微分中值定理教案高等教育微积分高等教育微积分.pdf

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1、微分中值定理【教学内容】拉格朗日中值定理【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。3、了解拉格朗日中值定理的推论 1 和推论 2【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用 2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。3、利用导数证明不等式的技巧。【教学过程】一、背景及回顾 在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另

2、一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(xf满足下列条件：在闭区间 ba,连续 在开区间 ba,可导 )()(bfaf 则在 ba,内至少存在一点 c，使得0)(cf 二、新课讲解 1797 年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中

3、是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理 若函数)(xf满足下列条件：在闭区间 ba,连续 在开区间 ba,可导 则在开区间 ba,内至少存在一点 c，使 abafbfcf)(注：a、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。b、若加上)()(bfaf，则 00)(ababafbfcf即：0)(cf，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。c、形象认识（几何意义），易知 abafbf为过 A、B两点的割线的 yC)(xfy ABaOxbxyC)(xfy ABaObMNx斜率，)(cf为曲线)(x

4、f上过 c 点的切线的斜率；若 abafbfcf)(即是说割线的斜率等于切线的斜率。几何意义：若在闭区间 ba,上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点)(,(cfcC，使得过点C的切线平行于割线 AB。它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。”2.2 拉格朗日定理的证明 下面我们证明一下该定理。分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数)(x，使他满足罗尔定理的条件。注意罗尔定理的结果是0)(cf，对应拉格朗日定理的结果是 abafbfcf)(，即 0

5、)(abafbfcf，实际上就是0)(c，即是说 abafbfcfc)()(，两边积分得 Cxabafbfxfx)(，注意)(x要满足罗尔定理的三个条件，故取 )(axabafbfafxfx 证明：作辅助函数 )(axabafbfafxfx，易知)(x在闭区间 ba,连续，在开区间 ba,可导，又)()(ba，根据罗尔定理，)(x在 ba,内至少存在一点 c，使得0)(c，而 abafbfxfx)()(，于是 0)()(abafbfcfc，即 abafbfcf)(，命题得证。注：a、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为

6、简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数 )(axabafbfafxfx中的 axabafbfaf其实就是过两点 A、B 两点的割线方程。b、拉格朗日中值定理的中值点 c 是开区间（a,b）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点 c 的存在性，而非”定量“地指明 c 的具体数值。c、拉格朗日中值定理的其他表达形式：（1）.).)()()(时也成立当baabfafbf （2）xfxfxxf)()()(之间和在xxx 2.3 拉格朗日定理的应用 例 1:验证函数()f x 3x-3x在区间0，2 上是否满足拉格朗日

7、中值定理的条件，若满足，求使定理成立的的值.解:因 3()=3f xxx，在 0,2上连续，在(0,2)内可导，满足定理的条件。而2()=33fxx 由 02)(02fff得 231 3，2 33 注 在验证拉格朗日中值定理时，必须注意：（1）该函数是否满足定理的两个条件。（2）是否存在一点（a,b）,使)()()(abfafbf成立.意义能应用拉格朗日中值定理证明不等式了解拉格朗日中值定理的推论和推论教学重点与难点拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入利用导数证明不等式的技巧教学过程一背景及回顾在决但如果想用导数这一工具去分析解决复杂一些的问题那么只知道怎

8、样计算导数是远远不够的而要以此为基础发展更多的工具另一方面我们注意到函数与其导数是两个不同的函数导数只是反映函数在一点的局部特征我们往往要了解极值点的概念费马定理特别是罗尔定理我们简单回忆一下罗尔定理的内容若函数满足下列条件在闭区间连续在开区间可导则在内至少存在一点使得二新课讲解年法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理史称拉格朗日中值例 2.)1ln(1,0 xxxxx 时证明当 分析：此题难以下手，由此考虑到使用拉格朗日中值定理。证明：设 xxf1ln 易知 xf在,0 x上满足拉格朗日中值定理的条件 故，xxffxf0,00 又，xxff11,00，有上式得：11lnxx 又，11

9、1111110 xxx 则，xxxx11，即 xxxx)1ln(1，命题得证。小结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选取适当的函数，并且该函数满足中值定理的条件。便得到)()()()(baabfafbf，再根据ba放大或缩小)(f，证出不等式。推论 1 如果()f x在区间(,)a b内的导数恒等于零，那么()f x在(,)a b内恒等于一个常数.（证明作为课外作业）证：在区间(,)a b内任意取两点1x，2x（设12xx），则()f x在 12,x x上满足拉格朗日中值定理条件.故有 2121()()()f xf xxxf c 12()xcx，由于()0fc，所以21()()0f xf

10、x，即 21()()f xf x.由于1x，2x是在(,)a b内任意取的两点，因此()f x在区间(,)a b内函数值总是相等的，这表明()f x在区间(,)a b内恒为一个常数.推论 2 若(,)xa b 有()()fxg x，则(,)xa b 有()()f xg xc.（证明作为课外作业）证：(,)xa b，()()()()0f xg xfxg x，根 据 推 论 1知()()f xg xc，即()()f xg xc.三、小结 1、拉格朗日定理的内容 2、拉格朗日定理的几何意义 3、拉格朗日定理的证明过程构造函数法 4、拉格朗日定理的应用 意义能应用拉格朗日中值定理证明不等式了解拉格朗日

11、中值定理的推论和推论教学重点与难点拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入利用导数证明不等式的技巧教学过程一背景及回顾在决但如果想用导数这一工具去分析解决复杂一些的问题那么只知道怎样计算导数是远远不够的而要以此为基础发展更多的工具另一方面我们注意到函数与其导数是两个不同的函数导数只是反映函数在一点的局部特征我们往往要了解极值点的概念费马定理特别是罗尔定理我们简单回忆一下罗尔定理的内容若函数满足下列条件在闭区间连续在开区间可导则在内至少存在一点使得二新课讲解年法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理史称拉格朗日中值微分学基本定理 1、极值点的概念 定义：设

12、函数)(xf在区间I上有定义。若Ix 0，且存在0 x的某邻域,)(0IxU)(0 xUx，有 0 xfxf （0 xfxf）则称0 x是函数)(xf的极大点（极小点），0 xf是函数)(xf的极大值（极小值）。2、费马定理 设函数)(xf在区间I上有定义。若函数)(xf在0 x点可导，且0 x是函数)(xf的极值点，则 0)(0 xf 3、罗尔定理 若函数)(xf满足下列条件：在闭区间 ba,连续 在开区间 ba,可导 )()(bfaf 则在 ba,内至少存在一点 c，使得0)(cf 4、拉格朗日定理 若函数)(xf满足下列条件：在闭区间 ba,连续 在开区间 ba,可导 则在开区间 ba,

13、内至少存在一点 c，使 abafbfcf)(5、柯西中值定理 若函数)(xf和)(xg满足下列条件：在闭区间 ba,连续 在开区间 ba,可导，且),(bax，有0)(xg，则在 ba,内至少存在一点 c，使得 agbgafbfcgcf 意义能应用拉格朗日中值定理证明不等式了解拉格朗日中值定理的推论和推论教学重点与难点拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入利用导数证明不等式的技巧教学过程一背景及回顾在决但如果想用导数这一工具去分析解决复杂一些的问题那么只知道怎样计算导数是远远不够的而要以此为基础发展更多的工具另一方面我们注意到函数与其导数是两个不同的函数导数只是反映函数在一点的局部特征我们往往要了解极值点的概念费马定理特别是罗尔定理我们简单回忆一下罗尔定理的内容若函数满足下列条件在闭区间连续在开区间可导则在内至少存在一点使得二新课讲解年法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理史称拉格朗日中值