2021届全国高考数学卫冕联考试卷(文科)(5月份)(全国Ⅰ卷)附答案解析.pdf

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1、2 02 1届全国高考数学卫冕联考试卷（文科）（5月份）（全 国I卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.己知集合4 =x 6 N|x 1 ,则4 c 8 =（）A.x|0 x f c0)0.1 50.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k02.0 7 22.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 57.8 7 91 0.8 2 8附：*3黑 黑 1 9.如图，棱柱力B C D H/i G D i 的所有棱长都为2,A C H B D =0,侧 棱 与 底 面 4 B C D 的所成角为6 0。,4。_ 1 平面4 B C D,F

2、为DG的中点.(I )证明：BD 1 A A1；(口)证 明:。尸 平面B C C$i；(I E)求二面角。-AAt-C 的余弦值.2 0 .设4 B 为曲线：y =H上两点，4 与B 的横坐标之和为4./4(1)求直线4 B 的斜率；(2)设M为曲线C 上一点，C 在M处的切线与直线4 8 平行，且求直线4 8 的方程.2 1 .函数f(x)=3-|x2+ax+l(a e R)的导函数为1(x).(I )若函数/(x)在x =2 处取得极值，求实数a 的值;(U)已知不等式/(%)%2+%一。对任意。(0,+8)都成立，求实数 的取值范围.2 2 .在平面直角坐标系x O y中，已知点P的坐

3、标为(0,2),直线的的方程为：匕二:(其中t为一乙十 L b L lltl参数).以坐标原点0为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：PC O S20+47 5c o s。p =0.(1)将直线C i的方程化为普通方程，曲线C 2的方程化为直角坐标方程；(2)若直线G过点(2(旧,-1)且 交 曲 线 于A,B两点，设线段48的中点为M,求|PM|.23.已知a、b、c、d为实数，比较(a 2+b 2)(c 2+d 2)与(a c +b d)2的大小，运用不同方法证明.参考答案及解析I.答案：D解析：可解出集合4然后进行交集的运算即可.考查描述法、列举法的定义，以及交集的运

4、算.解：A=04,2,3；4 n B=0,1,2,3.故选2.答案：D解析：解:*。】8(14)504.*,*Z =-r -l-i_ _ _(l+i)_ -1-l-i一工 一 (l-i)(l+i)一 -1+iZ=-2故选：D.利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共朝复数的概念得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3.答案：C解析：解：椭圆C：兰+4=1的焦点在轴上，则m 5,m 5故选：C.直接利用椭圆的性质，转化求解即可.本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题.4.答案：D解析：解：线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关

5、系的一种统计分析方法之一，分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析.4 不正确，根据线性回归方程做出的y 的值是一个预报值，不是由x唯一确定，故 B 不正确，随机误差不是由于计算不准造成的，故 C 不正确，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故。正确，故选：D.根据线性回归的定义可知选项A 的真假，根据线性回归方程做出的y的值是一个预报值，不是由x唯一确定，故 B 不正确，随机误差不是由于计算不准造成的，故 C 不正确,y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，得到。正确.本题主要考查了线性回归的概念，以及两个变量的线性相关和散点图等有关知识，属于

6、概念的综合题，对学生的概念的考查力度较大.5.答案：D解析：解：由函数八 乃=函数 g(x)=XT)?0】),当x=l 时，可得g(l)=幽?0 =0.当x=0时，可得g(0)=f(T,f=0,排除4,B.当x=-l 时，可得g(-l)=八-2；+八。)=0当时，可得。(=竺逸=0,排除C.故选：D.根据函数g(x)=也”,带入特殊点即可选出答案.本题考查了函数图象变换，是基础题.6.答案：C解析：解：如图，4 在以4。为母线的圆锥上的一部分(弧Q),在翻折过程中，当点4 落在点尸位置时，AE与CD所成的角或所成角的补角最大，最大角为Z FG 4,因为在翻折过程中存在某位置，使得A E 1C。

7、,故只需NFG42 90。即可,即90。/.AFG+/.FAG=(54-Z.ADE)+(90-/.ADE),即乙4DE 2 7 ,即。=27,所以0 6(25,30.故选：C.易知，4在以4。为母线的圆锥上的一部分(弧分)，4E与CD所成的角或所成角的补角最大，最大角为4F G A,只需4FGA 2 90。，即可求解.本题考查集合中的解析问题，考查学生的空间想象与转化与化归能力，属于难题.7.答案：C解析：本题考查了等比数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于较易题.根据题目所给条件由=4,n =7,公比q =2,利用等比数列的前n 项和公式即可得出.解：由已知可得：数列 斯 为等

8、比数列，%=4,n=7,公比q =2,S7=生 27二)=5 0 8.7 2-1故选：C.8 .答案：B解析：解：由 可+而+定=话 可 得 以+玩?=丽 一 而，：.PA+PC=AB+BP=AP x +租)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题.12.答案：D解析：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意待定系数法的合理运用，属于基础题.解：设所求双曲线为上一第=4。HO),把点(一 3,2石)代 入，得1 一1=九解 得 二，4 所示的双曲线方程为上-U =i.9 4故选D.13.答案：(：,1)4解析：解：若函数f(x)=/+ax+2 b在区间(0,1)、(1,2)内各有一个零点,

9、f/(0)0 仅 0则/(1)0,即、a+26+1 0(2a+2b+4 0作出不等式组对应的平面区域如图：设z=合，贝版的几何意义为区域内点到点。(1,2)的斜率,由图象可知力。的斜率最小，CD的斜率最大，由雷1=0 解得*翼，即4 一 3,1)，此时AD的斜率k=饯=CD的斜率k=E=l,-31 4 1 1即；z 1,故答案为：1).根据函数零点的条件，得到不等式关系，利用线性规划的知识即可得到结论.本题主要考查线性规划的应用，根据函数零点分布以及一元二次函数根的分布是解决本题的关键.14.答案：1.0005解析：解：方法一、设/(x)=e*,可得/(x)=e*,/(0)=1,1(0)=1.

10、,曲线y=靖在点(0,1)处的切线对应的函数为y=g(x)=x+1.三;与0之间的距离比较小，“以直代曲”，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，201W =e2019=/（二）=g（-）=1 H-x 1.0005,7 v2019y v20197 2019方法二、已 知 必0/（X o +A Z）-r（X0）=f，（）,则当|x|充分小时，止吐彳:虫Q（Qo）,/（%0+%）X/（%0）+/（%（）,%（形同直线的点斜式方程），11 12 5=eF，f（。+而 然/（0）+（0）丽=1 +1.0005.2019故答案 为:1.0005.方法一、求得/。）=峭 的导数，可得/。）在 =0处的切线

11、方程，考虑 嬴 与0之间的距离比较小,可得所求值；方法二、运用导数的定义，可得/Q o+Zkx）=/（与）+/（3）X，计算可得所求近似值.本题考查导数的运用：求近似值，考查化简运算能力，属于基础题.15.答案:3解析：解：,ABC中，C=p Q=2,b=3,由余弦定理，得=。2+82 _ 2abcosC=4+9 2 x 2 x 3 x cos=7,因此c=V7，由正弦定理，得&ABC外接圆的半径R满足2R=言=条=雪“3R=叵,即 ABC外接圆的半径为叵.3 3故答案为：苧.利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子算出c=6，再根据正弦定理算出外接圆半径R满足2 R=组，由此可得

12、ABC外接圆的半径大小.sinC 3本题给出三角形的两边和夹角，求它的外接圆半径大小.着重考查了余弦定理和三角形外接圆半径的公式等知识，属于基础题.16.答案：y解析：解：过点P作PH J平面4BC于,则AH是PA在平面ABC内的射影，二 力”是直线P4与底面ABC所成的角，得乙PAH=60,Rt PAH中，AH=PAcosGO0=,PH=PAsin60=22设三棱锥外接球的球心为0,24=PB=PC,P在平面ZBC内的射影”是 ABC的外心，由此可得，外接球心。必 定 在 上，连接。4、OB、OCPO/1 中，0P=04,Z.OAP=/.OPA=3 0 ,可得P4=V304=V3 三棱锥外接

13、球的半径R=OA=1.因此该三棱锥外接球的体积为V=in/?3=n,故答案为：过点P作PH 1平面ABC于“，可 得 是 直 线 P4与底面4BC所成的角，得NP4H=60。,由PA=PB=P C,得外接球心。必定在PH上，连接。4可得APOA是底角等于30。的等腰三角形，从而得到外接球的半径R=。4=1,再用球的体积公式可得该三棱锥外接球的体积.本题给出三棱锥的三条侧棱两两相等，在已知一条侧棱与底面所成角的情况下求外接球的体积，着重考查了直线与平面所成角的定义、球内接多面体和球体积的求法等知识，属于中档题.17.答案：，.舟朴/一部用一土=；，二磔解建=：，豁a：豁K S%又 盘 管 就 阿

14、,所 以 盘=,；*1 11(2)设 舸*的 公 差 为 露 由已知得眼=；=雪，且 隰=第,%W晶 一，二蒯升颦=酗 外 檄 防 扑 嬲 且不为零，即 溶 二%，“=备-?一魂冤国 啜 隼 题#31 “朴壮一一=一一.“管脸片 .迩 制书,r 制书.1濯罂解析：本题考查的知识点主要是余弦定理，考查了等比数列的通项公式和利用裂项相消法求数列的和，(1)由 余 弦 定 理 知*=把 条 件 装 荷=融 府 代 入 可 求 出 的 八 才(2)由 知 碗=着 由 已 知 根 据 等 比 中 项 得 做 屋=%，设信均昌的公差为感，则4 _ 1:嚓1 瞰碧等疑 代 假 馔=%外 哪 国 骸，解得成=

15、2然后以求出,利用裂项相消求和.18.答案：解：(1)如下图所示:睡眠时间少于7小时 睡眠时间不少于7小时 合计男生12820女生14620合计261440 0.44 JAB2-A O2=后得4(1,0,0),4 式0,0,b),。(0,-V 3,0),8(0,百,0),设平面4 4 1。的法向量为元=(%1,y1,z1).T T .2 T=,v 忌=(-1,0,73),71 0=(-l,-V 3,0),nx-AD=0.-%i +V 3 z i =0-%i -V 3 yx=0可设房=(b,一1,1),又:BD 1 平面4 1 4 C G，所以，平面4 4 C C 1 的法向量为6 =n=(0,

16、百,0)，一一叫小 V 3 V s*-c o s =H=_ 7=_r =一 V，G G 5 ,二面角D AA1 C 为锐角,故二面角。一44i C 的余弦值是，.驾解析：本题主要考查求二面角的应用,熟悉线面平行的判定方法是解答本题的关键，属于中档题.（I）由题意得，直接运用线面垂直的判定方法化简即可求解；（H）由题意得，直接运用线面平行的判定方法化简即可求解.（巫）由题意得，直接运用求二面角的步骤化简即可求解.2 2 22 0.答案：解：（1）设4（x i，为，8（次,表为曲线C：y =彳上两点，X l则直线4 B 的斜率为k =百=2+&）=：x 4=1；（2）设直线4 B 的方程为y =x

17、 +t,代入曲线C：y =-,可得支2 4%4t =0,即有I+%2=4,xtx2=4t,再由y =的导数为y =2 x,设”（犯 尤），可得M处切线的斜率为;小，由C 在M处的切线与直线4 B 平行，可得 巾=1,解得m=2,即M（2,l）,由4 M -L 可得，AM-kpM=-1，Xi X2即 为 口.口 =一 1，X j-2 X2-2化为与 比 2 +2（%1 +X2）+2 0=0,即为 4t +8+2 0=0,解得t =7.则直线4 B 的方程为y =x +7.解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运

18、算能力，属于中档题.(1)设A Q i，9)，B(X 2,9)，运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；(2)设例(犯9)，求出y =的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得m,即有M的坐标，再由两直线垂直的条件可得看,小的关系式，再由直线A B：、=%+与丫=?联 立，运用韦达定理，即可得到t 的方程，解得t 的值，即可得到所求直线方程.2 1.答案：解:(I )f(x)=a x2-x +a,由于函数f(x)在%=2 时取得极值，(2)=0.即 4a 2 +a =0,解得a =|,此时/(x)在4=2 两边异号，f(x)在x =2 处取得极值.(H)方法一：由题设知：ax2%4-a

19、 x2+x a 对任意Q G (0,+8)都成立.即a(%2 +2)-x2-2%0对任意a e (0,+8)都成立.设 9(。)=+2)-一 2%(a e R),则对任意x e R,g(a)为单调递增函数(a G /?),对任意a e (0,+8),g(a)0恒成立的充分必要条件是g(0)0,即一/2%0,A 2%x2+x-a,对任意Q E (0,+8)都成立，即a(/+2)%2 2%0对任意a G (0,+o o)都成立于是a 需对任意a e (0,+8)都成立，即 黑 0,A -2%/+%-Q 对任意Q (0,+8)都成立.a(x2+2)-%2-2 x 0 对任意 a E (0,+8)都成

20、立.设 g(a)=a (%2+2)-%2-2 x(a G R),则对任意g(a)为单调递增函数(a E R),利用一次函数的单调性可得g(0)N 0,解出即可.方法二：由题设知：a/%。%对任意Q (0,+8)都成立，=a(%2 +2)-2%0对任意Q (0,+8)都成立，分离参数可得：Q?仲 对 任 意 Q (0,+8)都成立，即 乎三0,解出即可.X2+2本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分离参数法、一次函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.22.答案：解：(1)直线G的方程为：仁二(其中 为参数)消去参数转换为

21、普通方程为期讥戊_一 /3 x.(2)直线C i 过点0(遍,一1),所以把点的坐标代入x s t n a -ycosa+2cosa=0；得到t cm a =-百，所以戊=拳(x=-t所以直线的参数方程为,2百(t 为参数)，(y -2+3 1代入 y 2 =4/3X,得至 U 3/+168 t +16=0,则t】+t 2 =青邑根据参数的几何意义：|PM=|t 0|=|号|=竽.解析：(1)直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和参数的几何意义求出结果本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一

22、元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.23.答案：解：证法1：(分析法)要证(a c+bd)2 (a2+b2)(c2+d?)成立，即证：a2c2+b2d2+2abcd a2c2+a2d2+b2c2+b2d?成立,即证：2abcd a2d2+b 2 c2 成立,即证：0 a2d2+b2c2 2abcd=(a d 儿/成立，上式明显成立.故(QC+bd)2 2abcd（重要不等式）,所以(ac+bd)2=a2c2+b2d2+2abcd 0,所以(ac+bd2 (a2+62)(c2+d2).解析：本题考查不等式的证明，着重考查分析法、综合法、作差法的应用，考查推理证明能力，属于中档题.证法1:(分析法)要证(QC+bd)2 2abcd,利用重要不等式可得(ac+bd)2=a2c2+h2d2+2abcd 0,从而可知结论成立.