2021年广东省汕头市高考数学三模试卷.pdf

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1、2021年广东省汕头市高考数学三模试卷一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）已知复数2=6 +0 是 z 的共辗复数，z0=Z,z。在复平面内对应的点位于（Z）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.（5 分）已知全集。=/?,集 合 A=y|y=f+2 ,集合3=x|9-x?0,则阴影部分A.-3,2 B.（-3,2）C.（-3,2 D.-3,2）3.（5 分）现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）A.B.-

2、C.-D.-10 3 4 34.（5 分）已知S“是数列4的 前 项 和,则 S 向+2S,i=3S“对”.2 恒成立”是“凡 是公比为2 的等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.（5 分）已知/（x）是定义在R 上的函数，满足V x e R,者 隋/（x）=/（x）,且在0,-KO）上单调递增.若“=/（；）,b=/（sinl）,c=/（cos2）,则a,b,c 的大小关系为（）A.a b c B.b a c C.a c b D.c a b6.（5 分）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和

3、专利、能源、物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2坟 种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2枚次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行2.5x10次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据值2=0.3010,/g3“0.477）A.4.5x108秒 B.4.5x1065秒 C.4.5x10,秒 D.28 秒7.(5分)设尸是双曲线，-斗=1的右焦点，双 曲 线 两 渐 近 线 分 别 为 过 点 尸 作 直cC b线 0 ,/(2 0 2 1)=2 0 2 1,则不等式/(L n r)爪的解集为()eA

4、.(e2 0 2 1,+o o)B.(O,e2 0 2 1)C.(e2 O 2 l f,+o o)D.(0,2 l 0）的离心率为立，FB 分别为椭圆的左、右焦点，A,3 为椭a b 2圆上两个动点.直线/的方程为法+冲-后一廿二。下列说法正确的是（）A.C 的蒙日圆的方程为*2+丁=3必B.对直线/上任意点尸，PA P B 0C.记点A 到直线/的距离为“，则d-|A g|的最小值为#6D.若矩形MMG”的四条边均与C 相切，则矩形MNG”面积的最大值为6必三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.（5 分）函数y=+1（。0 且a*l）的图象恒过定点A,若点A 在直线小+

5、政-1 =0 上,其中,0,0,则?的最大值为.1 4.（5 分）已知非零向量I,5 满足|d|=2|b|,且（4-5），8,则万与5 的 夹 角 为.1 5.（5 分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为Ocrn,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2 （细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入3下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为一.（精确到1 6.（5 分）已知数列 4 满足q

6、+3,+5%+（2-l）a =3,贝!/=，若对任意的n e N*,册.（-1）/1 恒成立，则2的 取 值 范 围 为.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .（1 0 分）在 （si n B +si n C）2=si n2 A +3 si n B si n C ,2 c =2 a c os3 +6 ,A c osC +c c osB-2 a c osA =0 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.在A A B C 中，内角A,B,C的对边长分别为.，b,c,且_ _ _ _.（1）求角A的大小；（2）若 A A 8 C 是锐

7、角三角形，且6 =2,求边长c 的取值范围.1 8.（1 2 分）已知数列 4 的前项和为S，数 列 是 首 项 为 g,公差为;的等差数列，若 x 表示不超过x的最大整数，如 0.5 =0,在4 9 9 =2.（1）求数列%的通项公式；（2）若b“=Uga”,求数列 2 的前2 0 2 0 项的和.1 9.（1 2 分）己知A A B C 是正三角形，线段A E 和 8都垂直于平面MC,且 A =2 C D =2,尸为BE的中点，设平面3DEC平面A B C =/.（1）求证：D F/1；（2）当平面应史与平面A B C 所成的锐二面角为工时，求几何体A B C D E 的体积.4D-V r

8、/c2 0.(1 2 分)已 知 圆 C:V+(),-2)2 =1 与定直线/：y =-1,且动圆M 与圆C外切并与直线/相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹的方程；(2)已知点尸是直线小y =-2 上一个动点，过点P 作轨迹E的两条切线，切点分别为A ,B求证：直线A 3过定点.求证：ZPCA=ZPCB.2 1.(1 2 分)第 1 3 届女排世界杯于2 0 1 9 年 9月 1 4 日在日本举行，共 有 1 2 支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，M I K S A-V 2 0 0 W,已知这种球的质量指标J (单位：g)服从正态分布N(2 70 ,52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球

9、队进行1 1 场比赛(采取5 局 3 胜制)，最后靠积分选处最后冠军，积分规则如下：比赛中以3:0 或3:1 取胜的球队积3分，负队积。分；而在比赛中以3:2 取胜的球队积2分，负队积1 分.已 知 第 1 0 轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为0(0 1)(1)若比赛准备了 1 0 0 0 个排球，请估计质量指标在(2 6 0,2 6 5 内的排球个数(计算结果收整数).(2)第 1 0 轮比赛中，记中国队3:1 取胜的概率为f(p).(i)求出p)的最大值点p 0;(i i)若以外作为p的值，记 第 1 0 轮比赛中，中国队所得积分为X,求 X 的分布列及数学期望.参 考

10、 数据：若 X N(,J2),则 p(/a-c r X/+c r)0.6 82 6 ,-2 b 0,则阴影部分A.-3,2J B.（-3,2）C.（-3,2 D.一 3,2）【解答】解：集合 A=y|y.2,B=x|-3 x 3,阴影部分表示的是5（4|8），而 4 n 8=2,3）,所以a（40|8）=（-3,2）.故选：B.3.（5 分）现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）11 1 2A.B.-C.-D.-10 3 4 3【解答】解：设事件A 表 示“黄色杯子和绿色杯子相邻”，事件表示“黄色杯子和红色杯子相

11、邻”，A2 A4 9则 P(A)53=繁.在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为:P(BA)=P(AB)P(A)1-4=102-5故选：C.4.（5分）已 知 是 数 列 a,J的前项和,则“S.+I+2S“T=35”对.2恒成立”是“%是公比为2的等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：当S,川+2S,-=35”对.2恒成立,所 以 -邑=2-所以a,2a“，M.2 f所以从第二项开始，,是公比为2的等比数列,由于不知道4与生的关系，故无法判断 为 是公比为2的等比数列，故不满足充分性;当 “是公比为2的

12、等比数歹（I,4*1=2。“，n.A,0 S+i-Sa=2(SM Sn7),.2.S,m+2S,i=3S”对 .2恒成立，满足必要性;故5向+2s“T=3S对.2恒成立”是 是 公 比 为2的等比数列”的必要不充分条件.故选：B.5.（5分）已知/（x）是定义在A上的函数，满足V x e R,都有f（x）=/（-x）,且在 0,+bcB.bacC.acbD.cab【解答】解：由题意，得/（X）为偶函数且在 0，+8）上单调递增,5因为 0 -cos 2 2所以/(-co s 2)=/(cos 2)/(sin 1),即 c g,所以 f(sinl)/(g),即 b a,因为-c o s 2 g,

13、所以/(-c o s2)=/(cos2)/(g),所以c q c.故选：B.6.(5 分)区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密 码 一 共 有 种 可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2枚次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行2.5x10次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为()(参考数据/g 2 a0.3 0 1 0,这3 0.477)A.4.5xl(P 秒 B.4.5xl(y5秒 c.4.5x10,秒 D.28 秒【解答】解

14、：设这台机器破译密码所需时间大约为x 秒，则：x.2.5xl0=2256,两边同时取常用对数得：/g(x 2.5x 10)=/g2”6,Igx+lg2.5+ZglO11=256lg2,：.lgx+lg5-lg2+U =256/g2,.-.Igx+l-lg2-lg2+ll=2561g2,Igx=258/52-12 258x0.301-12=65.658,.x1065658=1065 xl00658,n而起45=/丐=2 g 一 的 川 653.-.1 0-.4.5,.,.XX4.5X1065,故选：B.7.(5 分)设厂是双曲线 2工 上b2=1的右焦点，双曲线两渐近线分别为/2,过点尸作直线

15、人 的垂线，分 别 交 4 于 A，8 两点，若 A,8 两点均在X轴上方且|O 4|=3,|O例=5,则双曲线的离心率0为()A.B.2 C.7 52【解答】解：在直角三角形A O 3 中，|。4|=3,OB=5,可得|A8 1=内-手=4,可得 t an Z.AOB =!,OA 3由直线4：y=x9直线4:y=-xya a由直线4 到直线4 的角的正切公式，可得D.7 6_ h _ b4t an N A O B =a,a,=-,l+(-V 3a a化简可得6=为，即有e =近逵=心.a a故选：c.8.(5分)已 知 定 义 在 R上 的 函 数 f(x)的导函数为尸(x),且 满 足/(

16、x)-f(x)0 ,/(2 0 2 1)=e2 0 2 1,则不等式/(1/n r)0,e e.g(x)在 R上单调递增，令 t=L n x,则 f(L g 密,即 为&1 =2*),即为 g)g(2 0 2 1),e e e e.-.t20 21,即 l/n r 2 0 2 1,解得0 x 0 时，f(X)在 工，文 上单调递减，6 6当4 内 的距离是定值，所以点A 到的距离为定值，则 3 正确；对于C,三棱锥A-B E P 的体积为U三 棱 俶T E F=E F AB BBt sin45o=x x a x a x a =,三棱锥A-B E F的体积是正方体A B C D -A,&C Q

17、体积的J，正确；对于。，异面直线 至，跖所成的角不为定值，命题。错误；故选：ABC.12.（5 分）画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：m+4=l(a b 0)的离心率为变，F,F,分别为椭圆的左、右焦点，A,3为椭Z?2圆上两个动点.直线/的方程为+。)-/-8 2=0.下列说法正确的是()A.C的蒙日圆的方程为炉+丁=3必B.对直线/上任意点尸，P A P B 0C.记点A到直线/的距离为“，则4-|A g|的 最 小 值 为 怨bD.若矩形M N G”的四条边均与C相切，

18、则矩形M N G”面积的最大值为6必【解答】解：对于A：因为点。(力)在蒙日圆上，所以方程为V+V=黯+/，又e=、l-*=也,所以/=2,故A正确；a V a2 2对于8：因为/过顶点P(6,a),而又。满足蒙日圆方程，所以点P在圆3 +y 2=3 4上,当A,5恰为切点时，P A P B =-l 0,故3不正确；对于C：由A在椭圆上，得|A K|+|A A I=2 a,所以 4 AF2 d (2a AF)=d+4片2a,当 A _ L/时，d+AF有最小值，由上可得，=a2-b2=2b2-b2=b2,即点6到直线/的距离d=牛/I=叱/+6|=拽6,所以|d AEI.=Wb 2 a,故C不

19、正确；对于。：当矩形四边形与椭圆C相切时，它为蒙日圆的内接矩形，对角线为蒙日圆的直径，设边长为X ,y ,贝|J f +y 2 =(2 4=4/=12b2,r2 ,v2所以S矩 形=孙,，-=6b?,故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.1 3.（5分）函数y =优一3 +1 3。且。1）的图象恒过定点A ,若点A在直线/n r+改-1 =0 上，其中2 0,心 0,则m 的 最 大 值 为.2 4【解答】解：因为当x =3 时，y=产+1 =2,所以函数 =一3 +1（。且。W 1）的图象恒过定点A（3,2）,又点A在直线如+y-l=0 上，所以 3 相

20、+2 1 =0,即 3 7 +2 =1,因为机 0 ,7 1 0 ,所以加 =3 机.2几,（3 心2：）2 =X =,6 6 2 6 4 2 4当且仅当3%=2 =1,即相=1,=工时取等号，2 6 4所 以 的 最 大 值 为 4 .2 4故答案为：.2 41 4.（5分）已知非零向量口，5满足|阖=2|5|,且（&母_L5,则。与5的夹角为【解答】解：.非零向量1,5满足|利=2|6|,且 3-日）_ 1 _ 5,设a 与。的夹角e,则（4 一 5）石=石-5 2 =2|5|5|COSJ-|5|2=0,.c o s =:.0 =,2 3故答案为：31 5.（5分）沙漏是古代的一种计时装置

21、，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为1 0 a”，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2 （细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入3下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为_ 2.9 6 c m _.（精确至l j 0.0 1 cm）.【解答】解：设细沙在上部时，细沙的底面半径为r,则 r =Zx 5 =W 加，3 3如 1 就、必秣 1 1 0 0 2 0 2 0 0 0 7 3细沙的体积为耳=-x x x

22、 一 =-cm 91 3 9 3 8 1设细沙流入下部的高度为4,根据细沙体积不变，可 知 x 4x 2 5 x /?=23X),解得白 =四大2.9 6加.3 3 8 1 2 7故答案为：2.9 6。篦.1 Q1 6.(5 分)已知数列 J满足q+3%+5%+(2-1)“=3，贝 1 生=_ ，若对任意的 w N*,恒成立，则几的 取 值 范 围 为.【解答】解：数列 满足4+3%+5%+(2-1)=3 ,当=1 时，4=3,当儿.2 时，4 +3%+5%+(2 -=3 T ,一得：(2 -I X =3 -3 T=2 x 3f所以4“=生至二，(首相不符合通项)，2n-l3 5=1)所以为=

23、7.对任意的 N ,an.(-1)A恒成立，所以当为奇数时，2,即4.-%恒成立，即2.(-%),皿,所 以 九 4 =3 ,由 于.2 时,3 =-x-=3-an 2 n +l 2 x 3 -2 +1故 数 列 单 调 递 增，当”为偶数时，a,.A,所以”)”而/，所以4,%=2,所以彳的取值范围为-3,2 .四、解答题：本大题共6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)在 (sin B+sinC)2=sin2 A+3sinBsinC,2c=2acosB+6,AcosC+ccosB-2acosA=0 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.

24、在AABC中，内角A,B,C 的对边长分别为a,b,c,且_ _ _ _.(1)求角A 的大小；(2)若AABC是锐角三角形，且5=2,求边长c 的取值范围.【解答】解：(1)选条件.因为(sin 8+sin CT=sin2 A+3sin Bsin C,所以 sin?3+sin?C-sin?A=sin BsinC,根据正弦定理得，b2+c2-a2=bc,由余弦定理得，cosA=，2因为A 是 AABC的内角，所以A=二3选条件，因为c=cos8+，由余弦定理c=ax +_匚+,2lac 2整理得从4-c2 a2 be,由余弦定理得，cosA=-,2因为A 是A46C的内角，所以A=三.3选条件

25、，因为/?cosC+ccos5 2acosA=0,/.sin Bcos C+sin Ceos B-2sin Acos A=0./.sin(B 4-Q =2sin Acos A,即 sin A=2sin AcosA因为0 AVTT,sinAwO.、1cos A=，2(2)因为4=工，A48C为锐角三角形,3所以冗0 B -2八 2乃 八 乃0 B 3 2,解得巳 8 三6 2在 AABC 中，一=一 一，sin C sin B而 N 2sin(：-B)2(f cos8+；sin8)co sB +sinBsin B sin B sin B即0=巫+1.tanB由生=,6 2 6所以0 _1 6，所

26、以l c 4.tan 318.(12分)已知数列”的前”项和为S，数 列 是 首 项 为 g,公差为;的等差数列,若表示不超过x 的最大整数，如0.5=0,%4 9 9 =2.(1)求数列 4 的通项公式;(2)若b“=Uga”,求数列 的前2020项的和.【解答】解：(1)数列 工4 是首项为工，公差为工的等差数列,n J 2 4E 二 I”S“1 、1 +1 徂 6 所以一=一 十 (一 l)x=-,得 S.=-n 2 4 4 4当 =1 时，4=S=g,又4=也适合上式，所以。=(n G N*).bn=lgan=lg9当=1 时，-1 lgax 0；当=2,3,4,19 时，0 lgan

27、 1 ；当刀=20,21,22,199 时,L,/g4 V 2；当”=200,201,202,1999 时，2,lgan 3；当=2000,2001,2020 时,3,lgan都垂直于平面A B C,所以C 0/A E,又因为A=2C.所以FG/5C,F G =DC,所以四边形COHG为平行四边形，所以。CG,又因为。尸仁平面ABC,C G u平面A 8 C,所以。尸平面A8C,又因为Mu 平面应）E,平面8 D E C 平面ABC=/,所以F/.（2）解：因为AABC是正三角形，所以CG_LAB,因为AE_L平面ABC,A E u平面A3E,所以平面ABE _L平面4 3 C,因为C G u

28、平面A B C,平面A B E C 平面=,所以CGJ_平面由（1）知 CG/,所以/!.平面A3E,因为4 5、庞 l u 平面4 3 E,所以/_ L 4 5,U BE,所以N A 5E为平面切D E与平面A B C所成的锐二面角的平面角,于是 Z A B E=4 5。，于是 3 G =F G =C =1,所以匕/AICC iD.ZEc =L J-AAHBL C+yUD r i 5 c.=3-2-22-s in 6 0 0-l +-3 -2-2-2-2-s in 6 0 =.2 0.(1 2分)已 知 圆C:r+(y-2)2=l与定直线/：y =-l,且动圆加与圆c外切并与直线/相切.(1

29、)求动圆圆心M的轨迹E的方程；(2)已知点P是直线：y =-2上一个动点，过点尸作轨迹E的两条切线，切点分别为A ,B求证：直线4 5过定点.求证：NP CA=4P CB .【解答】解：(1)依题意知：到C 1的距离等于M到直线y =-2的距离，动点的轨迹是以C为焦点，直线)，=-2为准线的抛物线，设抛物线方程为炉=2 3 5 0),则=2,，p =4,.抛物线的方程为d=8 y,故动圆圆心M的轨迹E的方程为：x2=8 y；(2)证明：由 f=8 y 得：y =1*2,y =Lx,-8 4设 A(X|-x；),B(x2,-xl)尸(f,-2),(x,*x2),8 8则切线P 4的方程为:y 片

30、/(%),同理，切线P B的方程为：了 =；工2工-后，解得：尢-4+“22T)二百+2一 2 =母8n rlx +=2 r 1 9 1 9即：6,咐，泼)，吃,萨),(1)，一 2-X|.直线/W的方程为：J-X,2=-_化简得：y =以，8%2-%,8 8即：y=；x+2,故直线4 3 过定点(0,2)；由知：直 线 的 斜 率 为 砥 2=；,当直线PC的斜率不存在时，直线钻的方程为：y=2,;.PC LA B,;.C A =NPCB,(花)当直线PC的斜率存在时，P”,-2),C(0,2),7?4 t 4.,.直线 P C 的斜率 A%=-=k.kpc=x =1，.PC.LAB,.ZP

31、CA=ZPCB,综上所述：N P C 4=N P C B 得证.21.(1 2分)第 1 3届女排世界杯于20 1 9年 9 月 1 4日在日本举行，共 有 1 2支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，M IKSA-V200W,已知这种球的质量指标J(单位：g)服从正态分布N(270 ,52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行1 1 场比赛(采取5 局 3 胜制)，最后靠积分选处最后冠军，积分规则如下：比赛中以3:0 或3:1 取胜的球队积3 分，负队积。分；而在比赛中以3:2取胜的球队积2 分，负队积1 分.已 知 第 1 0 轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(

32、0 /?1)(1)若比赛准备了 1 0 0 0 个排球，请估计质量指标在(260,265 内的排球个数(计算结果收整数).(2)第 1 0 轮比赛中，记中国队3:1 取胜的概率为f(p).(i)求出/(p)的最大值点P o；(ii)若以外作为p的值，记 第 1 0 轮比赛中，中国队所得积分为X,求 X的分布列及数学期望.参考数据：若 X NQi,),则/?(/-TX/+cr)0.6826-2cr X v +2b)0.9544.【解答】解：(1)因为N(270,52),则 P(2 6 0 ,265)二 废6 0 )280)饰 0,函数/(p)单调递增，当p e(l)时，f(p)l 时，/i(0)v 0,当犬一+oo 时，/(%)+8,故土0 c(0,+oo),使得(玉)=0,所以当“(0,%)时,(幻0,则(x)在(0,%)上单调递减,故/z(x)v (0)=0,矛盾.综上所述，a 的取值范围为(-8,1.