2021届全国高考数学模拟试卷(理科)(全国Ⅲ卷)附答案解析.pdf

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1、2021届全国高考数学模拟试卷（理科）（全国巾卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共 60.0分）1.设集合“=x|x-1|1,N=x|x 2 ,则MCN=()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)2.若z=2-i,则 三=()A.1 B.1 C.i D.i3.甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是()A.；B.|C.；D.4 3 2 64.已知等差数列3 J前g项的和为27,ain=8,则%nn=A.100 B.9R C.97 D.995.已知(1+x)5=劭+%(1-X)+。2(1 X)2-I-F a5(l x)5,则&3=()A.-40 B.40

2、C.10 D.-106.若曲线胪=谈患翻X刷在点题,醐处的切线方程是第-或=,贝 )A,硼=儿B,醐=一常际=31 C.蚓=D,初=一北黝=T7.直线y=kx+l与焦点在x轴 上 的 椭 圆 片=1总有公共点，则实数小的取值范围为（）5 771A.1,+8)B.1,5)C.l,5)U(5,+8)D.5,+8)8.执行下边的程序框图，若输入的刀的值为-2,则输出y 的值是（）A.3B.c.5D.-5I开 支9.已知定义在R 上的函数y =f(x)满足：函数y =/(x+l)的图象关于直线 =1 对称，且当x 6(-8,0)时,f(x)+x f (x)b c B.b a c C.c a b D.a

3、 c b1 0 .湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为4 c m,深2 c m 的空穴，则该球表面积为()c m 2.A.4 0 0 兀 B.300T T C.2 0 0 兀 D.IOOT T1 1 .若 双 曲 线;+二 =1 的渐近线方程为、=土;x,则小的值为()3 t n m 1 乙A.1 B.C.技 D.-1 或：1 2 .若函数y =S i n(2 3 X +g)最小正周期为7 T,则3的值为()A.2 B.2 C.1 D.1二、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)1 3 .如图，六边形4 B C D E F为正六边形，且m=心 而=方，则以区方为基

4、；-?底Hi OA.B1 4 .已知数列 a 几 满足：ax=m(jn e W *),an+1=(3 Qk E N*,若 6 =1，写九 十 1,C Ln 一乙K 1出m所有可能的取值1 5 .有下列说法:两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1-ai(a G R)是一个复数；纯虚数的平方不小于0；-1的平方根只有一个，即为一i；i 是方程/-1 =0 的一个根；是 一 个 无 理 数.其 中 正 确 的 有(填 序 号).1 6 .己知函数y =/(x)在R 上为减函数，且f(x)/G),则实数x 的 取 值 范 围 是.三、解 答 题(

5、本大题共7 小题，共 82.0分)1 7.在A ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长，a=y2b,2sinC+2s讥(4-B)+代cos2A=V6(1)求角B 的大小.(2)若a=2,a ”一族3,-一 第*-菽)a=y-b x-开1 9.在几何体ABCDE中，BAC=,DC 1 平面ABC,EB JL平面4BC,F是BC的中点，AB=AC=2(1)求证：DC 平面Z B E；(2)求证：A F 1 平面B C D E；(3)求几何体4 B C 0 E 的体积.2 0 .设函数/(久)=1/一 /+版+c,曲线y =/(x)在点(0,f (0)处的切线方程为y =2.(1)求 方

6、 c 的值;(I I)若a =2,求函数y =f(x)的极值.2 1 .己知抛物线C：y2=4 x,其焦点为尸,直线，过点P(0,a)(a 0)且与抛物线C 交于4(乙,%),以一义)两点(1)若丫 1 丫 2 =1 6,求直线I 斜率的取值范围；(2)过点P(0,a)(a 0)的直线z n,其倾斜角与直线，的倾斜角互补，直线?n 与抛物线C 交于“。3，、3)，NO*%)两点，且A F A B 与 F M N 的面积相等，求实数a 的取值范围.N22.在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为 二 窗:戊(0为参数)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/过A,B两点，且这两点的

7、极坐标分别为4(2b,0),B(2夕J).(I)求。的普通方程和直线，的直角坐标方程；(11)若“为曲线。上一动点，求点M到直线1的最小距离.23.已知函数/(x)=|x+1|+|2x-1|.(1)解不等式f(%)3a2 +非对任意 e R恒成立，求a+b的取值范围.参考答案及解析1 .答案：c解析：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，集合的交集运算，难度不大，属于基础题.解不等式求出集合M,结合集合的交集运算定义，可得答案.解：集合M =x|x-l|l =x|-l x-l 1 ,解得集合M =(0,2),N =xx 2,即集合N =(-8,2),M O N =(0,2),故选C.2.答案：

8、C解析：解：z =2 -i,z 2 =|z=5,4i 4i-z =i.zz1 5-1故选：c.由己知求得z 5,代入士得答案.zz-1本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数模的求法，是基础题.3.答案：C解析：解：甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数n =4：=2 4,甲、乙二人相邻包含的基本事件个数m =离 蜀=1 2,.甲、乙二人相邻的概率P=n 24 2故选：C.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数n =2 4,甲、乙二人相邻包含的基本事件个数n t =1 2,由此能求出甲、乙二人相邻的概率.本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能

9、事件概率计算公式的合理运用.4.答案：B解析：本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键.解：等差数列 即 前9项的和为27,9a5=27,5=3,又Qi。=8,，,d=1,ioo=即+95d=98,故选8.5.答案：A解析：解：已知(1+%)5=劭+11(1 x)+a2(l-x)2 H-F a5(l x)5=2-(1-x)5,则。3=Cf-(-1)3-22=-40,故选：A.根据原式即2-(1-x)5的展开式，利用二项展开式的通项公式，求得。3的值.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.6.答案：A解析：试题分析：由 导 数

10、 知/=窝;咨僦，知=1 囹=H，鲍柳在切线第-求力=。上，考点：导数的几何意义即求曲线上一点处的切线斜率.7.答案：B解析：解：直线y=kx+1恒过点(0,1),直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，.(0,1)在椭圆上或椭圆内，.0+4 1,.?7121,又,椭圆次+=1焦点在工轴上，0 V m 5,5 m实数rn的取值范围是口,5),故选：B.先根据直线方程可知直线恒过(0,1)点，要使直线y=kx+1与椭圆恒有公共点需(0,1)在椭圆上或椭圆内，进而求得M的范围.本题主要考查直线恒过定点，点与椭圆的位置关系等知识，属于中等题.8.答案：C解析：因为扁所以弹=一 2-频普？=雪故选C。9.答

11、 案:D解析：解：定义在R 上的函数y =/(x)满足：函数y =x +l)的图象关于直线久=一 1 对称，可知函数y =f(x)是偶函数，x f(x)是奇函数，当x G (-8,0)时，/(x)+x/，(x)0 时 水/。)是减函数；0.76 G (0,1),6 ，6 60-6 (J/,所以a c b.故选：D.利用导数判断函数的单调性，判断函数的奇偶性，然后求解a,b,c 的大小.本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力.10.答 案:D解析：本题给出实际问题，求冰面上的球的表面积.着重考查了球的截面圆性质、勾股定理和球的表面积计算等知识，属于基础题.设球的半径

12、为R em,根据题意可得冰面到球心的距离为(R -2)cm,冰面截球得到的小圆半径为4cm,利用勾股定理建立关于R 的方程，解出R,再根据球的表面积公式即可算出该球的表面积解：设球心为。，O C是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D,A B 为小圆。的一条直径，如图：设球的半径为R a n,则CD =R-O D =2cm,:.Rt O B D中,OB=Rem,OD=(R-2)cm,BD=4cm.根据勾股定理，得。以+B D2=O B2,即(R -2)2+42=R2,解之得R =5 cm,二该球表面积为S =4 nR2=4兀x 5 2=10 0 7 T.故选：D.11.答案：B解析

13、：本题考查双曲线的几何性质，注意要先分析双曲线的标准方程的形式.根据题意，分2种情况讨论：、当双曲线的焦点在x轴上，则有户一I?,解可得小1,由双曲线的渐近线方程可得算=%解可得m的值，、当双曲线的焦点在y轴上，则有解可得z n的范围，同理由双曲线的渐近线方程解可得加的值；综合2种情况可得m的值，即可得答案.2 2解：根据题意，双曲线的方程为：+=1,3-m m-1则分2种情况讨论：、当双曲线的焦点在%轴上，则有F一：1?,解可得小1,此时渐近线的方程为y =士 霖 ，又由题意可得：辱=三，3-rn 2解可得：m =1,、当双曲线的焦点在y轴上，则有解可得加3,此时渐近线的方程为y =士 焉

14、x，又由题意可得：雪=：，无解.yJTn.-3 2综合可得：m =/故选：B.12.答案:D解析：解：.函数y =s i n(2s +勺最小正周期为|尹|=兀，则 同=1,;.3=1,323故选：D.由题意利用正弦函数的周期性，求得3.本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题.13.答案：一|五一9解析：解：如图所示，设B(2%,0),则。(2匕2保),E(0,2倔),C(3 xfV3x).v AC=a,DB=b，a=(3x,V3x)b=(0,-2A/3X)，DE=(-2 第 0),设 施=m a +nb贝心2蓝3匕,解得n =_l(0 =V 3 m -2V3n 3 3 DE=-a-b.3 3

15、故答案为：-|2-如图所示，设B(2K,0),则。(2x,2百 x)，E(0,2V5X),C(3x,g x).由于旅=。丽=方，可得i=(3x,V3x)，b=(0,-2V3x),DE=(-2x,0).设 症=m Z+n a 利用向量相等即可得出.本题考查了向量的线性运算，属于基础题.14.答案:4,5,32解析：解：由题意知 an 中任何一项均为正整数，v a6=1,若 为 奇 数，则3a 5 +1=1，得。5 =。不满足条件.若a s 为偶数，则。5 =2a 6 =2，满足条件.=2.若414为奇数，则3a 4+1 =2,得。4=4 不满足条件.若。4为偶数，则。4=2劭=%满足条件.。4=

16、4.(1)若由为奇数，贝 13a 3+1=4,%=1满足条件.若。2为奇数，则3a 2+1=1,。2=0 不满足条件若。2为偶数，则。2=2a 3=2满足条件.若斯为奇数，则3%+1=2,得与=：不满足条件.若的为偶数，则%=2 a 2=4,满足条件.(2)若 为 偶 数，则。3=2&4=8,满足条件.若a 2为奇数，贝 l j 3a 2+1=8,得12=(不满足条件.若 为 偶 数，则。2=2a 3=1 6,满足条件.若斯为奇数，则3%+1=1 6,得的=5,满足条件.若冬为偶数，则的=2a2=3 2,满足条件.故小的取值可以是4,5,32.故答案为：4,5,32.由题意知 an 中任何一项

17、均为正整数，若as为奇数，得到诙=0不满足条件.若附为偶数，则。5=2a6=2,满足条件；若a,为奇数，得=:不满足条件.若a4 为偶数,则a4 =2a$=4,满足条件.由此能求出沉的取值.本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用.15.答案：解析：解：两个复数相等，复数的实部相等虚部也相等，所以两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等，所以正确；两个复数的虚部不相等，则两个复数不相等，反之两个复数不相等但是它们的虚部可能相等，所以两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等，所以正确；l-a i(a e R)是一个复数；满足复数的定义，所以正确：纯虚数的平

18、方不小于0；反例/=-1,所以不正确；-1的平方根有2个，即为土i,所以不正确；i是方程P -1=。的一个根，所以正确；是 纯 虚 数，不是一个无理数，所以不正确.故答案为：.利用复数的基本概念与性质，结合充要条件，方程的根，判断命题的真假即可.本题考查命题的真假的判断，复数的基本概念的应用，充要条件的判断，是基础题.16.答案：(,|)解析：解：根据题意，函数y=/(在R上为减函数，且“X)/(,必有x i,即实数x的取值范围为(-8,)故答案为：(-8,根据题意，由函数单调性的性质可得x 0,化筒得2cosB=V6sinA.v a=应 从：.由正弦定理可得siziA=y/2sinB-因此，

19、可得t G lB=遮，cosB 3而在 ABC中B (0,7T),所以角8=?(2)v a=后 b，；由正弦定理可得si/M=2sinB.sinA=V2sin-=,6 2根据a c得到/Xf=i(Xi-x)(7i-y)=(-3)x(-9)+(-2)x(-6)+2 x 5 +(-1)2+3 x 8 +1 x3 =77,Sf=i(Xi-x)2=(-3)2+(-2)2+22+(-1)2+32+l2=28.h_ 乙(须-$)5-分 _ ZZ _一 Zf=1(xf-J)2-28-4 1 1 Qa=y-b x =3 2-x l0 =-绿豆种子出芽数y(颗)关于温差x(。)的回归方程为y=+(2)4 月1日

20、至7日的日温差的平均值为10。&4 月 7 日的温差不=7 x 1 0-6 0 =10(),则”=5 1 0 +3=32.端 x 2000=640(颗).4月7 日浸泡的2000颗绿豆种子一天内的出芽数为640颗.解析：(1)由折线图和出芽条形图可得6组数据，求 出 与;的值，则线性回归方程可求；(2)由题意求出4月7 日的温差，代入回归方程求得得，进一步求出浸泡的2000颗绿豆种子一天内的出芽数.本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题.19.答案：(1)证明：见解析；(2)证明：见解析；(3)2。解析：解析：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查几何体的体积，解题的关键是正确线面平

21、行、垂直的判定方法，正确运用体积公式.(/)证明CC平面力B E,即证。利用DC J平面ABC,EB _L 平面ABC可证；()证明AF J_平面B C D E,利用线面垂直的判定，证明D C 14F,4F 1 BC即可；(/)几何体ABCDE的体积就是以平面BCDE为底面，AF为高的三棱锥的体积.(1)证明：DC 1 平面ABC,EB_L平面力BC,DC/EB,又；DC,平面Z8E,EB u 平面ZBE,DC 平面 4BE(2)证明：OC_L平面ABC,4F u 平面ABC DC 1 A F,又AB=AC,F是BC的中点，AF LBC,又：DCCBC=C,D C u平面BCCE,BC u 平

22、面BCDE,A F，平面BCOE(3)解：DC 1 平面力BC,EB J_平面ABC,D C/E B,且四边形BCDE为直角梯形钝 在AABC中，/.BAC=,AB=AC=2,F是BC的中点S BC=口 后，A F=由()可知AF 1平面8CDE二几何体4BCDE的体积就是以平面BCDE为底面，4F 为高的三棱锥的体积VABCDE=V A-BCDE=-SBCDE x/IF=-x-(1+2)x$辰 x 显=220.答案：(本小题满分12分)解：(I )/(%)=x2 ax+b,.(2 分)由题意得”解得：b=0,c =2.(6 分)V-U(I I)依题意f(x)=尤 2 +2,由1Q)=/-2%

23、=0得X =0,x2=2.(8 分)所以当x (-8,0)时，/(x)0,/(无)单调递增；x(0,2)时，f(x)0,/单调递增.(1 0分)故/。)的极大值为f(0)=2,f(x)的极小值为/(2)=|.(1 2 分)解析：(I)求出函数的导数，利用已知条件推出方程，然后求解b,c 的值：(1 1)若。=2,判断导函数的符号，然后求解函数y=/(x)的极值.本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力.2 1.答案：解：(1)由题意可知直线，的斜率存在且不为0,设直线2 的方程为：x=t(y-a),联 立 方 程 2r黑一砌，消去工 整理可得：y2-4 ty+4 at=0,所以y 1

24、+y 2=4 3 yty2=4a t=1 6,所以a t=4,又a0,所以t 0,又A=1 6 t2 一 1 6 a t 0,解得t 2,所以直线I 的斜率k 的取值范围为(o )：(2)由题意可知，直线2,m的斜率都存在且不为0,由(1)可知，AB=V l +t2-J C xi +yz)2 4yl y2 =V 1 +t2 yJ1 6(t2 at)=4/l +t2 y/t2 at点尸(1,0)到直线，的距离为d =瞿，所以三角形凡4B 的面积为SAB=；M B|-d =2y/t2-at-l+at,将t用 t替换，可得三角形F M N 的面积为：SA F M N=2yftTM-at-l,由:;+

25、瓶01 0,可得t a,而SAFAB=SM M N可得：2Vt2 a t|+a t|=2 V t2+_ 1 1 即 叵=业I，两边平方化简可得：尸=义，yt-a 1 ta-1 1 2-a2所以2 -a?o,解得o a e，而由t a,可知 2 。2,所以:二。2,2-a2即(层I)2 0,所以Q W 1,所以实数a 的取值范围为(0,1)U (1，企).解析：（1）先分析出直线，的斜率存在且不为0,设出直线，的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及判别式即可求解；（2）利用（1）的韦达定理以及弦长公式求出|4B|,再求出点尸到直线，的距离，即可求出三角形F 4B 的面积，由此求出三角形F

26、M N 的面积，利用面积相等以及实数的性质化简即可求解.本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到三角形面积以及弦长公式的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题.2 2 .答案：解：（I）曲线C 的 参 数 方 程 为 鬻:&3为参数），转换为直角坐标方程为9+?=1，点4（2 夕,0）,B（2 夕（）转换为直角坐标为（2 位,0）,（0,2 夕），所以直线/的直角坐标方程为x+y-2 V 7 =0.（H ）设M（2 c o s。,g s讥。）到直线x+y-2 夕=0的距离d =，叱；曹夕!=但曙二仪!|V 7-2 V 7|_ /1 4H-=T，所以点M到直线2 的距离

27、的最小值为名.2解析：（I）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（U）利用点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.2 3 .答案：解：（1）函数/（工）=|x +l|+|2 x-l|,当x 3 时，不等式f（x）2 可化为x +1 +2x-1 2,解得：x|；当-1 x :时，不等式/（X）M 2 可化为x +1 +1 2x

28、2,解得：0 x 3当x 一1 时，不等式f（x）2 可化为一 x -1 +1-2 x 2,解得：北 一|（不合题意，舍去）；所以不等式f（x）-(2)/0)=|x +1|+2x-1|=_x+2,_i x 23 x,x 3 a 2 +力2对任意x e R恒成立，化为3 a 2 +廿 W|,即2 a 2 +|炉 2 2Q+b =cos0 4-s i n d=V 2 sin(0 +7):2 26当0+m =3,即0=3时，a+b取得最大值为四：o Z 5当0+g =，即。时，a +b取得最小值为一夜；6 2 3所以a +6 的取值范围是解析：（1）利用分段函数法去掉绝对值，解不等式即可；（2）求出函数/。）的最小值，把不等式化为3 a 2 +X w|,结合题意画出图形，利用参数法求出a +b的最大、最小值，求出a+b 的取值范围.本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题.