2021年九年级数学中考复习小突破训练：等腰三角形判定与性质综合应用.pdf

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1、2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：等腰三角形判定与性质综合应用（附答案）1.如图，在A 8C 中，NA=36,AB=AC,8力是ABC的角平分线.若在边AB上截取 B E=B C,连接Q E,则图中等腰三角形共有（）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个2.如图，在 RtZABC中，ZC=90,以ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在A8C的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A.4 B.5 C.6 D.73.已知，如图，在ABC中，。8 和 O C分别平分NABC和过。作 QEB C,分别交AB、AC于点。、E,若 B D+C E=5,则线段。

2、E 的 长 为（）A.5 B.6 C.7 D.84.如图，在ABC中，8。平分NA8C,E D/B C,已知AB=3,A O=1,则AED的周长为（）AA.2 B.3 C.4 D.55.如图，已知ABC的面积为12,B P平分N A B C,且产于点P,则BPC的面积是（）A.10 B.8 C.6 D.46.如图，在ABC中，N4BC和NACB的平分线交于点E,过点E 作 MN5 C 交 A 3于 M,交 A C 于 N,若 B M+C N=9,则线段MN的 长 为（）A.6 B.7C.8D.97.如图，4 钻。中，AB+BC=0,AC的垂直平分线分别交A&AC于点。和 E,则BCD的周长是（

3、）A.6 B.8C.10 D.无法确定8.如图，A D L B C,。为 3 c 的中点，以下结论正确的有几个？（)A 8 Q 丝A C。；A B=A C；NB=NC；AD是 A B C 的角平分线.B D CA.1 B.2 C.3 D.49.如图，在 A B C 中，4 B=6,A C=4,/A8C和/ACB的平分线交于点E,过点后作加7 B C 分别交A B、AC于 M、N,则 A M N 的周长为（）A.1 2 B.1 0 C.8 D.不确定1 0.如图，AE垂直于NABC的平分线交于点。，交.B C 于点E,C E=B C,若 A B C 的面31 2.如图，BP是NA8C的平分线，A

4、 P J _ 8 尸于P,连 接 PC,若 A B C 的面积为id,则积为2,则 C 0 E 的面积为Q E cA.A B.A3 61 1.如图，。为 A B C 内一点,=A A BE,A C=5,B C=3,BA EA.1 B.：.()C.A D.8 10CQ平分/A C B,BE LC D,垂足为D,交 AC于点E,/A则B D的 长 为()C5 C.2 D.2.5 P8C 的面积为（)A.QA cm2 B.0.5 cm2 C.O.GcnT D.不能确定13.如图，AABC的面积为8C，,AP 垂直N B 的平分线B尸于P,则PBC的面积为（）A.2 cm B.3 cm C.4 cm

5、D.5 cm214.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东7 0 方向的M 处，它以每小时4 0 海里的速度向正北方向航行，2 小时后到达位于灯塔P的北偏东4 0 的 N 处，则 N 处与灯塔P的距离为（）A.40海里C.70海里B.60海里D.80海里15.已知如图等腰ABC,A BA C,ZBAC=120,AD_LBC于点。，点 尸是8 4 延长线上一点，点0是线段AD上一点，O P=O C,下面的结论：Z A P O+Z D C O=3 0 ；OPC是等边三角形；（3）A C=A O+A P-,SAABC=S vmiiA OCP-其中正确的是（）A.B.C.D.16.如图，在A8C中，N4B

6、C和乙4cB 的平分线相交于点凡过尸作OEB C,交 4 8 于点。，交 4 c 于点E.若 8。=4,D E=7,则线段EC的 长 为（）C.3.5D.217.如图，A B1A C,C D、B E分别是aA B C 的角平分线，A G/BC,A G B G,下列结论:N8AG=2/ABF；B A 平分NCBG；（3）Z A B G=Z A C B；NCFB=135,其中正确的结论有（）个A.1B.2C.3 D.418.如图，在ABC中，A 8=4 C,点 E 在 CA延长线上，E P L B C 于 点 P,交 A 8于点凡若 AF=2,B F=3,则 CE的长度为.19.如图，已知 SMB

7、C=8；/,A。平分NBAC,且 A C B Q 于点。，贝 U SMOC=m 2.RD20.如图，在ABC中，BC=5 cm,BP、C P分别是/A B C 和/A C 8 的角平分线，且 PDA B,PE/A C,则 ：的周长是 cm.21.如图，在ABC中，NA=36,AB=AC,8。平分N A B C,则图中等腰三角形的个数是.22.如图，矩形ABC。中，A B=4,A O=3,点。在对角线AC上，且 AQ=A,连 接。Q并延长，与边BC交于点P,则线段AP=.23.如图，在ABC中，/4 8 C 与/A C 8 的平分线相交于点O,过点。作 MNB C,分别交 A B、4 c 于点M

8、、N.若ABC的周长为15,8 C=6,则 的 周 长 为 .2 4.如图，在4B C 中，Z A B C和2 4 C B 的平分线相交于点0,过 点 0 作EF/BC交AB于 E,交 AC于凡 过点。作 OOLAC于。，下列四个结论：E F=B E+C F；NBOC=90+-lz A；点。到AABC各边的距离相等；设 0 D=m,A E+A F=n,则 S&AEF=mn-其 中 正 确 的 结 论 是.（填序号）26.如图，CE 平分NACB.Ji CEVDB,N D A B=ZDBA,AC=9,/XCB。的周长为 14,则D B的长为27.如图，点尸是NA0B的角平分线上一点，过 点 P

9、作 PC0A 交 0 B 于点C,过点P 作P_L0A 于点。，若NAO3=60,0 C=4,则尸。=28.如图，C 是4 8 C 的角平分线，AE_LC。于 E,BC=6,AC=4,ABC的面积是9,则AAEC的面积是D.29.如图在ABC中，BF、C F是角平分线，DE/BC,分别交4B、AC于点力、E,D E 经过点 尸.结论：尸和4C E尸都是等腰三角形；D E=B D+C E；ADE的周长=AB+4C;B F=C F.其 中 正 确 的 是 （填序号）.30.已知：在/IBC 中，A H L B C,垂足为点 H,若 AB+BH=CH,NABH=70,则/B 4C31.如图，在ABC

10、 中，AB=6,4 c=9,B O、CO 分别是/A BC、/A C 3 的平分线，M N经过点。，且 MNBC,MN分别交AB、AC于点M、N,则AMN的周长是.32.如图，ABC中，AB=8,4 c=6,BC=5,/A B C 与/A C 8 的平分线相交于点O,过O点作D E BC,则AOE的周长为.33.如图，在ABC中，A B=A C,点。、E、尸分别在A3、B C、AC边上，且 8E=CF,BD=CE.BE(1)求证：是等腰三角形；(2)当/A=4 0 时，求N O E f 1的度数.3 4 .如图，在 A B C中，A B=A C=2,Z B=Z C=4 0 ,点。在线段B C上

11、运动(。不与B、C重合)，连接A。，作N A D E=4 0 ,O E交线段4 c于E.(1)当 N B D 4=1 1 5 时，ZEDC=,ZDEC=；点 D 从 B 向 C 运动时，N 8 D 4逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当D C等于多少B寸，/X A B D A D C E,请说明理由；(3)在 点。的运动过程中，A O E的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出N B D 4的度数.若不可以，请说明理由.3 5 .如图 1,在A B C 中，/5 4 C=7 5 ,/A C B=3 5 ,N 4 8 C 的平分线 8 0 交边 A C 于点。.(1)求证：2 C Z)为等腰

12、三角形；(2)若N B A C的平分线A E交边B C于点E,如图2,求证：B D+A D=A B+BE；(3)若/8 A C外角的平分线A E交C B延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论.DDE图23 6.如图，在A B C 中，AB=AC,A Z)_ L B C 于点。.(1)若/C=4 2 ,求N B A。的度数;(2)若点E在边A B上，E尸4 c交AD的延长线于点凡 求证：AE=FE.3 7.如图，A B C是等腰三角形，A B=A C,点。是A B上一点，过点。作O E L B C交B C于点E,交C A延长线于点F.(1)证明：A O尸是等腰三角形

13、；(2)若/B=6 0 ,BD=4,A D=2,求 E C 的长，EB参考答案1.解：VAB=AC,ABC是等腰三角形；9：AB=ACf ZA=36,，NABC=NC=72,:BD 是ABC的角平分线，NABD=ZDBC=ZABC=36,2，NA=N4BO=36,:,BD=AD,ABD是等腰三角形；在8CO 中，VZBDC=1800-Z.DBC-Z C=180-36-72=72,：.ZC=ZBD C=12,：.BD=BC,.BCD是等腰三角形；：BE=BC,:BD=BE,瓦)E 是等腰三角形；A ZBED=(180-36)4-2=72,A ZADE=ABED-ZA=72-36=36,ZA=ZA

14、D E,:.DE=AE9.4OE是等腰三角形;图中的等腰三角形有5个.故选：D.2.解：如图:图6图5故选：D.3.解：在A8C中，。8和0C分别平分NABC和NAC8,：.ZDBO=ZOBC,ZECO=ZOCB9DE/BC,/DOB=/OBC=/DBO,ZEOC=ZOCB=ZECO,:DB=DO,OE=EC,：DE=DO+OE,:DE=BD+CE=5.故选：A.4.解：.5。平分NA3C,NABD=NCBD,:EDBC,:/C B D=/B D E,：./A B D=/B D E,：.BE=DE,/AED 的周长=AE+OE+AD=AE+8E+AO=AB+AD,：AB=3,A D=f：.4E

15、D 的周长=3+1=4.故选：C.,.8 P 平分N48C,J NABP=/EBP,APLBP,：.ZAPB=ZEPB=90,在A8P和EBP中，是AC的垂直平分线，AO=OC,BCD 的周长=8C+8O+DC=8C+8O+AO=10故选：c.8.解：VAD1BC,。为的中点，NAW=NAQC=90,BD=BC,AO为公共边，AABDAACD(SAS),：.AB=AC,N8=NC,NBAD=NCAD,即AD是ABC的角平分线.故选：D.9.解：YNABC和NAC8的平分线交于点E,；./ABE=/CBE,ZACE=ZBCEf:MNBC,：/CBE=/BEM,/BCE=/CEN,：./ABE=N

16、BEM,NACE=NCEN,；BM=ME,CN=NE,：.4AMN 的周长=AM+ME+AN+NE=A5+AC,A8=AC=4,AMN的周长=6+4=10.故选：B.10.解：.8D平分NABC,：.ZABD=ZEBD.：AEBD,；.NADB=NEDB.在和EOB 中，NABD=NEBD,BD=BD,NADB=NEDB,:.AADB q AEBD,:.AD=ED.；CE=a8C,ABC的面积为2,3.AEC的面积为2.3土 ：M)=ED、.,.CDE的面积=2ZA E C的面积=上.2 3故选：A.11.解：:C D平分NAGS,BE上CD,:BC=CE.又,:ZA=ZABE,:.AE=BE

17、.B=LE=LE=CAC-BC).2 2 2：AC=5,BC=3,：.BD=(5-3)=1.2故选：A.12.解：如图，延长AP交BC于E,平分乙48C,，NABP=NEBP,：APBP,:.NAPB=NEPB=90,.ABP丝EBP(ASA),：.AP=PE,:SAABP=S&EBP，S/ACP-SECP1 3.解：延长A P交BC于E,：AP垂直N B的平分线BP于P,：.ZABP=ZEBP,/APB=NBPE=90,在APB和EP8中NAPB=NEPB BP=BP,ZABP=ZEBP.APB丝EPB(ASA),:,SAAPB=S&EPB，AP-PE,：.APC和 CPE等底同高，S&AP

18、C=S&PCE，1 2s BC=S APBES C E=SABC=4cm,2故选：C.1 4.解：M N=2X40=80（海里），V ZM=70,NN=40,./N P M=1800-N M-N N=180-70-40=70:/N P M=/M,:NP=MN=80（海里）.故选：D.1 5.解:连 接。8,9：AB=ACf ADBC,:BD=CD,ZB A D=Z B A C=X20Q=60,2 2：.OB=OC,ZABC=90-ZBAD=30,：OP=OC,：.OB=OC=OP,：.ZAPO=ZABO.ZDCO=NDBO,：.ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD=30；故正确；V

19、 ZAPC+ZDCP+ZPBC=180,NAPC+NOCP=150,NAPO+NQCO=30,：.ZOPC+ZOCP=20,A ZPOC=180-(NOPC+NOCP)=60,：OP=OC,OPC是等边三角形；故正确；在AC上截取4七=南，VZB4E=1800-ZBAC=60Q,二APE是等边三角形，：.ZPEA=ZAPE=60,PE=PA,：.ZAPO+ZOPE=60,；NOPE+NCPE=NCPO=60,/APO=NCPE,：OP=CP,在。以 和 ：中，P A =P E,NA P O二N C P E,O P=C P：./OPA/CPE(SAS),：.AO=CE,：.AC=AE+CE=AO

20、+AP；故正确；过点C作 C H L A 8 于，,：ZPAC=ZDAC=60,AD1BC,：.CH=CD,：-SA A B C=AB-CH,2S 四 边 彩AOCP=SAACP+SAAOC=4 P CH+OA,CDAP*CH+OA,CHCHiAP+OA)222 2 225AABC=5 四 边 形 AOCP；故正确.故选：D.1 6.解：；N A B C 和/A C 8 的平分线相交于点F,ZDBF=ZFBC,NECF=NBCF,.,DF/BC,交AB于点D,交AC于点E.:/DFB=/DBF,/CFE=/BCF,：.BD=DF=4,FE=CE,：.CE=DE-DF=1-4=3.故选：A.1

21、7.解：.ZBAC=90,V ZBAC+ZABC+ZACB=180,A NA8C+NACB=90：CD、BE分别是ABC 的角平分线,：.2ZFBC+2ZFCB=90，NFBC+NFCB=45：.ZBFC=135故正确.,:AGBC,：.ZBAG=ZABCZABC=2ZABF：.ZBAG=2ZABF 故正确.VAB1AC,A ZABC+ZACB=90,VAGBG,NABG+NGA8=90V ZBAG=ZABC,A ZA B G=ZA C B 故正确.故选：C.1 8 .证明：在 A B C中，9：AB=AC,:./B=/C,V E P B C,：.ZC+ZE=90Q,NB+NBFP=90,:,

22、N E=/B F P,又：NBFP=NAFE,：.Z E=NAFE,：.AF=AE,4所是等腰三角形.又丁。尸=2,BF=3,：.CA=AB=5f AE=2,：.CE=1.1 9 .解：如图，延长5。交A C于点T A。平分 N 8A E,ADLBD,：.Z B A D=Z E A Df/A D B=N A D E,在A 3。和中，ZBAD=ZEA DE+PE=BZ)+OE+EC=8C=5CM.故答案为：5.2 1 .解：V A B=A C,Z A=3 6 J ZVIBC 是等腰三角形,N A B C-N A C B一 1 80 3 6-=7 2 ，28。平分/A B C,./A B O=N

23、O B C=3 6 ，.在AB。中，NA=NABD=36,AD=BD,/XABD 是等腰三角形,在ABC 中，/C=/A BC=72,ABAC,ABC 是等腰三角形，在BOC 中，NC=NBDC=T2,BD=BC,BOC 是等腰三角形，所以共有3个等腰三角形.故答案为：32 2.解：.矩形 ABC。中，AB=4,AD=3=BC,；.AC=5,又；A2=A=3,AD/CP,：.CQ=5-3=2,NCQP=NAQD=N A D 4CPQ,：.CP=CQ=2,：.BP=3-2=1,以A3尸中，=VAB2+BP2=V42+12=故答案为：VT?-2 3.解：如图，.08、。分别是NA8C与乙4cB的平

24、分线,AZ1=Z5,Z3=Z6,又：MNBC,A Z2=Z5,Z6=Z4,：.BM=MO,NO=CN./AMN 的周长=AM+4N+MN=AM+AN+MO+ON=AB+AC,又；A8+AC+BC=15,BC=6,：.AB+AC=9,.AMN 的周长=9,故答案为9.2 4.解：在 ABC中，NA8C和/A C 3的平分线相交于点0,.ZOBCZABC,Z0CB=ZACB,NA+/ABC+NACB=180,2 2：.NOBC+NOCB=90-上 NA,2A ZBOC=180-(N08C+N0CB)=90+-1-ZA；故正确：在 ABC中，ZABC ZAC B的平分线相交于点O,：.Z OBC=Z

25、OBE,ZOCB=ZOCF,JEF/BC,；.NOBC=NEOB,ZOCBZFOC,：.ZEOB=ZOBE,ZFOC=ZOCF,：.BE=OE,CF=OF,EF=OE+OF=BE+CF,故正确;过点。作于M,作 O NLB C 于 N,连接OA,.在AABC中，Z AB C Z AC B的平分线相交于点O,：.0 N=0 D=0 M=m,：.SAEF=SAOE+SAOF=AE-OM+AF-O D=ODC=2 时，/XABD/XDCE,理 由:VZC=40,.ZDC+ZEDC=140,又二 NADE=40,A ZADB+ZEDC=140,/ADB=/DEC,又：AB=DC=2,：./ABD/DC

26、E(AAS),(3)当N8D4的度数为110或80时，ZVIQE的形状是等腰三角形,理由：u：ZBDA=l00 时，A ZADC=70,VZC=40,：.ZDAC=10,NAED=NC+NEDC=300+40=70,：.ZDAC=NAED,：.A D E的形状是等腰三角形；,当NBZM的度数为80时，：.ZADC=00,VZC=40,f=40,A ZDAC=NADE,：./ADE的形状是等腰三角形.八EC3 5.证明：(1)如图 1,在ABC 中，NBAC=75,NACB=35，；.NA8C=180-ABAC-ZACB10,平分 NABC,/.ZDBCZABD=35,2；.N)8C=NACB=

27、35,.BCD为等腰三角形；(2)证法一：如图2,在AC上截取A 4=A 8,连接EH,由(1)得：BCD为等腰三角形，：.BD=CD,：.BD+AD CD+ADAC,平分 NBAC,J.ZEABZEAH,：./ABE/AHE(S4S),：.BE=EH,ZAHE=ZABE=10Q,：.ZHEC=ZAHE-ZACB=35a,：.EH=HC,：.AB+BE=AH+HC=AC,：.BD+AD=AB+BE；证法二：如图3,在A8的延长线上取AF=AC,连接EF,由(1)得：BC。为等腰三角形，且8Z)=CZ),BD+AD=CD+AD=AC,T A E 平分 N B4 C,：.ZEAF=ZEAC,：./

28、AEF/AEC(S A S),：.ZF=ZC=35，:BF=BE,：.AB+BE=AB+BF=AFf：.BD+AD=AB+BE；(3)探究(2)中的结论不成立，正确结论：BD+AD=BE-ABf理由是:如图4,在8 E上截取3 F=A 3,连接A F,V ZABC=10,，/AFB=NBAF=35,V ZB AC=7 5 ,.ZHAB=105,Y A E 平分 N H A 8,/.ZEAB=ZHAB=52.5,2：.ZEAF=52.5-3 5 =1 7.5 =ZAEF=7.5,：.AF=EF,V ZAFC=ZC=35 ,：.AF=AC=EF,：.BE-AB=BE-BF=EF=AC=AD+CD=

29、AD+BD.图23 6.解:(1)VAB=ACf AQ_L8C 于点 O,:./BAD=NCAD,NADC=90,又NC=42,：.ZBAD=ZCAD=90-42=48；(2)9：AB=ACf AO_L5C 于点 D,:./BAD=/CAD,UEF/AC,：.ZF=ZCAD,:/B A D=/F,：.AE=FE.3 7.解：(1)*：AB=ACf：.ZB=ZC,:FEtBC,ZT+NC=90,NBDE+/B=90,：.ZF=ZBDEf而 NBDE=NFDA,：.ZF=ZFDAf：.AF=AD.AD/是 等腰三角形；(2)V DE IBC,：.ZDEB=90,VZB=60,BD=4,：.BE=BD=2,2*：AB=ACf,*/ABC是等边三角形，BC=AB=AD+BD=6,；EC=BC-BE=4