（第1课时）等差数列的概念及通项公式 教案 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、 等差数列的概念及通项公式教学设计课题 等差数列的概念及通项公式单元第一单元学科数学年级高二教材分析本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章数列第二节课4.2.1等差数列的概念。本节课主要学习等差数列的概念、等差中项及等差数列的通项公式。 数列是一种特殊的函数，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. 等差数列是一类取值规律比较简单的数列，是对数列知识的进一步深入和拓展. 教学目标与核心素养1数学抽象： 等差数列的概念2逻辑推理： 等差数列通项公式的

2、推导3数学运算： 通项公式的应用4数学建模： 等差数列的应用 5直观想象：等差数列与一次函数的关系6数据分析： 学习等差数列的概念 ，同时探究等差数列通项公式的推导方法，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力重点等差数列概念的理解、通项公式的应用难点等差数列通项公式的推导、等差数列的判定教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课我们知道，数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型. 类似地，在

3、了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.复习导入 通过新课导入，让学生回顾有关函数的学习，帮助学生通过比较、探索数列的学习。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养讲授新课 请看下面几个问题中的数列. 1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81. 2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上

4、衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48. 3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：）依次为25，24，23，22，21. 4. 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b（=a12n）元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br， . 思考在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律.类似地，你能通过运算发现以上数列的

5、取值规律吗？对于，我们发现 18=9+9，27=18+9，81=72+9，换一种写法，就是18-9=9，27-18=9，81-72=9.如果用an表示数列，那么有a2a1=9，a3a2=9，a9a8=9.这表明，数列有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.数列也有这样的取值规律.等差数列的概念（文字语言）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 例如的公差d=9.（符号语言） an+1an=d (d为常数，nN)概念解析：(1) “每一项与它的前一项的差”这一运算

6、要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：作差的顺序；这两项必须相邻(2) 定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.（1）条件：如果a，A，b成等差数列（2）结论：A叫做a与b的等差中项（3）满足的关系式是 2A=a+b在日常生活中，人们常常用到等差数列.例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级（如前面例子中的上衣尺码）.你能举出一些例子吗？等差数列的通

7、项公式探究你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等差数列an的首项为a1，公差为d.根据等差数列的定义，可得an+1an=d，所以a2a1=d，a3a2=d，a4a3=d， .于是a2=a1+d,a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d，归纳可得an=a1+n1d (n2).当n=1时，上式为a1=a1+11d=a1 .这就是说，上式当n=1时也成立.因此，首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+n1d思考：上面的推导采用了不完全归纳法，还有其他的方法吗？怎么做?提示：还可以用累加法解：因为 a2a1=d,a3a2=d ，

8、a4a3=d ，anan1=d (n2) 将上述（n-1）个式子相加得ana1=n1d (n2) ，所以 an=a1+n1d (n2) .当n=1时，上式为a1=a1+11d=a1，符合上式，所以 an=a1+n1d (nN)已知等差数列an的首项为a1，公差为d递推公式通项公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*) 从函数角度认识等差数列思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？由于an=a1+n1d=dn+(a1d)，所以当d0时，等差数列an的第n项an是一次函数 fx=dx+a1d (xR) 当x=n时的函数值，即an=f(n) .如图4.2-1，在平

9、面直角坐标系中画出 fx=dx+a1d的图象，就得到一条斜率为d，截距为a1d的直线. 在这条直线上描出点1,f1，2, f2，n, fn，就得到了等差数列an的图象.事实上，公差d0的等差数列an的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线 fx=dx+a1d上.反之，任给一次函数 fx=kx+b (k, b为常数)，则f1=k+b，2=2k+b，,fn=nk+b 构成一个等差数列nk+b，首项为 (k+b),公差为 k. 下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题.例1 （1）已知等差数列an的通项公式为an=52n，求an的公差和首项；（2）求等差数列8，5，2，的第20项.

10、分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由anan1=d即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.解：（1）当n2时，由an的通项公式an=52n，可得an1=52n1=72n于是 d=anan1=52n72n=2把n=1代入an=52n，得a1=521=3所以，an的公差为-2，首项为3.（2）由已知条件，得d=5-8=-3.把a1=8，d=-3代入an= a1+n1d,得an=83n1=113n.把n=20代入上式，得a20=11320=49所以，这个数列的第20项是-49.例2 -401是不是等差数列-5，-9，-1

11、3，的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否能使这个方程有正整数解.解：由a1=5，d=-9-(-5)=-4，得这个数列的通项公式为an=54n1=4n1 .令 4n1=401，解这个关于n的方程，得 n=100.所以，-401是这个数列的项，是第100项.课堂练习 1在等差数列an中，(1)已知a5=1 , a8=2 , 求 a1 和 d ; (2)已知a1+a6=12 , a4=7, 求 a9 . 解：(1) a5=1 , a8=2 ,a1+4d=1 , a1+7d=2 , 解得 a1=5d=1 (2)设数列an的公差为d. 由已知得，a1

12、+a1+5d=12 , a1+3d=7 , 解得 a1=1d=2 an=1+n12=2n1 a9=29=17 . 2 周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春风、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春风的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为（ ） A15.5尺 B. 12.5尺 C. 9.5尺 D. 6.5尺 解：因为从冬至之日起，小寒等这十二个节气的日影子长依次成等差数列，故可设该等差数列为an，则冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春风、清明、谷雨、立夏、小

13、满、芒种的日影子长分别记为 a1，a2，a3，a12，由题可得： a1+a4+a7=37.5 a12=4.5 即 a1+9d=37.5 a1+11d=4.5 解之得 a1=15.5d=1 所以立夏的日影子长为：a10=a1+9d=15.5+91=6.5 (尺) 故选：D3 已知数列an是等差数列，a1=t2t , a2=4, a3=t2+t ,求数列的通项公式an . 解：由题意得 t2t+t2+t=2t2=8 所以，t=2 t=2 时, a1=2，公差 d=2 ,所以 an=2nt=2 时，a1=6，公差 d=2，所以 an=82n 4 已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，

14、则m和n的等差中项是_ 解：由题意得 m+2n=82=162m+n=102=20 3( m+n)=36 m+n=12 m+n2 =6 答案： 6 5 已知数列an满足a1=4，an=44an1n1记bn=1an2 .求证：数列bn是等差数列证明：定义法bn+1=1an+12=144an2=an2(an2) bn+1bn=an2an21an2=12 ,为常数(nN) 又 b1=1a12=12数列bn是首项为，公差为的等差数列等差中项法 bn=1an2 bn+1=1an+12=144an2=an2(an2) bn+2=an+12(an+12)=44an2 44an2=an1an2 bn+bn+22

15、bn+1=1an2+an1an22an2an2=0 bn+bn+2=2bn+1 (nN)数列bn是等差数列拓展：等差数列的证明与判定的方法(1)定义法： an+1an=d (nN) 或 anan1=d(n2, nN) an是等差数列 (2)定义变形法：验证是否满足 an+1an= anan1 (n2, nN)(3)等差中项法： 2an+1=an+an+2 (nN) an是等差数列 (4)通项公式法：通项公式形如 an=pn+q (p,q为常数)an是等差数列.(5)前n项和公式法：(后面的内容)Sn=p n2+q (p,q为常数)an是等差数列.注意（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三

16、项 an、an+1、an+2 ，使得 2an+1an+an+2 即可（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.学生独立思考、讨论、交流改变表达方式使数列的取值规律更突出了.an+1an=d 就是等差数列an的递推公式.引导学生思考、寻找一列数的规律性，同时认识到运算对于发现规律的作用通过对具体例子的思考、分析、归纳、总结，抽象出等差数列的概念，发展学生数学抽象的核心素养通过等差数列通项公式的推导，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养习题巩固课堂小结1等差数列的概念2等差中项 3等差数列的通项公式4从函数角度认识等差数列板书1等差数列的概念2等差中项 3等差数列的通项公式4 例题巩固与课堂练习 教学反思学科网（北京）股份有限公司