2021届全国高考数学仿真模拟试卷(理科)(全国Ⅱ卷)附答案解析.pdf

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1、2 0 2 1届全国高考数学仿真模拟试卷（理科）（全国II卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.若 集 合 力=族|-1 33 1 ,8 =用0 乂 3 ,则41）8=（）A.x|-1%3 B.%|0%1C.xl%3 D.%|0%32.复数Z=（岩）2016+13。为虚数单位）的共辆复数为（）A.1+21 B.1+iC.1 i D.1 2i3.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）,所得数据都在区间 5,40中，其频率分布直方图如图所示.从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20nm

2、i的概率是（）A.310B.C.D.384.己知双曲线M 一号=1的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为（）A.也 B.2 C.底 D.在5 5 5 105.己知五，石是平面内夹角为90。的两个单位向量，若向量 满足伍-5）.（工 一 B）=0，贝4花|的最大值为（）I 工 I k泰 A 8 C 的面积为3,%0A.1,4 B.1,5 C.|,4 D.冷 5 8 .执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1 1,则图中的判断条件可以为()A.S -1?B.S 0?C.S 0?9 .设a =0.7 6,b=70-6,c =l o g60.7,则()A.a b c B.b a c C.c

3、b a D.b c a1 0 .已知Q,b,c 分别为 A B C 内角4,B,C 的对边，a =2,2csinA =3cosCf则 c =()A.2 V 2 B.3 V 5 C.V 1 3 D.3A/21 1 .已知 M 为椭圆W l(a b 0)上一点，Fi、F 2 是两焦点，且 N M F i B =2 a,Z.MF2F1=a,(a K O),则椭圆的离心率是()A.1 2sina B.2cosa 1 C.1 cos2a D.1 sin2a1 2 .一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1,如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为

4、()A.1)|B.(i,|)C.;,|D.(i,|)二、单空题(本大题共4 小题，共 2 0.0 分)1 3 .若以曲线y =f(x)上的任意一点M(x,y)为切点作切线3 曲线上总存在异于M的点N(/,y i),使得过点N可以作切线人，且/，则称曲线y =/(x)具 有“可平行性”.下面有四条曲线：y =x3 x y=x +：y -sinx y =(%2)2+Inx其 中 具 有 可 平 行 性 的 曲 线 为.(写出所有满足条件的曲线编号)1 4.将函数/(x)=2 s i n(2 x-朝 向左平移汐单位后得函数以 办 则自在 0,勺上的最大值是15 .如图是正方体的平面展开图，那么在这个

5、正方体中，异面直线2 8 与C D所 成 的 角 的 大 小 是 .11 116.数列 g 满足%=1,且对任意的正整数7 7 1,7 1都有Q m+n =/n +册+m r i 9则二十元-最:+1a2014三、解答题(本大题共7小题，共 8 2.0分)17 .股票市场的前身是起源于1602 年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖,而正规的股票市场最早出现在美国.2 017 年2 月2 6号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心.最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财J 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：(1)投资股市:投资结果

6、获利不赔不赚亏损概率121838(2)购买基金:投资结果获利不赔不赚亏损概率P13q(I)当)=凯寸，求q 的值；(n)已 知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；(DI)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率.18 .已知数列 an 是等比数列，首项的=1,公比q 0,其前n 项和为Sn,且S1+a,S3+a3,S2+a2成等差数列.(1)求数列。工的通项公式；(2)若数列%、%满 足 =。92 与+1，且 砥 0=1，令为数列%的前n 项和，若/2m恒成立，求z n 的最大

7、值.19.如图，在三棱柱4 B C-4&C 1中，CG I平面A B C,D,E,F分别为A C】，B B i的中点，A B=BC=V 5-A C=A At=2.(1)求证：A C L E F；(2)求二面角8 -C D-G的余弦值.20 .已知函数/(X)=a?/+ax -Z n x(1)当。=1时，求函数/(x)的单调区间；(n)5(x)=a2x2-/(x),且函数g(x)在点x =1处的切线为2,直线/，且?在y轴上的截距为1,求证：无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线厂的下方；(D I)已知点A(l,g(l),QQo.gOo)，且当配 1时，直线QA的斜率恒小于2,求实数a的取

8、值范围.21.已知抛物线y2=2px(p 0)上一点P(3,t)到其焦点的距离为4.(1)求p的值；(2)过点Q(L 0)作 两 条 直 线。与抛物线分别交于点4、B和C、。，点M,N分别是线段4B和C D的中点，设直线，1，12的斜率分别为K，f c2,若七+七=3,求证：直线M N过定点.22.在平面直角坐标系x Oy中，已知圆G的参数方程为为参数)，点P是圆Q上的动点，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点。为中心，将P点逆时针旋转9 0。得到点Q,设点Q的轨迹为曲线(I )求圆G和曲线C 2的极坐标方程；(I I)射线。=黄。0)与圆G和 曲 线 分 别 交 于4，

9、B两点(4B异于坐标原点0),求 4B G的面积.23 .(1)已知14 mW 4,2 n a-久2+2%恒成立，求a的取值范围.参考答案及解析1.答案：A解析：由4与B求出并集即可.本题考查了并集及其运算，以及数形结合思想，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，是基础题:集合2=%|-1%1,B=x|0 x 3,A U B=x|1 x 其中。为下与4+3的夹角，当 国HO时，.1|c|=|a+Z?|cos0=V2cos0cosO 6-1,1|角的最大值是鱼.故选民6.答案：A解析：解：根据题意，/。)=匕 需 竺=号 空，其定义域为x|x羊0,ex有/(一为=-(表 空)=-/。)，即函数/(%

10、)为奇函数，排除c、D；在区间(0,方上，C0S2X 0,ex-0,则有f(x)0,函数f(x)的图象在x轴上方：排除8,故选：A.根据题意，由函数的解析式分析可得函数f(x)为奇函数，排除C、D;进而可得在区间(0,5)上，有/(%)0,函 数 的 图 象 在x轴上方；排除8,即可得答案.本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性以及函数值的符号，利用排除法分析，属于基础题.7.答案：D解析:本题考查的是线性规划问题.在解答此类问题时，首先根据线性约束条件画出可行域，再根据可行域分析问题.同时在本题中的目标函数充分与几何意义联合考查，规律强易出错值得同学们反思总结.可先画出可行域再根据可行

11、域的位置看可行域当中的点什么时候与原点的距离最远什么时候与原点的距离最近，最后注意此题求解的是距离的平方的范围，进而得到最终答案.解：由题意可知，线性约束条件对应的可行域如下,由图可知原点到4(1,2)的距离最远为：V5.原点到直线2x+y-2 =0的距离为：专=W，又:/+y2代 表 的 是 原 点 至 点 距 离 的 平 方,故K +必 的 范 围 是&5.故选。.8.答案：B解析：解：i=1,S=1.运行第一次，S=1+lg|=1-0,i =3,不成立；运行第二次，S=1 +lg+lg|=1-应5 0,i=5,不成立；运行第三次，5=1+恒1+坨|+但：=1-匈70,i=7,不成立;运行

12、第四次，S=1 +lg+Igg+lg：+lg：=1-应9 0,i=9,不成立;运行第五次，S=1 +lg|+lg|+lg|+lg|+Ig-=1 -Igll 7。=1,0 0.76 0.7 =1,l og60.7 a c.故选：B利用指数函数和对数函数的单调性即可比较出大小.本题考查了指数函数，对数函数的单调性，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键.10.答 案:c解析：解：因为Q =2,2csinA =3cosC=-acosC,由正弦定理可得：2sinCsinA =-sinA cosC,因为H 0,所以 2s i n C =|cosC,可得：4sinC=3cosC 0,又 s i n

13、 2c+co s 2c=1,可得，cosC sinC=I，A B C 的面积为 3=absinC=当，b=5,则由余弦定理可得，0),令2x -4 +：=a,则有2/(4 +a)x +1=0,当=0 时解唯一,不符合题意，故答案为：.根据导数的几何意义，将定义转化为：方程y =a(a 是导数值)至少有两个根，利用：/=-1时，x 的取值唯一判断不符合；对于和分别求出导数列出方程化简后判断；对于求出导数化简后，再由=()时解唯一判断不符合.本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想.14 .答案：V 3解析：解：将函

14、数f(x)=2s i n(2x-g)向左平移2个单位后，O O得函数9。)=2sin(2x+7 -7)=2s i n(2x +)的图象,O O O在 0,勺 上，2X +建 白 丁故当2x +*沏，函数g(x)取得最小值为1；当2 x +“=g 时，函数g(x)取得最大值为我.故答案为：V 3.由题意利用函数y =A sin(a)x+3)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出g(x)在 0*上的最大值.本题主要考查函数y =4 s t n(3 x +9)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题.1 5 .答案:6 0 解析：解：把展开图恢复到原正方体

15、.连接DE,EC.由正方体可得4 E 平行且等于B D,.四边形4 B 0 E 是平行四边形，二A B/ED.NC DE或其补角是异面直线4 B 与C D 所成的角.由正方体可得：CD=DE=EC,C DE是等边三角形，二NC DE=6 0 .异面直线4 B 与C D所成的角是6 0。.故答案为6 0。.把展开图正确恢复到原正方体.利用正方体的性质、异面直线所成的角的定义、等边三角形的性质即可得出.把展开图正确恢复到原正方体.熟练掌握正方体的性质、异面直线所成的角的定义、等边三角形的性质是解题的关键.1 6.答案：黑解析：解：令m=l,得an+i =%+a n +兀=1 +即+律，*,。九=n

16、 +1，用叠加法：Qn=+(。2 -。1)+(Qn-an-l)d o.n(n+l)=1 +2 +几=-,2二=一=2(工一二-),an n(n+l)八 n+l71.1.,1 .1-1-F d-1-a2013a2014=2(1-1 +|-1 +短 一 短）2（1-嘉）4 0 2 82 0 1 5故答案为：葬令m=l,得 限1一5=71+1,用叠加法求出力=公 莉=2（；-），由此利用裂项求和法能求Uji 71171 十 L j T l TI T X11 1 1出丁+丁-n-n-的值.al a2 a2013 a2014本题考查数列的前2 0 1 4项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求

17、和法的合理运用.1 7.答案：解：（I）因 为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,所以p +：+q =l,又因为p =；,所以q=；.o Z o（H）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得q j，O因为 P+：+q =1.所以q=|-p5，又因为p+：+q=l,q 0,所以p W|,所以3 V P工/q o(HI)记事件4为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a,b,c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x,y,z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张

18、师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有3 X 3=9种，它们是:(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z),(c,y),(c,z),所以事件4的结果有5种,它们是：(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(c,x).因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率P(4)=(.解 析:(I)由已知得p+；+q=1,p=k由此能求出q=g(H)由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得q 0,能求出p的取值范围.(HI)记事件4为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a,b,c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“

19、亏损”，用x,y,z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，由此利用列举法能求出这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率.本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式、列举法的合理运用.18.答案:解：(l)：Si+ai，S3+CI3,S?+a2成等差数列，二 2(S3+q2=公比q 0,解得q=1.(2)数列 bn、7 满 足 悬=-log2an+1=n,bn=n(n+2).bn-cn=1,，n n(n+2)2n+2 数列 7 的前n项和4=+G +(E 言+G+)1 Tn m恒成立，m +2).由于“-cn=1,可得。=而%=；

20、一聂).再利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出.本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.答案：解：(1)证明：取4 c中点。，连结。B,0E,f G在三棱柱A B C-A i G C i中,CC 平面力BC,四边形A 1 4 C G为矩形,0,E分别为AC,4 1 G的中点,A C 1 OE,一 一X 力A B=BC,丫A C 1 OB,C Q J平面4 BC,:.CCi 1 OB,O E/C G，,OE 1 OB,以。为原点，。4为x轴，。8为y轴，0 E为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得4(1,0,0),B(0,2

21、,0),C(-l,0,0),(1,0,1).F(0,0,2),F(0,2,l)，AC=(-2,0,0)，T =(0,2,-1)，X C-F F =0A C 1 E F，A C 1 E F.(2)解:由(1)得 而=(2,0,1),CB=(1,2,0).设平面BCD的法向量为元=(a,4 c),则?竺=2a+c=0,取a=2,得记=(2,1,一4),平面CDQ的法向量而=(0,2,0),cos=x-2 1:-2,=2 1)由图得二面角B-C D-G的平面角为钝角，二面角B-C D-Ci的余弦值为一膏.解析：(1)取4c中点。，连结OB,0 E,推导出四边形为ACG为矩形，AC 1 OE,AC 1

22、 OB,C J 1 OB,OE L O B,以。为原点，。4为x轴，0B为y轴，0E为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC 1 EF.(2)求出平面BCD的法向量和平面COG的法向量，利用向量法能求出二面角8-C D-C1的余弦值.本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.答案：(/)解：Q=1时，/(%)=%2+%Inx,(=2ax+-；(x+*x-i)(X o).%,/(久)与r(x)的变化情况如下:X1(0,2)121(于+8)0+/(X)7因此，函数/(X)的单调递增区间为G，+8),

23、单调递减区间为(0,6()证明：g(x)=a?f(x)=仇 ax,g(x)=：-a,所以 g(l)=1-a,所以，的斜率品=1 -a.因为。，且 在y轴上的截距为1,所以直线I的方程为y=(l-a)x +l,令九(%)=g(%)(1 a)x+1=Inx%l(x 0),则无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线，的下方可化为：九(x)0),而(X)=：-1=?，当x e (0,1)时，h(x)0,当x e(l,+8)时，h(x)0,所 以 函 数 的(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，从而当久=1时，h(x)取得极大值九(1)=-2,即在(0,+8)上，/i(x)取得最大值九(1

24、)=-2,所以九(无)-2 0),因此，无论a 取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线厂 的下方;(/)因为Q(x0Jn x0-a x0)所以AQA=lnxQ-ax0+a _ lnxQx0-l x0-la,所以当&1 时，冷 一 a 2,即 o (a +2)(x0-1)1),则/(%)=i -(a +2),因为 1,所以0 V三V 1.X当a 2时,a +2 0,所以r(%)在(1,+8)上单调递增，有r(%)r(l)=0不满足题意；(i i)当一2 V a -1时，0 a +2 0,当x e (京，+8)时，r (x)r(l)=0不满足题意；(山)当a 2 1时，a+2 1,此时r，(x)0

25、,所以r(x)在(1,+8)上单调递减，r(x)r(l)=0,满足题意.综上可得a 2 1,故所求实数a 的取值范围是 1,+8).解析：(/)先求导并化简，从而由导数的正负列表确定函数的单调性及单调区间即可;()化简函数g(x)=a2x2-/(x)=Inx-ax,再求导g(x)=：-a,从而得到直线l 的斜率/Q=1-a,再由，7，且，在y 轴上的截距为1 写出直线，的方程y =(1-a)x+1,再令九(x)=g(x)-(1 -a)x+1 并化简，从而可把无论a 取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线厂 的下方化为h(x)0)恒成立，再求导求函数的最大值即可证明；(/)化筒4(l,a),Q(

26、出 n x o-a&),从而写出直线Q4 的斜率.=华 芳 蛆=舞 一 a,从而可X0-1 X 0-J.化恒成立问题为加%o 一(Q+2)(x0-1)1),求导r(x)=；-(a +2)，再讨论以确定r(x)的最大值情况即可求出实数a 的取值范围.本题考查了导数的综合应用、函数的性质应用及直线的斜率的求法，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于难题.2 1.答案：解：抛物线y 2 =2 px 的焦点为名,0),准线为x =*,由抛物线的定义可得，3+=4,解得p=2；(2)证明：由题意知，卜 1 +卜2 =3,不妨设4 B 的斜率七=k,贝 I C C 的斜率心=3-%所以Z B 的直

27、线方程是：y =k(x-l),C D 的直线方程是y =(3 k)(x-l),如(孙力),B(x2,y2)由得,fc2x2-(2/c2+4)%+fc2=0,则%+%2 =2 XX2=1，所以%+丫 2 =做%1 -1)+左(%2 -1)=k(2+劫-2k=三,因为M是4 8 的中点，所以点M(l+高,：)，2 7同理可得，点N(1+E，口)，2 _ _ 2_所以直线MN的方程是：y -=/耳。一1 一亮)，R i(3 T)2化简得，y=(J 0)的距离，再由极径差求得|4 B|,代入三角形面积公式求A/lBCi的面积.本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及其应用、三角形面积计算公式，考查了推理

28、能力与计算能力，属于中档题.23.答案：解：(l)：lW m W 4,-2 n 3,二由不等式的可加性，得一l m +n 7.当0 n 3时，可得0 mn 12.当一 2 71 0 时，有 0 一九 2,得0 mn V 8,即一 8 mn 0.8 mn a x2+2%恒成立，得Q x2 2x+|x 4-2|+|x-1|恒成立,即X2-4 x-l,x -2x2 2 x+3,-2 x 1当x 一 2 时，(/-4 x+l)m in=1 1；当一2 x 1 时，x2-2 x+3 6 (2,1 1)；当x 2 1 时，(/+l)m in=2.a 2.解析：(1)直接利用基本不等式的性质求得m+n,n m 的取值范围；7-4%1,%2%2-2 x+3,-2 c x 1函数的最小值后得答案.本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用分类讨论求二次函数的最值，是中档题.