）ABCD，ADBC（同旁内角互补，两直线平行）四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的

18、形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 5.4 如果两条直线平行 一、教学目标 1.平行线的性质定理的证明.2.证明的一般步骤.二、教学过程 1.讲授新课 在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：两直线平行，同位角相等.例 已知，如图 624，直线 ab,1 和2 是直线 a、b 被直线

19、 c 截出的同旁内角.求证：1+2=180.证明：ab（已知）3=2（两直线平行，同位角相等）1+3=180（1 平角=180）1+2=180（等量代换）图 625 证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形.先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达.第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推

20、理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 一般情况下，分析

21、的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.三、课堂练习 补充练习 1.证明邻补角的平分线互相垂直.已知：如图 625，AOB、BOC 互为邻补角，OE 平分AOB，OF 平分BOC.求证：OEOF.证明：OE 平分AOB.OF 平分BOC（已知）EOB=21AOB BOF=21BOC（角平分线定义）AOB+BOC=180（1 平角=180）EOB+BOF=21（AOB+BOC）=90（等式的性质）即EOF=90 OEOF（垂直的定义）2.已知，如上图，ABCD，B=D，求证：ADBC.证法一：ABDC（已知）B+C=180（两直线平行，

22、同旁内角互补）B=D（已知）D+C=180（等量代换）ADBC（同旁内角互补，两直线平行）证法二：如上图，延长 BA（构造一组同位角）判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边

23、形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 ABCD（已知）1=D（两直线平行，内错角相等）B=D（已知）1=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）证法三：如上图，连接 BD（构造一组内错角）ABCD（已知）1=4（两直线平行，内错角相等）B=D（已知）B1=D4（等式的性质）2=3 ADBC（内错角相等，两直线平行）判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得

24、到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 5.5 三角形内角和定理的证明 一、教学目标 三角形的内角和定理的证明.二、教学过程 工人师傅将凹型零件加工成斜面 EC 与

25、槽底 CD 成 55的燕尾槽的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转 35角，就能得到 55的燕尾槽底角.图 1 图 2 图 3 为什么铣刀偏转 35角，就能得到 55的燕尾槽底角呢？1.讲授新课 为了回答这个问题，先观察如下的实验 用橡皮筋构成ABC，其中顶点 B、C 为定点，A为动点（如图 637），放松橡皮筋后，点 A 自动收缩于 BC 上，请同学们考察点 A 变化时所形成的一系列的三角形：A1BC、A2BC、A3BC其内角会产生怎样的变化呢？当点 A离 BC 越来越近时,A越来越接近 180,而其他两角越来越接近于 0，三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的，三角形的最大内角不会大于或等于

26、180。当点 A远离 BC 时，A越来越趋近于 0,而 AB与 AC 逐渐趋向平行，这时，B、C 逐渐接近为互补的同旁内角.即B+C180.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？实验 1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图 638（1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3），最后得图（4）所示的结果.判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形

27、的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载（1）（2）（3）（4）实验 2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.

28、那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形 ABC 的上层B剥下来，沿 BC 的方向平移到ECD 处固定，再剥下上层的A，把它倒置于C 与ECD之间的空隙ACE 的上方.这时，A与ACE 能重合吗？因为同位角ECD=B.所以 CEBA，所以能重合。这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于 180.接下来来证明：三角形的内角和等于 180这个真命题.这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.证 1 已知，如图 640，ABC.求证：A+B+C=180 证明：作 BC 的延长线 CD

29、，过点 C 作射线 CEAB.则 ACE=A（两直线平行，内错角相等）ECD=B（两直线平行，同位角相等）ACB+ACE+ECD=180（1 平角=180）A+B+ACB=180（等量代换）即：A+B+C=180.证 2 证明：作 BC 的延长线 CD，作ECD=B.则：ECAB（同位角相等，两直线平行）A=ACE（两直线平行，内错角相等）ACB+ACE+ECD=180（1 平角=180）判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结

30、论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 ACB+A+B=180（等量代换）三、课堂练习 1.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.答案：90 60 如图 644，在ABC 中，C=

31、90 A+B+C=180 A+B=90.如上图，ABC 是等边三角形，则：A=B=C.A+B+C=180 A=B=C=60 2.如上图,已知，在ABC 中，DEBC，A=60,C=70,求证：ADE=50.证明：DEBC（已知）AED=C（两直线平行，同位角相等）C=70（已知）AED=70（等量代换）判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四

32、边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 A+AED+ADE=180（三角形的内角和定理）ADE=180AAED（等式的性质）A=60（已知）ADE=1806070=50（等量代换）判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜

33、测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 5.6 关注三角形的外角 一、教学目标 1.三角形的外角的概念.2.三角形的内角和定理的两个推论.二

34、、教学过程 1.下面大家来共同证明：三角形的内角和定理.已知，如上图，ABC.求证：A+B+C=180 证明：作 BC 的延长线 CD，过点 C 作 CEBA.则：A=ACE（两直线平行，内错角相等）B=ECD（两直线平行，同位角相等）ACB+ACE+ECD=180（1 平角=180）ACB+A+B=180（等量代换）在证明这个定理时，先把ABC 的一边 BC 延长，这时在ABC 外得到ACD，我们把ACD 叫做三角形 ABC 的外角.那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.2.那什么叫三角形的外角呢？像ACD 那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形

35、的外角.外角的特征有三条：（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：ACD 的顶点 C 是ABC 的一个顶点.（2）一条边是三角形的一边.如：ACD 的一条边 AC 正好是ABC 的一条边.（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：ACD 的边 CD 是ABC 的 BC 边的延长线.把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有 6 个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的

36、吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 如上图，1 是ABC 的一个外角，1 与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？1 与4 组成一个平角.所以1+4=180.1=2+3.因

37、为：1 与4 的和是 180,而2、3、4 是ABC 的三个内角.则2+3+4=180.所以2+3=1804.而1=1804,因此可得：1=2+3.因为1=2+3，所以由和大于任何一个加数，可得：12,13.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.例 1 已知，如上图，在ABC 中，AD 平分外角EAC，B=C，求证：ADBC.要证明 ADBC.只需证明“同位角相等”即：需证明：DAE=B.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C B=21EAC（等式的性质）AD 平分EAC（已知）DAE=21EAC（角平分线

38、的定义）DAE=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点

39、所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 C=21EAC（等式的性质）AD 平分EAC（已知）DAC=21EAC（角平分线的定义）DAC=C（等量代换）ADBC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）C=21EAC（等式的性质）AD 平分EAC（已知）DAC=21EAC（角平分线的定义）DAC=C（等量代换）B

40、+BAC+C=180（三角形的内角和定理）B+BAC+DAC=180（等量代换）即：B+DAB=180 ADBC（同旁内角互补，两直线平行）若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？例 2 已知，如上图，在ABC 中，1 是它的一个外角，E 是边 AC 上一点，延长 BC到 D，连接 DE.求证：12.一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.证明：1 是ABC 的一个外角（已知）13（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）3 是CDE 的一个外角（已知）32（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）12（不等

41、式的性质）判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好

42、资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 师很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.三、.课堂练习 1.已知，如上图，在ABC 中，外角DCA=100,A=45.求B 和ACB 的度数.解：DCA=A+B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DCA=100,A=45（已知）B=DCAA=10045=55（等式的性质）DCA+ACB=180（1 平角=180）ACB=180DCA（等式的性质）DCA=100（已知）ACB=80（等量代换）本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：推论 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论 2：三角形的一个外角大于任

43、何一个和它不相邻的内角.2.如下图，求证：（1）BDCA.（2）BDC=B+C+A.如果点 D 在线段 BC 的另一侧，结论会怎样？证法一：（1）连接 AD，并延长 AD，如上图则：1 是ABD 的一个外角，2 是ACD判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是

44、对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习好资料 欢迎下载 的一个外角.13.24（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）1+23+4（不等式的性质）即：BDCBAC.（2）连结 AD，并延长 AD，如下图，则1 是ABD 的一个外角，2 是ACD 的一个外角.1=3+B 2=4+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）1+2=3+4+B+C（等式的性质）即：BDC=B+C+BAC 证法二：

45、（1）延长 BD 交 AC 于 E（或延长 CD 交 AB于 E），则BDC 是CDE 的一个外角.BDCDEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）DEC 是ABE 的一个外角（已作）DECA（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）BDCA（不等式的性质）（2）延长 BD 交 AC 于 E，则BDC 是DCE 的一个外角.BDC=C+DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DEC 是ABE 的一个外角（已作）DEC=A+B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BDC=C+A+B（等量代换）如果点 D 在线段 BC 的另一侧，如上图，则有 判定一个数

46、学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样学习

47、好资料 欢迎下载 A+B+C+D=360。判定一个数学结论正确与否需要进行有根有据的推理二教学过程在现实生活中我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中我们通过观察度量猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗如果不是那么用什么方法才能说明什么结论画出四边形找到四边形的中点后量了量四边形的边发现角由此说明四边形是平行四边形如果改变四边形的形状你还能得到类似的结论吗改变了四边形的形状后它们四边的中点所围的四边形仍然是对边相等对角也相等即四边中点所以可把这个四边形变为两个三角形即可以连接也可以连接把四边形变为与或与现在我们来连接如上图在中是的中位线根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得平行于且等于的一半学习好资料欢迎下载同样