2021年广东省汕头市高考数学模拟试卷及答案解析.pdf

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1、启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5页，2 2 小题，满 分 1 5 0 分。考试用时1 2 0 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用

2、铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一.选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）已知集合 A=x|x 0 ,B-xG Z|-2 x/（y）,且/（）=1，则不等式 -x）+f（3-x）N-2 的解集为（）A.-b 0）B.-4,0）C.（3,4 D.-1,0）U （3,4 二.多 选 题（共3小题，满 分15分，每小题5分）9.（5分）已知一组直线为x 土2y=0,则以该组直线为渐近线的双曲线有（）A.X2,-4 y1 2=1 B.4 y 2-=1 C.x2-=1 D.一 /=11C.-24 47 T7

3、 T1 0.（5分）函数/（无）=归讥（3 +额（3 0）的最小正周期为1则（）A.3的值为4B./（x）图象的一条对称轴为直线=看C./。+看）是偶函数D.函数/（X）在区间 百，一金 上的最大值为51 1.（5 分）如图，在直三棱柱 A B C A iB iC i 中，N B A C=*,A B=A C=A A =l,已知 G 与 E分别为A B和C C 的中点，D和F分别为线段AC和AB上的 动 点（不包括端点），若G D 1 EF,则线段。尸的长度的平方可以取的值为（）D.1第3页 共2 1页三.填 空 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）1 2.（5分）抛物线/=-4 x 的

4、 准 线 方 程 是.1 3.（5分）己知数列伍”满足a”=c o s 迎/:则3 的前1 0 0 项和为.1 4.（5分）已知半径为1 0“的圆上，一条长为4 0 c,的弧，则该弧所对的圆心角的弧度数是.b2c1 5.（5分）已知a,b,c 分别为 A 8 C 三个内角A,B,。的对边，Z S A B C 的面积为一，4且 s in 2（A+5）+（1 -c）s in2B=bsinA,则 A=.四.解 答 题（共 6 小题，满分70分）1 6.（1 0 分）在 A 8 C 中，角A,B,C的对边分别为，b,c,已知b=遮，c =V 2,Z B=4 5 .（1）求边8C的长;（2）在边BC上取

5、一点,使得c o s N A O 3=求 s in/DA C 的值.1 7.（1 2分）已知等比数列 ”前项和为S,=H i,m=2,数列 瓦 的各项为正,S 3+3 a3且满足 bn+2-b,r=四吐i,a1=aib.an（1）求数列S ）和 加 的通项公式;1 、6-3（2）若 C n=-（亍 T-n-）,求证：C 1+C 2+C 3+.+C n V 7 y.a n b n 2 吊+1+%+也 1 2 21 8.（1 2分）太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点-持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或

6、冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应 节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如表所示.日照情况 日均气温不低日均气温低于第4页 共2 1页于 1 5 1 5 日照充足 耗电0千 瓦 时 耗 电 5千瓦时日照不足 耗电5千 瓦 时 耗 电 1 0 千瓦时日照严重不 耗 电 1 5 千瓦 耗电2 0 千瓦足 时 时2 2根据调查，当地每天日照充足的概率为g,日照不足的概率为g,日照严重不足

7、的概率为/2 0 2 0 年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为5,1 0),1 0,1 5),1 5,2 0),2 0,2 5),2 5,3 0),3 0,3 5 .(1)求图中的值，并求一年中日均气温不低于1 5 的频率;(2)用频率估计概率，己知该工厂原来的电热水器平均每天耗电2 0 千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？(一年以3 6 5 天计算)频率/组距1 9.(1 2 分)如 图 1,平面四边形A 8 C E,点。在边CE上，C D=D E,且 A B C。是边长为2的正方形.沿着直线AO将折起，使平面A O E _ L 平面A 8 C。(如图2

8、),已知F,“分别是棱E 4,EC的中点，G 是棱8 c上一点.(1)求证：平面。FG_ L 平面A B E；V 2(2)若直线G H与平面A B C D所成的角的正切值为三 时，求锐二面角F-D G-H的余弦值.第5页 共2 1页ECDE图1图220.(12 分)已知函数/(x)=/-(无+加)In(x+机)+x,机W2.(1)若直线/：y=x+l是函数/(%)的切线，求机的值；(2)判断函数/(x)的单调性，并证明.21.(12分)已知椭圆C：务，=l(a b 0)的 离 心 率 为*F i,在 2分别为椭圆的左、右焦点，点 P 为椭圆上一点，F1PF2面积的最大值为遮.(I)求椭圆C 的

9、方程；(II)过点A(4,0)作关于x 轴对称的两条不同直线八，/2分别交椭圆于M(xi,y i)与N(X2,”)，且 x iW x b 求证：直线MN过定点.第6页 共2 1页2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析一.选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.(5 分)已知集合4=m?10,B=x G Z|-2 x 2,那么 A G B=()A.0,1 B.x0 x 4 X 4,0 5 =3 X 4 X 4 X 4 X 4,则 SI=9,52=12,S3=16,S4=竽,S5=等.故选：C.5.（5分）古典著作 连山易中记载了金、木、水、火、土之间

10、相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相生关系的概率为第8页 共2 1页【解答】解：古典著作 连山易中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系,如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，凄=10,取出的两种物质恰是相生关系包含的基本事件有?=5,则取出的两种物质恰是相生关系的概率为片 与=磊 另 故选：B.第9页 共2 1页6.(5 分)区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性

11、(防伪)和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行2.5X 10”次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为()(参考数据：/g2七0.3010,k3 弋0.477)A.4.5X 1073 秒 B.45X1()65 秒 c,4.5X1()7 秒 D.28 秒【解答】解：设这台机器破译密码所需时间大约为x 秒，则X 2.5X10“=2256,两边同时取以10为底的对数，可得：lg(%2.5X10)=lg*6,SP lgx+-2

12、/g2+ll=256/g2,得 lgx=25Slg2-12=65.658,可得 X、io65-658=1()65x 100 658,又收4.5=舄=2/g3-四 2Q0.653,.10(1658可以近似表示为4 5,故 X-4.5X 1065 秒，第1 0页 共2 1页故选：B.7.（5 分）在矩形43CD中，A8=4,AD=3,M,N 分别是AB,A。上的动点，且满足2AM+AN=1,设 晶=四 能+茄，则 2x+3y的最小值为（）A.48 B.49 C.50 D.51【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，则：A(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3),1设 M(m,0),N(0

13、,),：2AM+AN=1,工2m+n=1,(0 n 2O5(-+.o28Tl 1 oTTl 7 o24=49,当且仅当蔡=-BPm=严=,时取等号,；.2x+3y的最小值为:49.故选：B.8.(5 分)定 义 在(0,+8)上的函数f (x)满足/(孙)=于(x)+f(y),当 0 x /(y),且f(?=1，则 不 等 式-x)tM 3-x)，-2 的解集为()A.-1,0)B.-4,0)C.(3,4 D.-1,0)U(3,4【解答】解：因为/(孙)=/(x)+f(y),所以令x=y=i,则有/(1)=y(i)t/a)，解得f(D=0，所以/(l)=f(2 x 1)=/(2)+/(1)=0

14、,第1 1页 共2 1页1又/(&)=1,所以/=-1,所以/(4)=/(2X2)=f(2)+f(2)=-2,不等式f (-x)(3-x)N-2,即为咒-x(3-x)闫 ,因为当O Vx f(y),故函数f (x)在 区 间(0,+8)上单调递减，-x 0 fx 0 ，即，解得-lW x 0,、-x(3-x)4 1-1 x 0)的最小正周期为7 则()A.0)的值为4B.f(x)图象的一条对称轴为直线x=IC./戈 +看)是偶函数D.函数f(x)在区间 一 条 一匀上的最大值为【解答】解：因为7=3 =3，第1 2页 共2 1页所以3的值为2,A 错误；/(x)=sin(2 x+),当 时,f

15、(x)=1,所以x=V是函数/(x)图象的一条对称轴，B 正确;f(.x+=|sin2(x+看)+副=sin(2 x+)=cos2 x,所以f(x +奇是偶函数，C 正确；当/，一令 时，2x+e 一号，0,所以函数y=s讥(2x+分的取值范围是 一空，0,所以函数f(x)在区间 一/一 名 上 的 最 大 值 为 争。错误.故选：BC.II.(5 分)如 图，在直三棱柱 ABCAIBICI 中，Z B A C=A B=-A C=A A =,己知 G 与 E分别为A B和 CC1的中点，。和尸分别为线段AC和 AB上的动点(不包括端点)，若G D L EF,则线段。尸的长度的平方可以取的值为(

16、)【解答】解：以A 为原点，4B 为无轴，AC为)，轴，A A 为 z轴，建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),E(0,1,G 0,1),2 2设 A尸=x,AD=y,则 尸(x,0,0),D(0,y,0)T 1、T 1 GD=(-2 y，-1),E F (x,-L-)，VGDLE F,：.GD-E F =x+2 y-1=0,A x=1 -2y,D F=yjx2 4-y2=7(1-2y)2 4-y2=J s(y-|)2+1V 0 x 03=-2 44=1，05=2 06=2*可知数列 ”是周期为3 的周期数列，二数列 的前 100 项和为（41+42+43）+（4+a5+。6）+，+（61

17、97+。98+。99）+41（）=1,故答案为：1.14.（5 分）已知半径为IOC”?的圆上，一条长为40c7的弧，则该弧所对的圆心角的弧度数是4.【解答】解：半径为10。”的圆上，一条长为40。”的弧，由弧长公式可得a=：=a=4,故答案为：4.b2c15.（5 分）已知a,b,c 分别为ABC 三个内角A,B,。的对边，ZSABC 的面积为一，4第1 4页 共2 1页17 T且 si r?(A+B)+(1 -c)si n2B=bsinA,则 A=一 .2-41 hr b【解答】解：由三角形的面积公式可知S =bcsinA=丁，得&=sinA,由si/Q j +B)+(1 c)sin2B=

18、bsinA,得 si n2C+(1 -c)si n2B=si n2A,由正弦定理得 c2+(1 -c)tr=cr,即 c+b2-a2=b2c,所以 b=2 cosAf所以 si n A=c osA,又4 楼，所以 t a n 4=l,又 OV A C+N C+N CAC=1 80 ,所以NC为锐角，所以 c osC=V1 sin2C =1 ）=_ _ _ _ _ _ _ _ _1 _ _ _ _2z i+l+j 2?i-1 2+1 J2?i+1所以 si n/AC=si n （1 80 0 -Z A D C -Z C）=si n （Z A D C+Z C）=si n Z/AD Cc os Z

19、C+c os N AD Csi n Z C=3X2 _ 4 /5_ 2/55 X 5 5 X 5-25 1 7.（1 2分）已知等比数列 a“前项和为S,=,“1=2,数列 尻 的各项为正,S 3+3 a3且满足 bn+12-b/=粤“，ai2=a2 hi.an（1）求数列 和 瓦 的通项公式；11 1 6 V 3 1（2）Cn=7 （5+-7-），求证：-C1+C2+C3+.+Cn.a n b n 2 得+1+b n+i b/1 2 2【解答】解：（1）设公比为q的等比数列 ”前项和为的，衿=1,m=2,S 3+3 a3所以。1+。2+3+。4+4=4（。1+。2+。3+3）,整理得m+4=

20、3 q,由于0 1=2,所以4=2,故a九=2 x 2nt =2n.由于 a2=a2 b,整理得4=4 6，解得历=1.数列 员 的各项为正，且满足加+/-尻2=等1,an所以小2=2（常数），所以数列“2是以首项为1,公差为2的等差数列.所以与 2=1 +2（n 1）=2n 1,所 以%=7 2 n-1.11 1 1 1证 明：（2）由（1）得：cn=-（4+T1-d+a n b n 2&+1 +氏匕+1 2n底 二I 2第1 6页 共2 1页m 3 .1 1,1 1 ,1 1 1所 以 c1+c2+-+cn=1-+-+-7=-=-_1 _ 12n+1V2n+l 2由于数列 Cn单调递增，由

21、工 _ 1 1 6-V3由于c】=2 _ =F-，,6*所以：-C|+C2+C3+.+Cn -、z,_ ,令,=-b m=(2,-/,/)=(2,-1,1),DH m=y+z=0伯工=加 +2=0,令 =(,2,力=(-1,2,1),DF-n=u 4-iv=0所以锐二面角F-D G-H 的余弦值为 一 刃=-T=1|m|-|n|V6-V6 2第1 9页 共2 1页图1图220.(12 分)已知函数/(x)ex-(x+/n)In(x+m)+x,，wW2.(1)若直线/：y=x+l是函数f(x)的切线，求?的值；(2)判断函数/(x)的单调性，并证明.【解答】解：(1)函数/(X)的定义域为(r

22、n,+8)1分对 函 数(x)求导可得，(x)ex-In(x+m)2 分t=n+1设直线/：y=x+1关于函数/(x)的切点为(，f),则 有 t-ex-(m+n)ln(m+n)+n,ex-ln(m+n)=13 分解方程可得机=1,=0,r=l5 分(2)函数/(x)为单调递增函数.证明：由 第(1)问可得/(x)=F-/(x+m),令 g(x)=e*-(x+l),贝!g(x)=e-1 6 分可 知 在(-8,0)上，g(x)0,即 g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，于是有g(x)eK-(x+1)2g(0)=0,即恒成立8 分构造函数(jc)=(x+1)-In(x+2

23、),则 力 (x)=1 丁号9 分可 知 在(-2,-1)上，h G)0,即(x)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，于是有人(x)=(x+1)-In(x+2)(-1)=0,即 加(x+2)Wx+1 恒成立10 分当时，In(x+m)Win(x+2)Wx+1 成立11 分综上可得，/尤+1历(x+m),即有/(x)0,函数/(x)为单调递增函数12分第2 0页 共2 1页r2”2 y/321.（12分）已知椭圆C：a+方=l（ab0）的离心率为三，F 1,尸 2分别为椭圆的左、右焦点，点 P 为椭圆上一点，F1PF2面积的最大值为（I）求椭圆。的方程;（I I）过 点 A（

24、4,0）作关于x 轴对称的两条不同直线/i,/2分别交椭圆于M（xi,y i）与N（X2,”），且求证：直线MN过定点.【解答】解：（I）设 2,则 合 今设 P G,y),则 SMPF2=H yl，,lylW/?,SFiPF?W be=V 3,解得 _x2所以椭圆C 的方程为丁 +y2=1.4(II)证明：设 MN方程为冗=y+m,(#0),M(xi,yi),N(X2,”),旺=九 y+血联乂1/+4、2_4=0，得(H2+4 )y1-lnmy+m2-4=0,yi+丫 2 =2nmm2 4鬲 彳，%2=鬲 彳，因为关于X轴对称的两条不同直线/I,/2的斜率之和为0,Hn即-y-i-+-丫-2-=o八 ,即R I-I-y-+-y-?-.-=0n,x1-4 X2-4 nyt+m-4 ny2+m-4得 2yiy2+/%(yi+”)-4(yi+y2)=0,即，2n(m2-4)2nm2n2+4 九 2+48nm，一+正 毒=解得：尸直线MN方程为：工=町+1,所以直线MN过定点3（1,0）.第 2 1 页 共 21页