2021年广东省春季高考数学模拟试卷（解析版）13.pdf

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1、2021年广东春季高考数学模拟试卷（13）解析版注：本卷共22小题，满 分 150分。一、单 选 题（本大题共15小题，每小题6 分，满分9 0分）1.下列函数中既是偶函数，又在（0,+8）内单调递增的为（）A.y =B.y =c.丫 =/D.y=-x3【答案】B【解析】【分析】根据基函数的基本性质对各选项中函数的奇偶性及其在（）,+8）上的单调性进行判断，可得出结论.【详解】对于A选项，函数y =x-2为偶函数，且在（0,+8）上单调递减；对于B选项，函数y =-x-2为偶函数，且在（0,+8）上单调递增：对于C选项，函数y =%-3为奇函数，且在（0,+8）上单调递减；对于D选项，函数 =

2、-尸 3为奇函数，且在（0,+8）上单调递增.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉累函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.2.已知全集。=1 1,集合A =x|y =l g x,集合3 =y|y =4 +1,那么4门孰,8 =（）A.0 B.（0,1 C.（0,1）D.（l,+o o）【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和 B,再求Cv 8 和A M B.【详解】由题得 A=x|x 0,B=y|y l，所以Q B=y|y 1,:.AcC*=（0/）.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)

3、集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.3.若 函 数/(力=%2+2(“-1)%+2 在区间(-8,-4 上是减函数,则实数“的取值范围是()A.-3,+o o)B.(c o,3 C.(-20,5 D.3,+8)【答案】C【解析】【分析】根据对称轴与区间端点值之间的关系，列式可解得结果.【详解】因为函数/(0=/+2(4 l)x+2 在 区 间 上 是 减 函 数，所以一(a 1)N T,解得a 4 5.故选：C.【点睛】本题考查了利用二次函数的单调性求参数的取值范围，抓住图象的开口方向以及对称轴与区

4、间端点的关系是解题关键,属于基础题.4 .记 S“为等差数列 4 的前项和，公差。=2,%,%，%成等比数列，则$8=()A.-20 B.-18 C.-10 D.-8【答案】D【解析】【分析】由q,%，%成等比数列，可以得到等式4 2=44,根据等差数列的通项公式可以求出4，%，代入等式中，这样可以求出力的值，最后利用等差数列的前.项和公式，求出S g 的值.【详解】解：等差数列 4 的公差d =2,a,a3,%成等比数列,2可得62=6%，即为(4+4尸=(4+6),解得卬=一8,贝U S g =8 x(8)+*8 x 7 x 2=8.故选：D.由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和

5、公式，计算可得所求和.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，考查方程思想和运算能力.5.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取2 0%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A.100,8 B.80,20 C.100,20 D.80,8【答案】A【解析】山题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是=100,其中对四居室满意的人数为20%x l 00 x 4 0%=8,应选答案 A.6.设有直线y =Z(x-3)+l,当我变动时，所有直线都经过定点()A.

6、(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)【答案】C【解析】【分析】将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有直线都经过定点(3,1).【详解】原直线方程变形为y-1=%(%-3),根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点(3,1).故选：C.【点睛】本题主要考查直线系过定点问题的解法，属于基础题.7.不等式组 x+yNO表示的平面区域的面积为（）0 x 0作出不等式组 x+yNO表示的区域，如 图（阴影部分），0 x2代入x+y=O,解得y=-2,所以平面区域的面积为S.OAB=J 2=4.故选：C【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.8.将函数/（x

7、）=G sinx-cosx的图象向右平移2个单位得到函数y=g（x）的图象，则g的 值 为（）A.一百 B.-72 C.73 D.V24【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据函数图象的平移可求g(x),代入-J即可求解.6【详解】解：/(x)=&sinx-cosx=2 s i n|x L图象向右平移q个单位得到函数y=g(x)的图象,、c.（71 1|_1 g（尤）=2sin%-,T I =-2cosx,贝|J g 卜 看)=-2cos-j=一 百.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数辅助角公式及三角函数图象的平移，属于基础试题.9.已知a、b、c分别是AA

8、BC的内角A、B、C的对边，若 把 上cosA,则AABC的形状为()sin BA.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.【详解】因为在三角形中，目22cosA变形为sinCsinBcosAsinB由内角和定理可得sin(A+8)cos Asin B化简可得：sin Acos 50.cos5 2所以三角形为钝角三角形故选A【点睛】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.10.已知等边三角形ABC的边长为1,J3C=G,C4=5,A5=,那么小5+5

9、2+-3 =（）.3 3A.3 B.-3 C.D.2 2【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积即可求解.【详解】_ O 03解析：a b+b-c+c-a=lxlxcosl20+lxlxcosl20+lxlxcosl20=.2故选：D【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.1 1.如图，正方体中，两条异面直线B G 与耳。所成的角是（）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】C【解析】【分析】连接A A与岑A,则N B R A为所求.再根据 D,A判断即可.【详解】连接D.A与BA，因为B C J R A，则N B R A为异面直线B C,与片口所成的角.乂 为

10、正三角形，故异面宜线B G与4。所成的角是60.6故选：c【点睛】本题主要考查了异面直线的角度问题,利用平行转移到同一三角形即可.属于基础题型.1 2.为了提高幼儿园孩子认识数字的能力，老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1,2,3,4,5,6这六个数字当中任选一个数字(两人所选的数字可以相同)，如果所选出的两个数字相差不超过1,则称这两个小朋友“心 有 灵 犀 两 个 小 朋 友“心有灵犀 的概率为()5 7 八 5 4A.B.C.D.一1 2 1 2 9 9【答案】D【解析】【分析】基本事件总数“=6 x 6 =3 6,利用列举法求出这两个小朋友“心有灵犀 包含的基本事件有1 6个，由此能

11、求出两个小朋友“心有灵犀”的概率.【详解】解：基本事件总数 =6 x 6 =3 6，所选出的两个数字相差不超过1,基本事件有：(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4)(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共 有1 6个.1 6 4两个小朋友“心有灵犀”的概率为p故选：D.【点睛】考查古典概型的应用，基础题.1 3.若直线点一丁+1=0与 圆/+/+2尤一4丁 +1 =0有公共点，则 实 数%的 取 值 范 围 是()A.3,+8)B.(Y 0,-3 C.(0,+8)D.(-C O,+

12、8)【答案】D【解析】【分析】%2+1 由题意得圆心到直线的距离。=I I-I w 2 ,解不等式即可得解.【详解】圆f+y+2 x 4)，+1 =0的圆心为(-1,2),半径为2，由题意可知圆心到直线的距离d=卜3 -2 +W 2 ,化 简 得3（攵一+-0.VP+1 I 3 J 3故 丘（-0 0,+0 0）.故选：D.【点 睛】本题考查了宜线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题.14.设。（）,b（）,若 石 是5 与5”的等比中项，则的最小值为（）a h1A.8 B.4 C.1 D.-4【答 案】B【解 析】【分 析】利用等比中项可得a+b =l，由，+B B.A 8(1)2 A

13、 +*8设玫瑰与康乃馨的单价分别为x，y(单位为：元)，则有u ,2x=A,3y=B.4x +5 y 6；B-2 =0,所以 =d =一定一1,又|A B|=6，19.第 24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为2 5,直角三角形中较小的锐角为8,那么ta n（9+?）=.【答案】7【解析】【分析】由已知条件可得每个直角三角形的两条直角边的长度之差为1、斜边的长度为5,设直角三角形的两条直角边分别为“与+1,勾股定理求出。即可得直角三角形三边长，求出ta

14、 n。，代入两角和的正切公式即可得解.【详解】由小正方形的面积为1知每个直角三角形的两条直角边的长度之差为1,山大正方形的面积为2 5知每个直角三角形的斜边的长度为5,设直角三角形的两条直角边分别为与。+1,则/+（。+1）2=2 5=2片+2。2 4 =0,解得a =3或a =T（舍去），则直角三角形的两条宜角边为3、4,斜边为5,3所以 ta n 8=，ta n八 冗ta n 0+ta n41八%I -ta n 0 ta n4故答案为：7【点睛】本题考查三角函数，两角和与差的正切公式，属于基础题.三、解答题2 0.已知数列 4为正项等比数列，满足。3 =4,且。5,3%，牝构成等差数列，数

15、列 J满足2 =1 0 g 2 4+1 0 g 2 a“+L(1)求数列 4,%的通项公式；1(2)若数列 么 的前项和为S“，数列 c“满足q,=*口,求 数 列%的前项和T.【答案】(I)%=2 T,b=2n-;(H)Tn=2 n +l【解析】【分析】(I)先设等比数列%的公比为q(q 0),根据。3=4,且%，3 a 4,4构成等差数列，求出q，即可得出%的通项公式，再山=l og2 +l og2a+l,可得出也 的通项公式；(I I)先由等差数列的前项和公式求出Sn,再由裂项相消法求出Tn即可.【详解】解：(I)设等比数列 4的公比为q(q 0),由题意，得%+%=64 二 +=6 解

16、得q =2或q =3 (舍)又q=4 n q =1 所以 a=q/T =2-b=l og2a +l og 2 a“+i =-1 +=2/-1（n）s 二._4A?J2_=ip_Q-1 22n-2 n +1 J本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式12即可求解，属于常考题型.21.如图所示，圆柱。中，母线A3与底面垂直，是。的直径，点。是。的圆周上异于B,C的点.D(1)求证：平面AB)_L平面A C；(2)若B D =2,CD=4,A C=6 求圆柱。的表面积.【答案】证明见解析；(2)(84+10)/【解析】【分析】(1)推导出ABLCD,B D

17、 L C D，从而CD_L平面A8D，由此能证明平面A3。,平 面AOC.(2)由勾股定理求出BC,A B，由此能求出圆柱。的表面积.【详解】证明：(1)由已知可知ABL平面BCD,CDu平面BCD,A B L C D 点。是。的圆周上异于异于3,。的点，BC是。的直径，,.NBOC 是直角，即 8D_LCD又 ABu平面AB。，B D u平面Afi。，A B C B D B,C D八平面AB，CD u 平面 A D C,平面ABD_L平面AOC.(2)在RtABCD中，B D =2,8=4,Z B D C =90,BC=B C r+C D2=722+42=2#)-由(1)知AB_L平面BCD

18、,BC u平面BCD，/.A B I B C，即 ZABC=90AB=y/AC2-B C2=西 -(2后)?=4.圆 柱。的表面积为：S表=%+2 s底=2万 华.A8 +2万 (与 产=(8 4+1 0%.本题考查面面垂直的证明，考查圆柱的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.2 2.已知向量/”=(c os x,-l),r i -f 3 s in x,-,设函数/(x)=(/”+)/%.(1)求 函 数 的 最 小 正 周 期.(2)已知a,b,。分别为三角形A B C的内角对应的三边长，A 为锐角，a=l,c =J J,且/(A)71恰是函数f(x)在 0,-上的最大值，求 A 和。.【答案】(1)兀1T(2)A =,/?=1 或/?=26【解析】【分析】TC(1)由向量运算和三角函数公式可得f(x)=(机+)机=s in(2 x+7)+2,可得周期:67T(2)利用最大值，可得A =u，再利用余弦定理可求解b6【详解】(1)由题意可得，