2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）（解析版）.pdf

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1、2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）一、选 择 题（共12小题）.1.已知集合 A=/|2WxV4,8=x|-“V xW a+3,若 A G 8=A,则。取值范围是()A.（-2,+8）B.（-8,-1 C.1,+8）D.（2,+8）2.设复数z=l+i（i 是虚数单位），则廿+4=（）ZA.1 B&C.M D.23.从 4 位男生，2 位女生中选3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选,则不同的选法种数共有（）A.8B.12C.16 D.204.设函数/a）=2X-2-W,则使得不等式f（2_r-1）4/（3）V 0 成立的实数为的取值范围 是（）D.(2,+8

2、)D.3A.(-8,-1 )B.(-8,2)C.(-1,+8)x 35.已知实数x,y 满足4 x-y+l O ,则 z=x-2 y 的最大值为（、x-3 y-3 4 0A.-5B.1 C.26.已知(a =sinatan-1,则 ta n a=()A.-2 B.2C.2D.27.设 斯 是等比数列，前项和为S“，So 1 a?若。；=:，则=()S 2 5A.B.C.D.54328.已知函数卜=8（a）x+（p）的图象如图所示，其中3为正整数，lp|0）的焦点为F,过点F 作倾斜角为6 0 的直线交抛物线于点A,s,8（点A 位于x 轴上方），。是坐标原点，记AOF和aB O F的面积分别为

3、Si，S2,则US2=()A.9 B.4 C.3 D.21 0.九章算术卷 五 商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的儿何体称为“刍薨”.现记截面之间几何体体积为V,“刍费”的体积为V2,X台体的体公式为丫=+SO），其中5、S 分别为台 体 的 上、下 底 面 的 面 积.则“方 亭”的 上、下 底 面 边 长 之 比 为（）A.遥一 B.遥V C.遥+D.遥+2 4 2 411.已知|=百=2,且之,讪勺夹角为60。，若向量则勺取值范围是（）A.-4,4 B.-2 禽，2731

4、C.0,2仃 D.0,412.对任意 以工，e2,使得不等式Clnx-k）x3/nx成立的最大整数人为（）eA.-2 B.-1 C.0 D.1二、填 空 题（共 4 小题）.sinx13.已知函数f（x）=,则曲线y=/（x）在（0,0）处 的 切 线 方 程 为.e14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至 50小时之间的同学约有300人.据 此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小 时 的 人 数 大 约 为.2 21 5.已知F”&分 别

5、为双曲线C：三5 丹=1（。0,b 0）的左、右焦点，过点B 作 Ca 的一条渐近线的垂线，垂足为G.连接Q G,设直线QG,F2G的斜率分别为心，出 2,若ktk2=4 则双曲线C的离心率为O1 6 .钝角AABC的 面 积 是 空 运，AC=2,B C=3,角A的平分线交B C于 点D,则AD4三、解答题：共 70分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作 答.(一)必考题：共60分.1 7 .已知数列 斯 满 足 避=上,n(n+1)ana-1+(n+1)an-na i=0,n2,eN.(I)求证：

6、数列(n+j;:为等差数列;(I I)设数列 (2 +l)a/的 前,项 和 证 明：41 8.如图，三棱柱A B C-A i B i G中，底面 A B C是正三角形，0 1是其中心，侧 面2 C G以是正方形，。2是其中心.(I)判断直线0。2与直线AA的位置关系，并说明理由；(I I)若四面体A A B C是正四面体，求平面BCG与平面A B C所成锐二面角的余弦值.1 9.某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、B、C、。四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、。顺序作答：每位同学初始得分均为1 0分，答对问题A、B、

7、C、。分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于1 4分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足1 4分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、。回答正确的概 率 依 次 为 圣4 V T 且各题回答正确与否相互之间没有影响.己 /J S(I)求小强同学前三道题都答对的概率；(I I)用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；(I I I)求小强同学能通过比赛的概率.2 0.设P，F 2分别为椭圆C：%=1(。匕 0)的左、右焦点，?是椭圆C的短轴的一个端点，已 知 的 面 积 为

8、 我，c o s/F =-.O(I )求椭圆C的标准方程；(II)是否存在与尸&平 行 的 直 线I,满足直线/与椭圆C交于两点M,N,且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.2 1.已知函数/(x)=x2+x-In(ax+b),GR,“W O.(I )当 a=l,6=0 时，求证：f(x)；4(I I )若f (x)恒成立，求ab的最大值.(二)选考题：共10分.请考生从第22,2 3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程v=T c OS 9a (。为参数，常数r 0).以坐标原点为y=rsin B极点，x轴

9、非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线C2的极坐标方程为p2-8 p s i n 9+1 5=0.(I )若曲线C|与C2有公共点，求/的取值范围；(II)若r=l,过曲线Ci上任意一点P作曲线C2的切线，切点为Q,求 的 最 小 值.选修4-5：不等式选讲(本小题满分0分)2 3.已知函数/(尤)=|3x+l|+|x-2|.(I)解不等式:/(%)5；(II)若关于x的不等式/CO+朋在 0,3上恒成立，求实数，”的取值范围.参考答案一、选 择 题(共12小 题).1.已知集合4=习 2 忘 4,8=x|-“4故选：C.2 .设复数z=l+i (i 是虚数单位)，则

10、修+&=()ZA.1 B.&C.D.2解：因为 j 2=(l+i )2+2.=2 i+l-i =l+i，Z 1+1所以|z?工|=V 2)z故选：B.3.从 4 位男生，2位女生中选3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法种数共有()A.8 B.1 2 C.1 6 D.2 0解：由题设知不同的选法可分两种情况：第一种情况，只 有 1 位女生入选，不同的选法有C；C：=1 2 种；第二种情况，有 2位女生入选，不同的选法有C,C：=第中，根据分类加法计数原理知，至少有/位女生人选的不同的选法有1 6 种，故选：C.4.设函数/(x)=2x-2-x+x 则使得不等式/(

11、2 x-1)4/(3)0成立的实数x 的取值范围 是()A.(-,-1)B.(-8,2)C.(-1,+8)D.(2,+8)解：由函数解析式知函数/(x)是定义在R上的奇函数和单调递增函数，原不等式可化为/(2 x-1)/(-3),.，2 x-1 V-3,解得 x V -1,的取值范围是(-8,-1).故选：A.x435.已知实数x,y满足 x-y+lO，贝U z=x-2 y的最大值为()、x-3y-340A.-5 B.1 C.2 D.3解：画出线性约束区域,所以当直线y=/x卷z经过6（3.0）点时，目标函数z=x-2 y有最大值，最大值为3.故选：D.6.已知(Cl )全)=s i n a

12、t a n-1,则 t a n a =(A.-2 B.2 C.2解：因为&s i n(a+-)=s in a ta rr-l,L i、1 2 a所以s in Q +c o s C L =2 s in -1-9 a因为 c o s C I =l-2 s in _所以 s in a+c o s a=-c o s a,即 s in a=-2 c o s a,D.12所以 ta n a=-2,故选：A.7.设他“是等比数列，前项和为S”，S o 1 a?若 W 则=()S 2 S 5A.B.5 4C.D.3 2解：设等比数列 斯 的公比为由7;S2 二三1 可得：4=4S 2，整理得：。3+。4=3（

13、+2），即（a i+a j q 9=3（a i+a9）2+5 4 5 1 4 1/解得：/=3,a2 alq 1 1,-=-二-二 a2 +a4 a j q+a j q3 1+q2 故选：B.8.已知函数丁=85（3X+（p）的图象如图所示，其中3 为正整数，即|2,则（）A.a）=l,（p=n -2 B.3=1,（p=2 -TT C.3=2,（p=n -4 D.o）=2,（p=4-n解：由图象知】2 当，.白2=8$（2 x+（p）得，c o s （4+（p）=-1,贝！J 4+（p=2 E:+n,所以 p=2 匕 i+n-4,kwZ,V|（p|0）的焦点为F,过点F作倾斜角为6 0 的直线

14、交抛物线于点A,S,B （点A位于x 轴上方），。是坐标原点，记 A O F 和 B O F 的面积分别为S i，S2,则 廿S o=()A.9 B.4 C.3 D.2解：由题意可知，直线AB的 方 程 为 尸 （乂为），代入J=2 px,整理得 x2-1_p x-p2=0-设点A、B的坐标分别为（两，y i）,（M，为），因为点A位于x 轴上方，所以Xi=p，Xo1 2 4 6故选：c.1 0.九章算术卷 五 商功中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍薨”.现记截面之间几

15、何体体积为%,“刍薨”的体积为匕，若 萨=，台体的体公式为y=h（S+每L+S），其中S、S 分别为V o o台 体 的 上、下 底 面 的 面 积.则“方 亭”的 上、下 底 面 边 长 之 比 为（）解：设“方亭”的上底面边长为。，下底面边长为。，高为，则 Vh(a2+ab+b2),1 1 OV=yha(a+b)而h(a+ab)，V2=V-V i=-h(a 2+ab+b2)-h(a 2+ab)(-a2-ab+2b2)1 o/b2,V2 y h(2b2-a2-ab)t 2-(f)-f g=-=-x-=-=-=-.%h(a2+a b)3 管 哈 3 b 2故选：A.11.已 知 国=市=2,且

16、；，芯的夹角为60。，若向量二-W 1，则*渣 取值范围是（）A.-4,4 B.-2愿，2731 C.0,2731 D.0,4解：解 法1：取OB=b,OC=c则点C在以A为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量3，3的夹角为。，由图IT JT可知，0取值范围为 夕，勺;6 2b c =|b|c|cos6=2|c|cos0 由 于|c I cos 8为向量c在向量b上的投影，且04 I c|cos 8 2故E G的取值范围是。，4.解法2：不妨设之二(2,0)，b=(l,畲)，c=(x,y).因为 Q-W 所 以(x-2)、)飞1,设x=2+rcosa,y=rsina,0 l,aeR,-J

17、 J所以 b,c=x-h/3y=2-h?cos C l Z rsin。=2+2rsin(Cl-t)冗 由于-l4-r rsin(a k 二)3/x成立的最大整数攵为（）eA.-2 B.-1 C.0 D.1解：由题意知(。状-左)x3伍r,有 k0,p (-)=3/成 50）=一？=0.35,2故累计时长超过50小时的人数大约有0.35人.故答案为：0.35”.15.己知Fr B分别为双曲线C：（a 0,。0）的左、右焦点，过点B作Ca的一条渐近线的垂线，垂足为G.连接Q G,设直线QG,F2G的斜率分别为心，心，若kk2=T，则双曲线C的离心率为解：已 知 焦 点 尸2的坐标分别为（-C,0）

18、,（C,0）,其中c=Va2+b2-根据对称性，不妨设点G在渐近线yx上，则直线F2G的方程为y=（x-c），与yA*x联立，b aab得G（三 ，生 ），所以k1=2=-2 2f由c c a a+c 乙 J一+cc得一2 2 化简得。2=2。2,故a+c 0 故答案为：/2-16.钝 角 的 面 积 是 盟 运，AC=2,B C=3,角A的平分线交2 c于点。，则AO=解：由 S A BC=-AC BC sinC 得sinC若角 C 为锐角，则cosC=，此时 4 8 2=4 +8 1 -2AC BCcosC=1 0,即 研=百 5,由于A 8 B C A C,则ABC为锐角三角形，不符合题

19、意.故 C 为钝角，此时cosC=-工，ABP=AC2+BC1-2AC BCcosC=16,4故 A 8=4.在ACD中，由正弦定理得AD_ CDsin/A C D sin/C A D同理，在ABO中,AD_ BDsin/A B D sin/B A D而在ABC中,AC 二 ABsin/A B D sin/A C D由于N C 4O=/B A。，故”岑士，BD AB 2由于BC=3,故 CD=1,所以 ADr=AC2+Cb1-2AC CcosC=6,所以AD力目故答案为：VB-三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22

20、,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1 7.已知数歹lj 斯 满足 （+1）anan-+（/?+1）a,-na =0,2 2,/?eN.（I）求证：数列 （n+j 为等差数列;（II）设数列 （2+1）知2 的前项和s“证明：g w s“l.4n a _ i 1【解答】证明：（I）（n+1）an=一三p 百 万 丁 ;1，n n a j +1 U+iJ.1 n a i+1 i J(n+1)an n a*n a i ._ L _ 1(n+1)an n a i 二数列(n+l)a 1是首项为1，公差为1 的等差数列；.(II)由(I)知：-r-A-=n,kn+lj an0

21、2 2n+l(n+1)2-n2 1 1(2n+U an=-5-7=5-寸-n2(n+l)2 n2(n+l)2 n2(n+1)2c,1 1、，1 1、/1 1、-1*-S=(-o-n-)+(-7-7)71-77)=1-y.I2 22 22 32 n2(n+1)2(n+1)2a n-n(n+l)1 8.如图，三棱柱A B C-4 B C i中，底面 A B C是正三角形，0|是其中心，侧 面B C G 8是正方形，。2是其中心.(I )判断直线01。2与直线A A i的位置关系，并说明理由;(n )若四面体4 A B e是正四面体，求平面BCCiBi与平面A B C所成锐二面角的余弦值.【解答】(

22、I)证明：如 图1.取B C的中点。，8G的 中 点 连 接A D,4。，DDi,根据棱柱的性质可得，D D i X B p A A1=BBp所以A A j j D D i，所以四边形AOQ4是平行四边形，所 以。2 f e 0）的左、右焦点，P 是椭圆C的短轴的一个端点，已知PF1 F2 的面积为加，COSZFIPF2=-O（I ）求椭圆C的标准方程;(I I)是否存在与P 3平行的直线/，满足直线I与椭圆C交于两点M,N,且以线段M N为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.解：(I)设内尸d=2 c,则尸Q&的 面 积 等 于|F F j|OP|=cb，所以

23、c bW2 1 4191由 co s2 Z OPF2=C OSZF1PF2=即 2C OS/N 0 PF?-1=-：7，得 co sN OP F 2乙 O因为在直角OPF2中，|OP|=。，OF2=C,|PF2 l=/|0 P|2+|0 F2|2=v b2+c2=a，所以C Q S/所以也.4 a a 3由及 2=/+c2,得 a=V s，b=l,c=V 2 2 所以椭圆。的标准方程为工+y 2二 .3(I I )因 为 直 线 尸 产2的斜率为二巨，所 以 可 设 直 线/的方程为y二八但乂垓，代入2 2X2 2-+y2=l,整理得 lx 2 l=0-o由=(亚m)2-4 X|(血2-1)0

24、,得加2n u i ._ 66m 6(m2-l)J J J xl+x2-X1X2=-5-+n0,若以线段M N为直径的圆经过坐标原点O,则 而ON=Q,W x j x2+(-x +m)(-y-x2+i n)=0 x2 i n(x +x2)+m2=0,所以张暝也等m X耍+小。，得m2居2 5 2 5 o因 为 所 以 私=+鼻 返 8 2 m 一 4所以存在满足条件的直线/,方程为y邛产或尸除等2 1.已知函数/(无)=x2+x -In(ax+b),E R,GWO.(I )当 a=l,6=0 时，求证：f(x)；4(n)若f a)恒成立，求ab的最大值.解：(I )证明：当 a=1,b0 时，

25、f(x)=f+x -Inx,所以f，(x)=2 x+l=3 T乂x+D-，x 0，X X所以当x 工时，f(x)0；当0 V x 工时，f(x)0,乙 *X 乙 T X 乙 乙所以广(X)4；4(I I)f(x)恒成立，即尤(ax+b)2 0,且要求 x+b 0,所以/-ax2b,若a V O,对任意的实数4当x V O且x 1,a故 不 等 式 不 成 立.若。0,设 g(x)=/-ax,则 g (x)=/-a.当 x W (-8,in a),g1(x)0,从而g(x)=e)-o r在(-8,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)单调递增，故 g(x)=/-%有最小值 g(Ina)=a-al

26、nci,因 止 匕 bWa-alna,所以 abWa?-a2Ina,设(a)=a2-a2Ina(4 0),则/z ()a(1-2/)，9 91 1所以h(a)=a-a Ina在 小 万、上单调递增，在,万 .、上单调递减,I U,e)(e K X?)从而()=2-2/的最大值为卜(6万)=6_61 06万 二1 _，1 1当 万，巳2时，取等号，故 的 最 大 值 为 寻,J v._ )(二)选考题：共 10分.请考生从第22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程Y=YC O S 6a (。为参数，常数0).以坐标原点为y=rsi ny极点，X

27、轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线C 2的极坐标方程为p2-8 p s i n e+1 5=0.(I )若曲线G与C 2有公共点，求r的取值范围；(H)若r=l,过曲线G上任意一点P作曲线C 2的切线，切点为。，求|PQ的最小值.解：(I )曲线G的普通方程为+y 2=/(r0),曲线C 2的 普 通 方 程 为(y-4)2=1若 Ci 与 C2有公共点，则|r-l(0-0)2+(4-0)r+1，所以3 5；(I I)若关于X的不等式/(x)，+7在0,3 上恒成立，求实数，的 取值范围.解：(I )由|3 x+l|+|x-2|5 得,x W 2 x 2 3 或43 或4产.,-3x-l-x+25 3x+l-x+25 l3 x+1+x-2 5解得 x V-1 或 1 5的解集为(-8,+8).(I I )由题意知,当x0,3 时，|3 x+l|+|x -+加恒成立.若 0 W x V 2,贝!j 3 x+l+2 -工，+/%，可得z W(-f+2 x+3)加=3；若 2 W k W 3,则 3x+1 +x-+?,m W (-x2+4x -1)2.综上可知，实数/(x)的取值范围是(-8,2 .