2021年“超级全能生”高考（文科）数学联考试卷（乙）（解析版）.pdf

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1、2021年浙江省“超级全能生”高考数学联考试卷（文科）一、选 择 题（每小题5 分）.1.已知集合人=0,a,B=xeZ|x2-x-2W 0,若 4C 8=0,1 ,则 CBA=（）A.-1,1 B.1,2 C.-1,1,2 D.-1,22.已知上里-0（i 为虚数单位），则实数。等 于（）a+iA.-1 B.0 C.1 D.13.如图是某超市上一周不同品牌矿泉水销售量统计图，农夫山泉、娃哈哈、乐百氏、屈臣氏每箱利润分别为12元、8 元、10元、13元，则平均每箱矿泉水利润为（）4.在 2000年威尼斯世界建筑设计展览会上，方圆大厦成为亚洲唯一获奖的作品，获得“世界上最具创意性和革命性的完美建

2、筑”的美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，借此预示着人驻大厦的业主财源广进，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化的天圆地方，若 将“内方”视为空心，其主视图和左视图如图所示，则其表面积为（）A.9000TT+6600 B.9000n+4800 C.9000n+3000 D.9000it-18005.已知不等式这3+加2-c x+2 2 0,且a,b,c=-1,0,2 ,则不等式为二次不等式的概 率 为（）A-6B-ic-lD-f6.己知点尸和 A B C 满 足 羽 _ 族=而-位，且 品=而，则 前=（）7.B.已知数列 中，0 =1,A B 弓 A CC.3 -1

3、1 一 3 4 A B WAC ABACan-ar H-l an+l an(n G N*)则相=1 0A.8B.9C.1 0D.1 1(C.9.2 3D.2 5冗己知 a,p G (0,n),c o s -a+p)(T T-p)=7,则 t a n a=()a-4.若 a m)5,t a nA.-3B春C.321 0.己知点M（3,是椭圆个a+2，=l（a b 0）上的一点,b F i,6 是椭圆的左、右焦点，若 M F i E 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）A.-B.爪$2 c.工 或 2 D.2或百3 4 2 3 3 31 1.如图，在四棱锥P-A B C O 中，P A L 平面A

4、 B C ,底面A B C Q 为平行四边形，且 A B 二AC=BD,E为 CD的中点，则下列说法不正确的是（）3pA.B )_L 平面 PA CB.平面PA B _L 平面PAEC.若 F为 P 8 的中点，则 C F 平面PA EKD.若 P A=A B=2,则直线P 8 与平面P A C 所成角为1 丁1 2.已知奇函数/(x)的定义域为 x|x R且 x W O ,且有f (3 x)=3/(x),/(I)=1,当f(X)f(x2)x i X2 0 时，(X1-X2)(厂-)0,0)的左、右焦点分别为B,过尸2 沿倾斜角1 2 0 出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为3

5、0 ,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为.1 6 .各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 满 足/g S+/g 43 =/g“4,且“2,。3+1,。4成等差数列，数歹(I 瓦 满足6 1 =1,数列(儿+1-6 )4 的 前 项 和 S=2,则 b=.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22,23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共 60分。1 7.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 6 (c o s C+返 s in C)=a.3(I)求角3的值；(I I )

6、若 c=&,c 2=2+-力，求 A B C 的面积.1 8.如图，在四棱锥E-ABCO 中，点 N 为正方形A B C Q 的中心，E C Q是边长为2的正三角形，且平面E C O,平面A 8C ,M 为 E Z)的中点.(I )求证：直 线 平 面 E 4B；(I I )求三棱锥C -B D E的体积.F.D.41 9 .2 0 1 5-2 0 1 9 年，全国从事节能服务业务的企业数量逐年上升，但增速缓慢.根据中国节能协会发布的 2019节能服务产业发展报告，截至2019年底，全国从事节能服务的企业数量统计如表所示：年 份 20152016201720182019企业家y(百家)5458

7、616465(I )作出散点图，并根据散点图说明全国从事节能服务的企业数量与时间的相关关系:(I I )令x=f-2017,求 y 关于x 的回归直线方程；(III)预测2021年，全国从事节能服务的企业数量约为多少家？附：回 归 直 线 y=b x+a 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 为：b=n _ _ n _ _ _Z（X j-x）（y y）z X i Y.-n xyi=l i=Jn n _（一、2 2-2,X j -n xi=l i=la=y-b2015 2016 2017 20IX 2019 小I20.设抛物线)a=2px(p 0)的焦点为 F,已知直线

8、/|：，x-y-2,=o,圆 E：x2+f -2 x-4y-4=0.(I )设直线人与圆E的交点分别为P，Q,求当|尸。|取得最小值时，直线/|的方程；(II)若抛物线过圆E的圆心，直线h,/2过同一定点且与抛物线相交于A,B和C,D点，/山2,设M是AB的中点，N是C Z)的中点，证明：直线M N恒过定点.21.已知函数/(x)=lnx+-ax2+(a+1)x.(I )讨论函数/(尤)的极值；(I I)若 g (x)=(x-1 )(/(x)-ax2-ax)-x2-1,证明：函数 g (x)有且仅有两个零点X I，X2,且X 1X 2=1.(二)选考题：共 10分。请考生在第22,2 3 题中

9、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2 B 铅笔在答题卡。上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/与极轴交于点N,且动点M满足(I )求直线/的极坐标方程和点M的轨迹的极坐标方程G7T1 1(0)若直线0=9(p e R)分别交直线/、曲线C于点A,8(非极点)，求 力 片 片 卷的值.选修4-5：不等式选讲2 3.设函数/(x)=q+1|+仇-1|.（i）求不等式/a）3的解集；（II）若/（冗）2-冗+，对任意xER恒成立，求实数，的取值范围.一、选 择 题（每小题5分）.参考答案1.己知集合4=0,a,B=

10、xe Z|N-x-2 W 0,若 ACB=0,1 ,贝 U CBA=()A.-1,1 B.1,2 C.-1,1,2 D.-I,2解：；集合 A=0,a,B=x Z|/-x-2 W 0 =xZ|-K W 2 =-1,0,1,2,：AnB=0,1,.4ZG1,CBA=-1,2.故选：D.2.已 知 上 空 0(i 为虚数单位)，则实数。等 于()a+iA.-1 B.0 C.1 D.1解:由题设可得:1+ai _(1+ai)(a-i)_ a+a2i-i+a _ 2a a2 一 ：a+i(a+i)(a-i)a2+i a2+l a2+lZ，a+i2aa2+la?-la2+l 0=0解得：a=f故选：C.

11、3.如图是某超市上一周不同品牌矿泉水销售量统计图，农夫山泉、娃哈哈、乐百氏、屈臣氏每箱利润分别为12元、8 元、10元、13元，则平均每箱矿泉水利润为（)解：由题中给出条形图可知，农夫山泉有30箱，哇哈哈有45箱，乐百氏有25箱，屈臣氏有10箱,利润分别为12元，8 元，10元，13元，它们的利润综合为 30X 12+45X8+25X 10+10X 13=1100 元，一共有 30+45=25+10=110 箱，所以平均每箱矿泉水利润为1100+110=10元.故选：B.4.在 2000年威尼斯世界建筑设计展览会上，方圆大厦成为亚洲唯一获奖的作品，获 得“世界上最具创意性和革命性的完美建筑”的

12、美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，借此预示着人驻大厦的业主财源广进，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化的天圆地方，若 将“内方”视为空心，其主视图和左视图如图所示，则其表面积为（）A.9000T T+6600 B.9000n+4800 C.9000n+3000解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面直径为1 0 0,高为4 0 的圆柱体，挖去一个底面为正方形，高为4 0 的直四棱柱构成的组合体，D.9000n-1800故 S表=2X 兀5（）2+2X 兀 X 50 x 40-302+4X 30 x 40=9OOOT T+3OOO.故选：c.5.已知不等式

13、 底+加 一 c x+2 5 0,且m b,c=-1,0,2 ,则不等式为二次不等式的概 率 为（）A.B.C.D.6 2 3 6解：根据题意，a,b,c=-1,0,2 ,则。、b c 的取法有4 3=6 利 I若不等式办3+笈2 4+2,0 为二次不等式，则。=0,有 4 2=2 种情况，则不等式为二次不等式的概率p=3=，6 3故选：C.6.已知点P 和A8C满 足 至 _ 族=而-菽，且 与=而，则 前=（）A.-IAB+AC B.-AB+AC C.-A B-A C D.-AB-AC解：因 为 标-薪=屈-16,所以诬=而，可得P 为 8 c 中点，由 与=而，可知。为 A P中点，所以

14、 B Q=5（BA+BP）=5B A+5X 5B C=5B A+NBC=-5 超+丁（AC-AB）=-乙 乙 乙 乙 乙 乙3 1-AB+AC-故选：A.a17.已知数列 中，0 =1,-=1(KGN*),若“,则?=()10A.8 B.9 C.10 D.11-a yyl-1解：Vai=l,=1(neN*),an+l,anan+l an 数歹U 土 是首项、公差均为1 的等差数歹人由a也 亮可得:工=工m-l0解得川=10,故选：c.8 .执行如图所示的程序框图，则输出的=()解：n=l,i=,5=0；第 I 次执行循环体后，S=l,i=2,=3,不满足退出循环的条件；第 2 次执行循环体后，

15、S=1+3=4,i=3,=5,不满足退出循环的条件；第 3 次执行循环体后，S=l+3+5=9,i=4,=7,不满足退出循环的条件；第 4 次执行循环体后，5=1+3+5+7=16,i=5,n=9,不满足退出循环的条件;第 10次执行循环体后，5=1+3+5+7.+19,z=11,n2 1,不满足退出循环的条件;第 11行次执循环体后，5=121,z=12,n=2 3,不满足退出循环的条件;第 12次执环体，S=1 4 4,满足退出循环的条件;则输出的=23.故选：C.9.已知 a,p G(0,IT),c o s -a+p)=,t a n (n p-)=7,则 t a n a =()A.-3R

16、 139C.3解：*.*c o s -a+B)t a n (n -B)=7,2 5,JR/.s i n (a -p)=-,t a n p=-7,V a,p G(0,n),t a n p=-7 0,cos(a-p)=2 国tan(a -B)得,5/r(八“i t a n (a -B)+t a n B.tana=tan(a-p)+p=小 R、.记l-t a n(a -B)，t a n P12X(-7)13IF故选：B.1 0.己知点M（3,7 1 5）是楠圆工5+l（a b 0）上的一点，Fi,F2是椭圆的左、右az bz焦点，若 为 等 腰 三 角 形，则该椭圆的离心率为（）A.B.义匝N.C.

17、2 或2 D.2 或显丞N3 4 2 3 3 3 2 2解：点 M（3,J 元）是 椭 圆 七 崖 右 l（a b 0）上的一点，F ,尸 2 是椭圆的左、右焦点，若 为 等 腰 三 角 形，如果|PFi|=|F iB|,可得 2C=3+C）2+（任-。产,解 得 c=4,可得 a2-*2-16,9 15,2 2卜a b解得a=6,b=2娓,此时离心率为：e=j,如果|PB|=|B B|,可得 2c=J（3-c）2+（擀-0）2,解得 c=2,可得 a2-b2=4,9 15,2,2 lfa b解得 a=2+J d此时离心率为：e=叵-2.a 3故选：D.1 1.如图，在四棱锥P-4B C O

18、中，PA_L平面ABC。，底面ABC。为平行四边形，且 4 8=A C=B D,E 为 CO的中点，则下列说法不正确的是（）3pA.BO_L平面 PACB.平面尸A8_L平面PAEC.若 F 为 P 8的中点，则 CF平面PAEKD.若 P A=A 8=2,则直线尸B 与平面PAC所成角为?-解：因为底面A3。为平行四边形，且 AB=AC=返 3,3所以NABC=60,且 AB=AO=CZ)=BC,故底面A B C D为菱形.对于A,因为尸A_L平面ABCD,又 8u平面ABCQ,所以因为底面ABC。为菱形，所以BOLAC,又 ACC1PA=A,AC,PAu平面尸AC,所以B。，平面H 4C,

19、故选项A 正确；对于8,因为E 为 CD的中点，所以NBAE=90,即AE_LAB,又 PA_L平面ABC。，又 AEu平面4 8 8,所以A E U A,X P A DAB=A,PA,ABu平面 PAB,所以AEJ_平面P A B,又AEu平面PAE,所以平面尸AB_L平面P A E,故选项8 正确；对 于 C,取 PA的中点G,连结EG,FG,因为尸，G 分别为P8,PA的中点，贝 IJ 有 FGA B,且尸G=/A B，又 E 为 C的中点，则有CE/1 8,且CE=/AB，所以 CE/FG 且 CE=FG,故四边形FGEC为平行四边形，所以CF/EG,又 CFC平 面PAE,EGu平面

20、PAE,所以CF平面P A E,故选项C 正确；对于D,由选项A 中的证明可知，8。_ 1 _ 平 面 抬。,所以N B P C即为直线P B与平面P A C所成角，在 RtBPC 中，P B=2如，B O=M，所以s i n N8 PC=g 3，故选项。错误.P B 2&4故选：D.1 2.已知奇函数f(x)的定义域为二f(X 1)X l X 2 0 时、(XI-X 2)(打X1A.(-8,-3 u 3,+8)C.(-8,-1 U 1,+8)5.A f(x)解：令 g (x)=3,x因为当 X l X 2 0 时，(XI-X2)f(X1)f(x2)所以 3 、,B P g(;X1 x2|xE

21、R 且 xW O,且有/(3 x)=3/(x),/(I)=1,当f(X2)-1)0,则 不 等 式 丝&的 解 集 为()X2xB.-3,0)U(0,3D.-1,0)U(0,1 Jf(X 1)f (x2)(-)，X1 x21)g(X 2),所以g(x)在(0,+)上单调递减，f f-x)-f (x)f (x)因为/(x)为奇函数，所以g(-x)=、1 乙=一甘=V-x -X X所以g(X)为偶函数，所以g(x)在(-8,0)上单调递增，不 等 式 丝 鱼/可 化 为 上 铮 即 g(X)x x 9 9因为f(3 x)=3/(%),/(I)=1,所以g(3)=f(3)_3f(l)_ 127 27

22、 9所以 g(x)N g(3),则|x|W 3,解 得-3W x W 3,即 不 等 式 空 包 的 解 集 为-3,0)U (0,3.X故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知实数羽y满足约束条件y-x+2,y2x-4,则x-y的 最 小 值 为-2y 0,0）的左、右 焦 点 分 别 为 F2,过人沿倾斜角120出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30,则该双曲线的离心率为_/+1 _.解：由反射光线的倾斜角为30,可得NMF1F2=3O,又过尸2出发的光线的倾斜角为120,可得/FiM B=120-30=90,设|MFi|=s,MF2=t,且 M

23、 在第一象限，由双曲线的定义可得s 7=2”，在直角三角形 MF1F2 中，s=|Fi&|cos30 f=|吊F2|sin30=c,所以 2 a=F 0,由 lgai+lga3=/g44,可得 2 3=4,即的2夕 3=仪 3,解得=,由。2,。3+1,。4 成等差数列，可得 2（。3+1）=。2+。4,即 2（炉+1）=q+q3,解得4=2,则劣=2 1设 Cn=Cbn+bn）dm由 S=2,可得二=1 时,C1=S1=1,心 2 时,C n=Sn-Sn-=n2-（-上式对n=也成立，所 以（bn+1 -以）C ln=2 1 ,=F1*()1+3 ()2+2 2 2上面两式相减可得 5=尚+

24、2 (-)2bn即有加 -5=(2 -1),(/)n所 以 =6+(b2-bO+。3-岳)+(bn-bn-0=1 +P ()+3 ()+(2 2 2-3)()“22-3)()2+()2+(A)-2,(2-3)()2 2 22 1 21 -2化为d=7 -(2/1+1)()-2.2故答案为：7 -(2 n+l)(-1)2三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 172 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22,23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共 60分。1 7.在 AB C 中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且 (c os C+返 s

25、 i n C)=a.3(I )求角B的值；(I I )若 C=&，C1=a2+b2-求4 3。的面积.解：(I)由正弦定理知，r 丁=/不，s i n A s i n Bb(c os C+W s i n C)=a,3As i n f i (c os C+返 s i n C)=s i n A,3又 s i n A=s i n (B+C)=s i n 8 c os c+c os 8 s i n C,-s i n B s i n C=c os B s i n C,3Vs i n C O,I.t a n B=V B e (0,n),：.B=.3(I I)由余弦定理知，c os C=9+歹 c_=1 2

26、=,2 a b 2 a b 2兀V C G (0,n),：.C=,K/.s i n A=s i n (B+C)=s i n B c os C+c os B s i n C=s i n兀 冗.os-F e os-s i n4 3冗_迎4V-4 4 由正弦定理知,_csinBsinC如 唔r-2 AB C 的面积 S hc-sinAX J3 X J9X.2 2 v v 4 41 8.如图，在四棱锥E-A 8 C Z)中，点N为正方形A B C。的中心，&7 是边长为2的正三角形，且平面ECDL平面A B C。，M为EC的中点.(I )求证：直线例N平面 4 8；(I I)求三棱锥C -B D E的

27、体积.【解答】(I )证明：因为点N为正方形A B C。的中心，M为E。的中点,在 B E C 中，MN/BE,又因为MNC平面EAB,8 E u平面EAB,所以MN平面EAB；(I I)解：取C。的中点F,连结E F,F B,如图所示，因为石 为正三角形，所以EFLCD,又平面E C D _ L平面A 3 CD,平面E C Z)C平面A 8 C O=C D,E F u平面E C Z),所以EL平面A B C。，所以E F是三棱锥E-B C D的高，由已知可知，正方形A B C。和正 E C O的边长都为2,所以E F=V ，SA BCD=y-B C C D=2-所以 m-B D E =%-B

28、 C DS B C D 即=，故三棱锥C-B D E的体积为2返.319.2015-2019年，全国从事节能服务业务的企业数量逐年上升，但增速缓慢.根据中国节能协会发布的 2019节能服务产业发展报告，截至2019年底，全国从事节能服务的企业数量统计如表所示：年 份 20152016201720182019企业家y（百家）5458616465（I）作出散点图，并根据散点图说明全国从事节能服务的企业数量与时间的相关关系;（II）令 x=/-2 0 1 7,求 y 关于x 的回归直线方程；（III）预测2021年，全国从事节能服务的企业数量约为多少家？附：回 归 直 线 一:二 中 斜 率 和 截

29、 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 为：=y-b x+a bn _ _ n _Z （X i-x）（y-y）z X,y-nxy4*J-Xy.=28,i=l i=l所以b5 _i=l1 rrrX Xj-5xi=l28-5X0X 60X 60.4 门 c-5-=2.810-5X 0故,760.4-2.8X0=60.4,a y bx所以y 关于x 的回归直线方程为y=2.8x+60.4；(I I I)当 f=2021 时,x=2021-2017=4,此 时=2.8X4+60.4=71.6(百 家)，y所以预测2021年，全国从事节能服务的企业数量约为7160家.2 0.设抛物线产=2/(p

30、0)的焦点为凡 已知直线/i：tnx-y-2m0,圆 E：x2+y2-2x-4y-4=0.(I)设直线人与圆E 的交点分别为P,Q,求当|PQ取得最小值时，直线人的方程；(I I)若抛物线过圆E 的圆心，直线小/2过同一定点且与抛物线相交于A,8 和 C,D点，/1 /2,设 M 是 AB的中点，N 是 CO的中点，证明：直线MN恒过定点.解：(I)由题意可得直线/i的方程为：，“X-y-2m=0 过定点T(2,0),由 x2+y2-2x-4y-4=0,得(x-1)2+(y-2)2=9,因 为(2-1)2+(0-2)29,所以点7(2,0)在圆E 内，设 圆 心(1,2)到直线/i的距离为d,

31、|P e i =2 32 _d2,当“最大值，|P Q|最小，此时 P Q L E F,所以 m=kPQ=-KEF 2此时直线/i的方程为x-2 y-2=0.(I I)证明：因为抛物线过圆E的 圆 心(1,2),所以2 2=2 p,解得p=2,所以抛物线的方程为炉=4 由直线人的 方 程 为-y-2 w=0,即x=1：y+2,且过定点T (2,0),m由/山 2,可得直线f e：x=-my+2,2 _联立 1+丁2=-4 m，所以刈=-2 m,贝(1 m=2+2 落 即点 N(2+2祖2,-2/7 1),2 2同理可得M(2+一/)，m m2+2 m 1当MW 1时：直线M N的斜率为心拆=-

32、7=1 =一、，2 m 2 1-m l-mZ2 乙m mm所以直线M N的方程为y-2=%(x-y -2),m 1-m m即 y 一2x 2 2+AZHL.,l-m m m m所以直线MN的方程为y=一四 万(x-4),1-m”所以直线MN恒 过 点(4,0),当机=1 时，N(4,-2),M(4,2),直线MN的方程为x=4,也过定点(4,0).综上所述，直线MN恒 过 点(4,0).2 1.己知函数/(x)=lnx+-ax2+(a+1)x.(I )讨论函数/(x)的极值；(II)若 g(x)=(x-1)(f(x)-ax2-ax-x2-1,证明：函数 g(x)有且仅有两个零点XI，X 2,且

33、 X1X2=1.解：(I)函数的定义域是(0,+8)且/(x)=(ax+l)(x+l),x若 心0,则当xe(0,+8)时，/(X)0,故函数/(x)在(0,+8)上单调递增，函数/(X)无极值，若 4 0,a当 xe(-,+8)时，f a)o,a故函数,(X)在(0,)递增，在(-工，+8)递减，a a故函数/(x)极 大 值=/(-)=ln(-)-1 1,无极小值，a a 2a综上，当2 0 时，函数/(外 无极值，当。o,故存在唯一 xo(1,2)使得g(xo)=0,故函数g(x)在(0,x o)上单调递减，在(xo,+8)上单调递增，又 g(xo)Vg(1)=-2,g(e2)=e2-3

34、0,故 g(x)=0 在(xo,+8)内存在唯一实根xi,由 IV xoV xi,得:1 3的解集；(I I)若/(幻2-x+f对任意X 6 R恒成立，求实数r的取值范围.2 x,xl解：(I )函数/(x)=|x+l|+|x-1|=2,-1 X 3化为2 x 3,解得当时，不等式/(x)3化为2 3,此时不等式无解；Q当x W -1时，不等式/(x)3化 为-2 x 3,解得x 3的 解 集 为(,-1)u (-1,+8).(I I )若f (x)N-x+r对任意x C R恒成立，即/(x)对任意x e R恒成立,设 g (%)=f(x)+x,则 g (x)的最小值 g (x)加 2/,3 x,设 g (x)=x+2,-x,X 4-1则尤=-1时，g(x)取得最小值为g (x)min=1 ,所以实数r的取值范围是(-8,1 ,