2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（六）解析.pdf

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1、绝密启用前2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(六)注意事项：L答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1.已知复数z =i(4 3i),则 z的实部为()A.3 B.3z C.4 D.4 i答案：A由复数乘法可得z =3+4 i,由实部概念得结果.解:z =i(4-3i)=4 i-3?=3+4 3实部为3,故选：A.2.已知集合A=y y =J1+,8 =x|y =ln(x +l),则下列选项正确的是()A.A U3 =1,+o)B.A c8=(-1,+8)C.(0所4 =(-1,1)D.低A)c 3 =(-l,l)答案：D先求出集合A、B

2、,再进行集合运算，验证四个选项.解：:4 =卜 y =Jl+x 2 =i,+o o),8 =x|y =ln(x+l)=(L+o o),A U6=(-l,+8),AC3 =1,+OO),(转)必=0,低A)c 3 =(-1,1).故选：D.集合的交、并、补运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2)连续型的数集用数轴.3 .找 规 律 填 数 字 是 一 项 很 有 趣 的 游 戏，特 别 锻 炼 观 察 和 思 考 能 力，按照“1 =7”“2=14”“3=4 2”“4 =16 8”的规律，可知 5=()A.4 9 0 B.6 2 C.7 20 D.8 4 0答案：D先根据题中所给的信息推理，并验

3、证，得到规律后就可以计算出结果.解：观察规律有 14 =2 x 7 ,4 2=3x 14,16 8 =4 x 4 2,所以5 =5 x 16 8 =8 4 0.故选：D.4.未来20年将是中国养老产业的黄金20年，康养小镇已上升为国家战略.康养小镇是指 以 健康”为小镇开发的出发点和归宿点，以健康产业为核心，将健康、养生、养老、休闲、旅游等多元化功能融为一体，形成的生态环境较好的特色小镇.现将7位市场调查员安排到这5个产业中，共有安排方案的种数为()A.75 B.57 C.A；D.C,答案：B根据分步计数原理，直接计算结果.解：每位市场调查员在选择时均有5种产业可选，共 有7位调查员，所以安排

4、方案有5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =5 7 种.故选:B.5.已知变量x,N之间的一组数据如表：若 丁关于x的线性回归方程为$=0.7 x +4,则4=()X3456y2.5344.5A.0.1 B.0.2 C.0.35答案：CD.0.4 5先求工，代入$=0.7 x +6,即可得计算的值.解:3 +4+5 +6x=-=4.5,_ 2.5 +3 +4 +4.5 一y =-=3.5 ,-4将元=4.5,5=3.5代入$=0.7 x+4得 4 =0.3 5,故选：C26.已知椭圆上+:/=1的左、右两个焦点分别为耳、F,。为坐标原点，点尸在椭5 -圆上，且|。尸|=2,则

5、耳居的 面 积()答案：B设点产(七,%)，根据点P在椭圆上以及|O R =2可得出关于毛、%的 方 程 组，求出|为|的值，即可求得。耳鸟的面积.2 _解：在椭圆1 +y 2 =i 中，a=亚,b=l,c =2,则|耳玛|=2 c =4,14-2%2.y o+片一52%1-2设(%，%)，由点P在椭圆上且|。月=2,得,所 以 如 毛 山 研 阅:4 x 4 x g =l.故选：B.7.已知/(x)=A s i n(a)x+c)+C的图像是由g(x)=s i nx的图像变换得到的，f(x)的大致图像如图，其中A (),。0,0 0 .A=2,C =l./(0)=2 s i n0 +l =2,

6、5由*=.：0 8苦，二夕=今.又由/(兀)=2 s i n(即+l =O,得 如+二=1兀+2E，ZwZ；1 6 J 6 61+1 =0,得 3师+巴=1 1兀 +2 kji，k GZ；)3 6 6解得G=1 .故 f(x)=2 s i nf x+j 4-1.故选:C.8.已知函数/(x)=e 2 i,g(x)=g11 1r+g,若A,8分别为两个函数图像上一点,则AB的最小值为。Zo5A.ln3 B.In2 C.-In2 D.In22 2 2答案：B确定两个函数/(x)和g(x)互为反函数，它们的图象关于直线y =x对称，只要求得其中一个上面的点到直线y =x的距离的最小值即可得(由/(x

7、)-x的最小值再乘以名2得距离最小值).解：本题考查反函数对称性的应用以及构造函数计算两点间距离的最值.,1 1由 /(x)=e2-1 可得2 x-1 =ln(/(x)x =-ln(/(x)+-,可得/(x)与g(x)互为反函数，f M与g(x)的图像关于直线y =x对称.令/?(x)=e 2 i x,则/?(x)=2 e 2 i 1,由(x)=0得x=g-；ln2 ,.当 xe(0,；一 ；ln2)时，h(x)0,/z(x)单递增，；心 焉=产2 TH i n 2)=；ln2 ,故AB的最小值为2 x注/2(x)mi n=ln2.2、7 mi n 2故选：B.关键点点睛：本题考查求两函数图象

8、上点间距离的最小值，解题关键是确定两函数互为反函数，问题转化为求一个函数图象上的点到直线y=x的距离的最小值，再利用直线y=%的性质，只要求得y=/(%)-%的最小值即可得.二、多选题9 .已知数列 为 为递增的等差数列，其公差为d,前 项和为S”.若2%=%，则下列说法正确的是()A.d Q B.57=S8 0C.仅S7为S”的最小值 D.S.0时的最小正整数为1 6答案：A D根据条件可知d(),并且可知q=0,判 断A B选项，根据=0,利用正负项的分界，判断C选项，利用4=0,可知工5=0,判断D选项.解：本题考查等差数列的概念、性质及前项和的应用.2 a5=a,=2 a,+Sd-a

9、d =a1+ld 0=a-0.：4为递增数列，.(),故A选项正确；d Q =0 ,/.S7=S8 Q,4=0,，S7 =S8同为S”的最小值，故C选项不正确；.6=0,5 5=1 5%=0,.使S.0的”的最小正整数为1 6,故D选项正确.故选：A D.关键点点睛：本题考查等差数列的通项和前项和的最值，关键是求得仆=0,根据正负项的分界，判断选项.1 0 .若函数函X)满足条件:对于定义域内的任意两个实数都有%-x)=h(x)；对于任意a,be(O,+0 0)(a H匕)，恒有幺色曳2 0；对于(0,+8)内的任意两个实数再，N 2,都有 七 三 卜 a ；)成立.则下列函数满足以上条件的有

10、()A.h(x)=x2 B.h(x)|x pC.h(x)=In x2 D.(x)=4 1 n x+l答案：BC由可知以x)为偶函数；由可知/?(x)在(0,+。)上单调递增，对每一个选项的函数判断其奇偶性和单调性，作出x 0的图像，可判断得选项.解：由可知(x)为偶函数：由可知必幻在(0,+8)上单调递增，对于A：(_ 1)=(x)2=f=(x),所以(X)为偶函数，当x 0时，如下图1所示:唱手卜咐,故A不正确；对于B：/?(_ =Tp=k F =(x),所以(x)为偶函数，且(X)在(0,+8)上单调递增，当x 0时，如下图2所示：“七 强 2 4()+，3),故B正确；I 2 J 2对

11、于C：h(-x)=In(-x)2=In x2=h(x),所以(x)为偶函数，且(幻在(0,田)上单调递增，当x X)时，如下图3所示：/?(土 产 卜力(司)丁(),故c正确;对于 D：/?(x)=4 1 n x +l 的定义域为(0,+),不关于原点对称，所以函数不是偶函数,故D不正确,故选：BC.图1图21 1.设双曲线的方程为汇-工=1,则下列说法中正确的是()4 3A.双曲线的渐近线方程为y =三xB.双曲线上的动点到该双曲线两个焦点的距离之和的最小值为2 近C.双曲线上的动点到该双曲线两个焦点的距离之差为4D.双曲线的任一焦点到渐近线的距离为6答 案:BD根据双曲线的性质及定义来判断

12、即可.解：由已知得双曲线的渐近线为y =2 叵 X，即2 x g y =0,故 A错误；设双曲线的焦点坐标为(0,-c),(0,c),C 0,则/=4+3 =7，故焦点坐标为(0,近)，则双线上的动点到该双曲线两个焦点的距离之和的最小值为2 c =2 不，故 B 正确；双曲线上的动点到该双曲线两个焦点的距离之差为 4,故 C错误；双曲线的任一焦点到渐近线的距离公(土 6卜(土=旧,故口正确.V4 +3故选：BD.1 2.正方体 中，E 是 棱 的 中 点，F在侧面CD RG 上运动，且满足用F/平 面 以 下 命 题 正 确 的 有()A.侧面上存在点F,使得8 7，B.直线用尸与直线8C所成

13、角可能为3 0 C.平面Af E 与平面C R 所成锐二面角的正切值为2 起D.设正方体棱长为1,则过点E,F,A的平面截正方体所得的截面面积最大为好2答案：A C取 G A中点M,CG 中点N,连接B i M,B N,M N ,易证得平面4MN 平面,可 得 点F的运动轨迹为线段M N.取MN的 中 点F,根据等腰三角形的性质得B/L M N ,即有87，CR,A正确：当点F与点M或点N重合时，直线87与直线8 c所成角最大，可判断B错误；根 据 平 面 与 平 面ABE,N 与 尸6即为平面gM N与 平 面 所 成 的 锐 二 面 角，计算可知C正确；解：取G A中 点M,CR中 点N,

14、连接则易证得M N/AE,M N I I A.B,从而平面与VN 平面4 B E,所以点F的运动轨迹为线段MN.取MN的中点F,因为gV N是等腰三角形，所以B/L M N ,又因为MN/CR,所 以 _LC。，故A正确；设正方体的棱长为a,当点F与点M或点N重合时，直线用尸与直线BC所成角最大，止 匕 时tan NGgF=g *=tan 3 0,所以B错误；平面B|MN 平面A BE,取F为MN的中点，则MN J.,MN _L与/ZB,FC,即为平面B M N与平面C D D 所成的锐二面角，tan/B g=解=2&，所以C正确;因为当F为C E与M N的交点时，截面为菱形A GC,E（G为

15、BB1的交点）,面积为好,2故D错误.故选：A C.B-1：本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题.三、填空题13.已 知 向 量5的夹角为(，同=2,M=有，则 用-6卜.答案：V21由忻-q=&3力结合数量积的运算可得结果.解：13a-q=J(32一 斤=9|a|+|-6a b=9|a|+|S|-6|a|-|-cos-36+3-6 x 2 x 7 3 x =7 2 1.故答案为：屈.14.函数/*)满足 X/xeR,/(%)=/(8-%)Ji f(x)+/(16-x)=0,当 x c 0,4时，f(

16、x)=1，则/+/(4)+/(6)+-+/(2020)=.答案：2+夜根 据 已 知 条 件 判 断 出 函 数 为 周 期 函 数 并 求 解 出 周 期，然 后 计 算 出 2)+/(4)+/(16)的值，再结合周期性将问题转化为计算/(2)+/(4)的值，结合xe 0,4时/“)=可求解出结果.解:V/(x)=/(8-x),/./(x-8)=/(16-x),V/(x)+/(16-x)=0,/(x)+/(x-8)=0,./(x)+/(x+8)=0,；/(X-8)=/(X+8),X)=/(X+1 6),/(x)为 周 期 函 数，周 期 7=16,且(/(0)+/(1 6)+(/(2)4-/

17、(14)+(/(4)+/(12)+.+/(8)=0,/(0)=0/(2)+/(4)+/(6)+/(16)=0.当尤0,4时，,=%，贝 11/(2)=0,/(4)=2,/(2)+/(4)+/(6)+-+/(2 0 2 0)=0X1 2 6 +/(2 0 1 8)+/(2 0 2 0)=/(2)+/(4)=7 2+2故答案为：2+J5.关键点点睛：本题的解题关键是根据/(X)=7(8-%)且/(x)+/(1 6 x)=()得到函数/(x)是周期T=16的周期函数.15.小贾去海边钓鱼，将 鱼 竿 摆 成 如 图 的 样 子.已 知 鱼 竿A B=4.2m,海平面EC距地面AM相差0.9 m,鱼竿

18、甩出后8C,均为钓鱼线，鱼线共长为5 m,鱼竿尾端离岸边0.3 m,即4 0 =0.3 m,假设水下钓鱼线C O与海平面垂直，水面上钓鱼海水线5 c与海平面夹角为45,鱼竿与地面的夹角为30,则鱼钩。到岸边的距离为岸边.(结 果 保 留 两 位 小 数，V3 x 1.732)岸 边F D答案：6.34？如图，作出辅助线，分别在AABG和ABNC求解长度.如图，过点8作B N L C E,垂足为N,过点A作AG _L 6N,垂足为G.V A B =4.2 m,鱼竿与地面的夹角为 30,3G=2.1m,A G=2.1 6 m.；海平面 EN 距地面 A M 相差 0.9m,，BN =2.1 +0.

19、9=3m,：水平面钓鱼线8 C与海平面夹角为45,.CN=3N=3m,.C到岸边的距离为3+2.1 x6 0.3。6.34m.又水下钓鱼线C O与海平面垂直，鱼钩D到岸边的距离为6.34m.故答案为：6 3 4 m关键点到点睛：本题考查解三角形在实际问题中的应用，本题的关键是通过构造辅助线,将所求的长度分割为两段，分别在不同的三角形计算结果.16.已知正四棱锥P-A8 C 0的底面边长为1,侧棱与底边夹角的余弦值为叱，则正5四棱锥尸-ABCD的 外 接 球 与 内 切 球 的 半 径 之 比 为.2 5答案：T2先作出高PH,找出外接球的球心，计算出外接球的半径；利用等体积法求内切球的半径，即

20、可求出外接球与内切球的半径之比.如图，连接AC,取AC的中点H，连接P H，则。”J_正 面 则 正 四 棱 锥P-ABC。的外接球的球心。在PH E 连接0A.取8。的中点E，连接PE，H E，,:P B =P C ,:.P E 上BC,C E =B E B C =L2 2:侧棱与底边夹角的余弦值为立，B P cos ZPCE=.A PC=,P E =.5 5 5.又二H E =L所以PH=也.2 2设正四棱锥P A BC。的外接球的半径为R,在RtaOA”中，O A1=O H2+A H2,设正四棱锥P-ABCD的外接球的内切球的半径为，而正四棱锥 P A B C D 的表面积 SP_ABC

21、D=4sAPBC+SABCO=4xgxlxl+=3,所以办e，嗯十解得 邛 5G6故答案为：2(1)多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：公式法；多面体几何性质法；补形法；寻求轴截面圆半径法；确定球心位置法.(2)多面体的外接球问题可用等体积法求半径.四、解答题17.已知等差数列%中，4=1 1，。9+%=1 0 0,数 列 也 满足2%=2+/,4=2.(1)求数列 叫 与数列也 的通项公式;(2)若c.=+(l)a“，求数列%的前项和7“.1 丫答案：(1)cin=3n+5,Z?=3 1Y1 +3 n-(-，为偶数,一U fU，”为奇数.(1)根据等差数列的下标和性质先

22、求解出4 5的值，结合的的值可求解出公差，由此可求解出 4的通项公式；采 用 构 造 等 比 数 列 的 方 法 可 证|是等比数列，根据首项和公比可求解出 的通项公式；(2)采用分组求和方法进行求和，其中数列(-1)的前n项和需要分奇偶项进行分析，由此确定出一1)4 的前项和，再结合也 的前八项和，则 c.的前项和可求.解：(1)设数列 4的公差为d,为等差数列，4+%1=2 6 5=100，。15=5。.4 =11，,5 一%=13 d =3 9 ,解得 d =3.，an=4+(-2)d =11+3 -6 =3 +5.3 1 32以n+i1=”n产 一2，n+i 用2=n 一4”,+一,.

23、力-|2是首项、公比均为g的等比数列.M=3 +5,(2)c.=+(1)%”,设纥为数列也 的前几项和,1x则 纥 二+23 :I+2，112设A,为数列(-i r 的前项和，当为偶数时，A,=-(3 n+5)+(3 n+8)=y ,业 n 班式物H A A 3(-1)3 n 13当为奇数时，An=A 7 -4=-3 n-5 =-,2 2 2则4=3,为 偶 数,2-3 一 ,为奇数.2 21-=4 +纥=1-3 3+-+一,为偶数，2 2+3 _3 _ 旦 为 偶 数,2 2 2即(,=6f2+Z?2 c2=ah-2 t 2 2 i根据余弦定理可得cos C=a-c=1lab 27T又Ce(

24、0,兀)，所以。二一.3选条件：因为cos-15+C)+cosC=a，所以（-sin C）2+cosC=0=1-cos2 C+cosC =0cos2 C-COSCH一=0,4 4 4解得 cos C=.2jr又C e（0,兀），所以。=一.34 i P选条件：sin-=csin A ,则。sin271 C2 7csin A=cos=csinA.2根据正弦定理可得sin cos =sin Csin A,2因为 AE（0,兀），所以 sin A w O,则有 cos2=sinC,2c c cB P cos =2sincos.2 2 2C又。(。,兀)，所 以 二 2C所以 coswO,2（J 1

25、。兀 7 F则有s i n =,所 以 一=一，所以。=一.2 2 2 6 3A r A Q（2）因为 A6 C外接圆的半径为1,所以=-=2,s i n B s i n Z A C B所以=s i n B=-.2又 Z A C B J,所以0 3 空，所以8 =4，则4 =女.3 3 4 12因为C E是AABC的内角平分线，所以乙4虑=生=，2 67 T 57r 57r故NCE4=TI-=,所以N A =NCE 4,6 12 12所以AA EC为等腰三角形，所以A C =C E =0.（1）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：从题目给出的条件，边角关系来选择；（2）从

26、式子结构来选择.（2）“结构不良问题”是2 0 2 0年高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.1 9.如 图，在 直 三 棱 柱ABC-AgG中，底 面ABC为 等 腰 直 角 三 角 形，A B =B C =e q ,点E，/分 别 是 棱AB，BC上的动点，且A E=B b.(1)求证：A.F Y CyE.（2）当三棱锥4-6七口的体积取得最大值时，求直线4尸与平面M E f 所成角的正切值.答案：（1）证明见解析；（2）血 吸.6 5（1）设A

27、 B =2，A E =B F =x,过点C作C P A 5,使C P =AB,连接3P，过产作 PQHBF,且使P Q =6F,先证明四边形为AG QF为平行四边形，通过勾股定理得G QG E，进而得结果;(2)如图建立空间直角坐标系，根据锥体体积公式以及二次函数性质得E，尸分别是棱A8，8C的中点时合乎题意，通过向量法即可得到线面角的正切值.解：不妨设A B =2，A E=B F =x.(1)如图，过点C作“4?，使C P =AB,连接5尸，过P作尸。8尸，且使连接G Q，尸Q.则四边形3 P Q/，A C P 8为平行四边形，故BP/QF/AC/A.C,，且=。尸=A C =4G ,故四边

28、形为46。尸为平行四边形,则 CXQ/L F.又 G Q=4尸=A/22+22+X2=1 8 +;?，G E=722+22+(2-X)2=V 1 2-4%+x2，E Q=J(4-XA+(2+X)2=J2 0-4 x+2 f ,所以CQ2 +G E2 =EQ2,即 G Q_L G E，则(2)以8为坐标原点，BC,B A，所在直线分别为x轴、y轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则尸(0,0),4(0,0,2),E(0,2-x,0),(0,2,2).1 2因为 V区-BEF=耳 S福.X B B =S jE F )所以当S-E F取最大值时，三 棱 锥 的 体 积 取 得 最 大 值.因为SA

29、BEF=x(2-)x =-(x-1)2 2 2 2 2所以当尤=1,即,尸分别是棱AB，的中点时，三棱锥48射的体积取得最大值，此时(0 1,0),尸(1,0,0).则 卒=(1,-2,-2),4后=(。，1，一2)，E F=(l,-l,0).设平面旦EF的法向量为比=(a,d c),伍 丽=0,他-2 c=0,由一 得 ，八m-E F =0,a-b=Q,取。=2,得=2,c=,则庆=(2,2,1).设直线4尸与平面瓦EF 所成角为。,则sine=,s伽丽)|=仁54所以t a n 警.故直线4尸与平面片EF 所成角的正切值为生 属.6 5关键点点睛：(1)设出AE=B F =x,通过勾股定理

30、得出G Q，E；(2)根据三棱锥的体积公式以及二次函数的性质得到E，”分别是棱AB，BC的中点，利用向量法解决线面角问题.2 0.2 0 2 0 年新冠肺炎疫情肆虐全球，各个国家都翘首以盼疫苗上市.现在全球已经有多款疫苗上市，并且陆续在各个国家开始接种.如今我国有一款疫苗，经过三期临床试验以后，估计该款疫苗每次接种的有效率可达9 0%,并且已经陆续接到其他国家的订单.现已知该款疫苗需要接种两次，假设前后两次接种互不影响.(1)某人接种了我国的这款疫苗，则其可以接种成功的概率为多少？(2)已知某国家已经有意向与我国签订疫苗订单，买疫苗之后免费为本国首批1 0 万人注射.但是由于部分人可能在两次注

31、射疫苗之后未接种成功，所以该国决定购买一批预备疫苗为之后没有接种成功的人进行第二轮注射，第二轮注射仍为注射两次.根据以上信息，估计理想情况下该国需要从我国一共购买多少支疫苗？答案：(1)9 9%；(2)购买20.2 万支疫苗.(1)利用概率的加法公式根据题意计算即可：(2)结 合 第(1)问，用频率估计概率，再用概率估计总体.解：(1)方法一：接种两次的情况下接种成功，可能会出现“第一次接种成功、第二次接种不成功”“第一次接种不成功、第二次接种成功”“两次都接种成功”3 种情况.则其概率尸=0.9 x 0.1+0.1 x 0.9 +0.9 x 0.9 =0.9 9 =9 9%,此人可以接种成功

32、的概率为9 9%.方法二：接种两次的情况下接种成功，可以转化为“1-两次接种都不成功的概率”，因此所求概率 P =1 0.1 X 0.1 =0.9 9 =9 9%,此人可以接种成功的概率为9 9%.（2）由（1）可得，接种该款疫苗可以接种成功的概率为9 9%,未接种成功的概率为1%,1 0 0 0 0 0 x 1%=1 0 0 0（A）,则 有1 0 0 0人需要进行第二轮注射，2x（1 0 +0.1）=20 2（万支），估计理想情况下该国需要从我国一共购买20.2万支疫苗.21.已知抛物线y 2=4x,AB是抛物线的弦，为 线段A3的中点，过点A,B分别作抛物线的切线，两条切线交于一点P,连

33、接PM，交抛物线于点。.（1）过点。作抛物线的切线/,证明：1/AB-.（2）若直线AB过定点（2,1）,求点P的轨迹方程.答案：（1）证明见解析；（2）2x+y +4=0.（1）可设直线AB的 方 程 为 工=+，4（石,%），8（$,yj,得中点M坐标，由直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得X +%，X%，由A 8两点坐标写出切线方程，相减得出交点P的纵坐标，得轴，从而得。点坐标，再写出过。点的切线方程可证明平行；（2）由（1）由直线AB过定点，得/，加的关系，再用f，机表示出P点坐标，可得轨迹方程.解：（1）由 题 可 设 直 线AB的 方 程 为x=）+%，A（x，y J,8（

34、x”y J ,则y=4x联立 得天一4 一4 m=0.由A =1 6产+1 6 m0，x=ty+m,得 机 一/，y+%=4f,X%=-4，.又过点A,3分别作抛物线的切线，两条切线交于一点尸，直线R 4：x =2（x+x j,直线P 8：2 =2（X +%2）一两式相减得（y -%）y =2（王一9），.,_ 2（x,-x2）_ yl+y2._.%2 t-,yP yM-X f 2故轴，坨=孙=；丁=2 代 入 丁=以，得x=产.则直线I的方程为ypy=2（x+x）,即2 9=2（x+r）,即 x =（y-产，；./A B.（2）若直线A B过定点（2,-1）,则 由（1）可得2=+加，yp=

35、yy+y2.力，M=-L=2t由（1）可得直线2 4的方程为yy=2（x+%J,则y%,=2（巧,+玉）,2 2则 +%=2尤p +21_ ,M%=4 4,；.xp=-m.2 2又2=T+m,；.2=_ +（xj,得 2X p +yp +4 =0,.点P的轨迹方程为2x+y+4 =0.结论点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，结论：过抛物线y2=2 px(p 0)上一点(玉,y)作抛物线的切线，切线方程为yy=(+玉).22.已知函数/(x)=x l n x.(1)求曲线y=/(x)在点(e,e)处的切线方程(2)若g(x)=e(x)1x ,求证：当时，g(x)-3.答案：

36、(1)2 x-y-e=0.(2)证明见解析.(1)求导数，得切线斜率，由点斜式写出直线方程并整理；(2)题意即证当x N l时，e*x l n x 2x +3 0.利 用x N l时，e*x 21放缩，2e x l nx x+3 x I n x x +3,只要证rI n尤 x +3 0 ,为此构造新函数2 2 25 3(x)=l n x -+,利用导数求得它的最小值妈可完成证明.2 x x2解：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值，不等式的证明.(1)ff(x)=lnx+1(x0),/(e)=lne+1 =2,曲线y=f(x)在点(e,e)处的切线方程为y=2(x-e)+e,

37、整理得2 x-y-e=0.(2)要证当xN l时，g(x)3,即证当xN l时，exlnx-x +30.2(利用放缩法进行放缩，然后证明V In x-3 x+3 0,即可证明exIn x-*x+3 0)2 2当 xNl 时，恒成立，InxNO,J exlnxNx2 1n%,575故有exInx x+32 X Inx x+3.2 2若证得 x In x x+3 0,即可证得 cxln x x+3 0.2 2下面证明 x2 In x-x +30.25 3不等式两侧同时除以V可将不等式转化为I n x-+0,2x x25 3(构造函数/z(x)=lnx-一；+：,根据函数(x)的单调性求得函数(x)在区间2x XL”)上的最小值，根据最小值大于o证得结果)5 3令/7(x)=lnx-+,则/(X)2x X1 5 6 2X2+5X-12(X+4)(2X 3)-=-x 2x2 x3 2x32/3当 心 元5时，(%)；时，(x)0,/z(x)单调递增.当 时,h(x)hm2 52 2x22ln-02 3故当xN l时，g(x)3.所以原不等式成立.关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式.证明不等式关键是在于转化，一是利用不等式的放缩简化函数式，二是构造新函数，转化为求新函数的最值.