34基本不等式111课件.ppt

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1、3.4基本不等式：基本不等式：你有什么发现？你有什么发现？你又有什么新发现？你又有什么新发现？如果如果为正整数、且为正整数、且1.若若为正整数、且为正整数、且2.若若你有什么发现？你有什么发现？你又有什么新发现？你又有什么新发现？如果如果为正整数、且为正整数、且1.若若为正整数、且为正整数、且2.若若为正整数、且你有什么发现？你又有什么新发现？如果为正整数、且 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中

2、国人民热情好客。风车，代表中国人民热情好客。新知建构 20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标三国时期三国时期吴国的数学家赵爽吴国的数学家赵爽新知建构 思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？新知建构 问问2 2：RtABE,RtBCF,RtCDG,RtADHRtABE,RtBCF,RtCDG,RtADH是全等三角是全等三角形，它们的面积总和是形，它们的面积总和是S S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中,设设AE=a,BE=b,AE

3、=a,BE=b,则则AB=AB=则正方形的面积为则正方形的面积为S=S=。问问3 3：观察图形：观察图形S S与与S S有什么样的大有什么样的大小关系？小关系？易得，易得，s ss s 即：即：ADCBHGFE问问4 4：那么它们有相等的情况吗？那么它们有相等的情况吗？何时相等？何时相等？变化的弦图变化的弦图问题问题4 4：s,s,S有相等的情况吗？何时相等？有相等的情况吗？何时相等？图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，缩为一个点，这时有这时有 u形的角度形的角度u数的角度数的角度

4、当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立问问5 5：当当a,ba,b为任意实数时，为任意实数时，还成立吗？还成立吗？此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式替换后得到：替换后得到：即：即：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？新知建构 证明：要证证明：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分分

5、析析法法证明不等式：证明不等式：特别地，若特别地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围：a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图

6、如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦D

7、E,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式新知建构 例例1.(1)如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短

8、短，最最短的篱笆是多少？短的篱笆是多少？ABDC典例分析 例例1.(1)如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短短，最最短的篱笆是多少？短的篱笆是多少？解：如图设解：如图设BC=x，CD=y，则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当当且仅当 时，时，等号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m.此时此时x=y=10.x=yABDC若若x、y皆为正数，皆为

9、正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.例例1.(2)如如图图，用用一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形菜菜园园的的长长和和宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x，CD=y，则则 2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时，菜园面积最大，最大面

10、积是菜园面积最大，最大面积是81m2即即x=y=9ABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；（1）如果）如果a，b0，且，且abP（定值定值），那么），那么a+b有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.（2）如果）如果a，b0，且，且abS（定值定值），那么），那么ab有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.利用基本不等式求最值问题：利用基本不等式求最值问题：小小大大利用基本不等式求最值的条件：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。一正、二定、三相等。a=ba=b新

11、知建构，总结分析各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).14例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总

12、造价是多少?分析分析:水池呈长方体形水池呈长方体形,它的高是它的高是3m,3m,底面的长底面的长与宽没有确定与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了水池的总造价也就确定了.因此应当考察底因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解解:设底面的长为设底面的长为xm,xm,宽为宽为ym,ym,水池总造价为水池总造价为z z元元.根据题意根据题意,有有:由容积为由容积为4800m4800m3 3,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600 xy=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等

13、式与不等式的性质,可得可得即即 当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时,等号成立等号成立 所以所以,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方形的正方形时总造价最低时总造价最低,最低总造价为最低总造价为297600297600元元.如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？的面积最大，最大面积是多少？当堂训练，针对点评如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的的篱笆围一个一边靠墙

14、的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x，BC=242x，矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x)m2因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).142.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式两个重要的不等式课堂总结课堂总结布置作业布置作业1.阅读回顾：阅读回顾：P97-P1002.作业设计：作业设计：P100习题习题3.4A组组1-2