2021年九年级数学中考二轮复习数学建模思想《正方形中三垂直关系构建全等三角形》突破训练（附答案）.pdf

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1、20 21年九年级数学中考二轮复习数学建模思想 正方形中三垂直关系构建全等三角形专题突破训练（附答案）1.如图，在正方形A B C D中，点 E 在 4 B 边上，A F1 应 于 点 G,交于点F 若 A =15 ,B E =5,则 的 面 积 与 四 边 形 5FGE的面积之比是（）2.如图，四边形AF D C是正方形，NC E4 和 NA 8F都是直角，且 E,A,B 三点共线，A 8 =4,3.如图，将正方形。A8 C放在平面直角坐标系中，。是原点，A 的坐标为（1,6），则点C4.如图，正方形A 8 C。的边长为3,点 E在 A 8上，点 F在 5c的延长线上，且 A E=CF,则四

2、边形 防。的面积为：.DBC5.正方形ABC。在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点的坐标（0,4）,B点的坐标（-3,0）,则点D的 坐 标 是.6.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BGJLAE于G,延长BG至点F使N CFB=4 5,延长FC、AE交于点M,连接DF、B M,若C为FM中点，BM=5,则FD的长为.7.如图，平面直角坐标系中有一正方形。钻C,点。的坐标为（一2,1）点B坐标为8.如图，点A,B,E在同一条直线上，正方形ABCD,8EFG的边长分别为2,3,，为线段DF的中点，则8H=.G9.如图，直线/l/2/3,正方形A8C 0的三个顶点A、8、C分别在

3、/1、匕、/3上，/1、/2之间的距离是3,匕、/3之间的距离是4,则正方形ABCD的面积为10.如图，边长一定的正方形ABCD,Q为CD上一个动点，A Q交BD于点M,过M作M NXAQ交BC于点N,作NPJLBD于点P,连接N Q,下列结论：AM=MN；M P=J BD；BN+D Q=NQ；A+B N为定值血.一定成立的是_BM11.如图，在A B C中，Z A C B=9 0，AC=8,B C=7,以斜边A B为边向外作正方形ABDE,连接C E,则CE的长为12.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把 ADE绕点A顺时针旋转到 ABF的位置，接EF.(1)求证：A A E F是等

4、腰直角三角形；(2)若四边形AECF的面积为25,D E=2,求AE的长.13.(1)如图1,正方形ABCD 中，E 为边C D 上一点，连接A E,过点A 作 AF J _AE 交 C B 的延长线于F,猜想A E 与 A F 的数量关系，并说明理由;(2)如图2,在(1)的条件下，连接A C,过点A 作 AM_L AC交 C B 的延长线于M,观察并猜想CE 与 M F的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中N A=N C=9 0。，AB=AD.王师傅想切一刀后把它拼成正方形.请你帮王师傅在图3 中画出剪拼的示意图.14.(1)如图1,正方形ABC。中，

5、点 P为线段8 c 上一个动点，若线段M N垂直A P于点E,交线段A B 于 点 交 线 段 C。于点N,证明：A P=M N；(2)如图2,正方形A 8 CD 中，点 P为线段BC上一动点，若线段M N垂直平分线段A P,分别交 AB,A P,B D,D C 于点 M,E,F,N.求证：E F=ME+F N；(3)若正方形ABCD 的边长为2,求线段E F 的最大值与最小值.图1图215.如图1,已知正方形ABC。和正方形C E G F,点E C,B在同一直线上，连接3 E,D F，O F与E G相交于点(1)求证：B E=F D.(2)如图2,N是8 c边上的一点，连接A N交 班 于

6、点“，且 空 =9”.B C G E 求证：B N =E C ；若 C E =2 D E,直接写出空的值.A B16.探究证明：(1)如 图1,正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD ,A M B N.求证：BN=AM；(2)如图2,矩形ABCD中，点M在BC上，EF_LAM,EF分别交AB、CD于点E、F.求证:E F B C而 一 茄(3)如图 3,四边形 ABCD 中，NABC=90,AB=AD=10,BC=CD=5,A M D N,点 M、N 分DN别在边BC、A B上，求的值.AM17.如 图 ，已知 ABC是等腰直角三角形，N BAC=90。，点 D 是 BC的中点.作正方形

7、D EFG,使点A、C 分别在DG和 DE上，连接AE,BG.(1)试猜想线段BG和 A E的关系(直接写出答案，不用证明)；(2)将正方形DEFG绕 点 D 逆时针方向旋转a(0。或60。)，判 断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论；(3)若 B C=D E=4,当 a 等于多少度时，A E最大？并求出此时A F的值.图18.如图，四边形ABCD是正方形，G 是 BC上任意一点，DE_LAG于点E,BFII D E,且交AG于 点 F.(1)求证：A A D E 刍B 4 F；(2)求证：DE-BF=EF；(3)若 AB=2,BG=1,求线段EF的长.19.四边形ABC。是边长

8、为2 的正方形，点 加 在 边 A O 所在的直线上，连接C M,以A/为直角顶点在C M右侧作等腰R t D C M N ，连接BN.(1)如图1,当点M 在点A 左侧，且 A B、N 三点共线时，B N=(2)如图2,当点/在点A 右侧，且 AM=*时，求 8 N 的长：2(3)若点M 在 边 所 在 直 线 上，且 BN=J 诟，求 A M 的长.20.在正方形A 8C D 中，点G 是边0 c 上的一点，点尸是直线8 C 上一动点，F E 1 A G于“，交直线A O 于点E.(1)当点/运动到与点3 重合时(如图1),线 段 即 与 A G的 数 量 关 系 是.(2)若点尸运动到如

9、图2 所示的位置时，(1)探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由.(3)如图3,将边长为6 的正方形A B C O 折叠，使得点A落 在 边 的 中 点 M 处，折痕为P Q,点、P、。分别在边A。、8 C上，请直接写出折痕PQ的长.21.如图，在正方形A B C D 中，点 E,F 分别在边A B,B C 上，A F 与 D E 相交于点M,且N B A F=Z A D E.(1)如图1,求 证:A F X D E；(2)如图2,A C 与 B D 相交于点O,A C 交 D E 于点G,B D 交 A F 于点H,连接G H,试探究直线GH与 A B 的位置关系，

10、并说明理由；(3)在(1)(2)的基础上，若 A F 平分N B A C,且U B D E 的面积为4+2夜，求正方形A B C D的面积.22.如 图 1,正方形A 8C D 中，点。是对角线A C 的中点，点 P是线段47上(不 与 点 4 0重合)的一个动点，过点P作 P E _ L P 8且 P E 交边C D 于点E.DD图1 图2(1)求证：PE=PB；(2)如图2,若正方形ABCD的边长为2,过点E作FJ_AC于点F,在 点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；(3)用等式表示线段PC,PA,CE之间的数量关系.23.平面直角坐标

11、系中，四边形0ABe是正方形，点A,C在坐标轴上，点B(6,6),P是射线0B上一点，将口A O P绕点A顺时针旋转90。，得ABQ,Q是点P旋转后的对应点.(1)如 图(1)当0P=2及 时,求点Q的坐标；(2)如 图(2),设点P(x,y)(0 x 6),口A P Q的面积为S.求S与的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；(3)当BP+BQ=8 7 2时，求点Q的坐标(直接写出结果即可)24.综合与实践情景再现我们动手操作：把正方形ABCD,从对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰三角形与正方形ABC。重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而

12、生.如图把正方形A8CD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形4 A C D和4 B C E,图 图（1）问题呈现我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图所示 点P是一动点，若AB=3,PA=1,当点P位于_时，线段P8的值最小；若A8=3,PA=5,当点P位于一时，线段PB有最大值.P B的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是.直接写出线段AE与0B的关系是.（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图所示，点E在直线8 c上，F M1.C D交直线C D于M.当 点E在8 c上时，通过观察、思考易证：A D MF+C E；当 点 在BC的延长线时，如图所示；当点E在CB的延

13、长线上时，如图所示，线段AD、M F、CE具有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图或图证明你的猜想.AD MB E c图 图问题拓展（3）连接E M,当SEMF=8,A F：.ZAGE=NDG4=90。ZEAG+ZAEG=ZEDA+ZAEG：.Z EAG=N EDA,：.AED&8以(ASA)；S.ABF=S4DAE；S ABF S AEG s DAE S AEG，即 AG D=S四 边 形EG FB；Z EAG=N ED A/AGE=N 0GA=90。，A AEG-DAG；.4=(空)2=(AE 2 9 2=2,S UnAAkCj AD AE+EB 15+5 169 Z V IE G的面积

14、与四边形班G E的面积之比是;16故 选D.2.C解：四边形AFDC是正方形/.AC=AF,Z FAC=90/.Z CAE+Z FAB=90又 ,Z CAE+Z ACE=90Z ACE=Z FAB又 Z CEA=Z FBA=90/.AEC2 FBA/.AB=EC=4 图中阴影部分的面积=,x 4 x 4=8故选C23.解：如图作AFJ_x轴于F,CEJ_x轴于E./.OA=OCf N 4O C=90,/Z COE+N AOF=9Qf Z 40F+N OAF=9Q09Z COE=N OAF,在4。和4 OAF中，NCEO=NAFO NCOE=ZOAF,OC=OA：.A COE A OAF,:.C

15、E=OF,OE=AF,：A（1,百）,CE=OF1,O E=A F=6,.点C 坐 标 卜 百,1),故答案为：(-A i).4.9解：,四边形ABCD是正方形，A D =D C,ZA =N D C F =90。,A E C F,A D A E D C F(S A S),四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积=3?=9.故答案是9.5.(4,1).解：如图，过点。作。E_Ly轴于E,Z 8A0+N DAE=N ADE+Z.DAE=90,Z BAO=Z.ADE,在AAB。和DAE中，ZB A O=ZA D E NA OB =ZD E A =90,A B A DABO DAE(AAS),AE=

16、OB,DE=OA,.A (0,4),B(-3,0),0/4=4,0 8=3,1 OE=4-3=1,.点。的坐标为(4,1).6.6解：如图，过C点作CHJLBF于H点，过B点作B K LC M于K,过D作DQJLMF交M F延长线于Q.Z CFB=45CH=HF,/Z ABG+Z BAG=90,Z FBE+Z ABG=90,Z BAG=N FBE,/AGBF,CHBF,/.Z AG B=Z BHC=90,在 AGBOA BHC 中，N AGB=N BHC,Z BAG=Z HBC,AB=BC,AGBM BHC(AAS),AG=BH,BG=CH,/BH=BG+GH,BH=HF+GH=FG,AG=F

17、G；V CHGF,CH II GM,C为F M的中点，1 CH=GM,21 BG=GM,2 BM=5,B G=B G M =2 亚,：.AG=2V5.AB=5,HF=GCF=0 6 =屈,CM=Vio-i i V ioCK=C M=CF=,2 2 2-RC2在 BKCflA CQD 中，；N CBK=N DCQ,Z BKC=N CQD=90,BC=CD,BKC复 CQD(AAS),“c”3V10.C Q=B K=-,2DQ=CK=2 ,2.er e C P-3 屈/7 7 7.V io,QF CQ CF-/i(_)-,2 2D Q=Q F=,2D F=X 五-y/.2故答案为J i.7.(-3

18、,1)解：如图，过点A作轴于O,过点C作CE_Lx轴，过点B作3尸_LCE交CE的延长线于尸.OE=2,CE=1.四边形6MBe是正方形，OA-0C=BC-易求 ZAOD=ZCOE=ZBCF.又ZODA=ZOEC=NF=90MODACOEABCF,.AD=C=3尸=1,OD=OE=CF=2,.点 A 的坐标为(T,2),EF=2T =1，点8到 轴的距离为1 +2=3,点B的坐标为(3,1).故答案为：（一3,1）8V262解：延长DC交FE于点M,连接8D、BF,GDM=5f M F=lf Z DMF=9Qf DF=J52+2=.726，8。、8F分别是正方形A8CD,8EFG的对角线,Z

19、DBC=Z GBF=90,Z D8F=90,DBF是直角三角形，.点 H 为 OF的中点，.BH=?D F=皿，故答案为：1 6.2 2 29.25解：过点4 作 4 E L 2,过点C作 CFLz,Z CBF+N BCF=90,四边形48C。是正方形,AB=BC=CD=ADf/.Z DA8=N 4BC=Z BCD=N CDA=90t：.Z ABE+N CBF=90,Z ABE=Z.8CF,在AABE和4 8CF中,ZAEB=ZBFC NABE=NBCF,AB=BC ABE空 BCF(AAS)BF=AE,/ill/2II 13,且/、/2之间的距离是3,h、/3之间的距离是4,BF=AE=3,

20、CF=4,BF2+CF2=BC2,BC2=42+32=25.故答案为：25.1 0.解：如图1,连接AC、AN,AC交 BD于点H,四边形ABCD是正方形，ACBD,AC=BD,AH=CH,N DBC=N ABD=45,/Z AMN=N ABC=90,A A,B,N,M 四点共圆，/.Z NAM=Z DBC=45,N ANM=N ABD=45,/.Z ANM=Z NAM=45,.AM=M N,故正确；,/Z MAH+Z AMH=90,Z PMN+Z AMH=90,Z HAM=N PMN,/Z AHM=Z MPN=90,AM=MN,RtA AHM些 RtA MPN(AAS),M P=A H=；A

21、 C=B D,故正确；如图2,将AADQ绕点A顺时针旋转90。至A A B R,使AD和AB重合，连接AN,则 AR=AQ,Z BAR=Z DAQ,Z ABR=Z ADQ=90,.I R、B、N三点在同一直线上，Z BAN+Z QAD=N NAQ=45,Z RANN QAN=45,又：AN=AN,RAN合 QAN(SAS),J.RN=QN,即 BN+D Q=N Q,故正确；如图3,作MS_LAB,垂足为S,作M W _LBC,垂足为W,；点、M是对角线BD上的点，四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW,Z AMN=Z SMW=90,Z AMS=Z NMW,又；Z ASM=Z NWM=

22、90,A AMS合 NMW(ASA),AS=NW,AB+BN=SB+BW=2BW,BW：BM=1：6 ,AB+BN 2/T-二一 RM=F =母,故正确。DM yj 2故答案为：.图311.17解：过E作EFJ_ A C,交C A的延长线于F,四边形ABDE为正方形，Z BAE=90,AE=AB,Z EAF+z AEF=90,Z EAF+z BAC=90,Z AEF=Z BAC,在4 AEF和 BAC中，ZF=ZACB=90/52+22=7 2 9 -13.(1)AE=AF,理由；(2)C E=M F,理由；(3)如图所示.解：(1)AE=AF.理由：,四边形ABCD是正方形，Z ABF=N

23、ADE=90,AB=AD.Z BAF+Z BAE=90,Z DAE+Z BAE=90,Z BAF=Z DAE.在4 ABF和 ADE中ZBAF=ZDAE AB=AD,ZABF=NADE ABF空 ADE(ASA)AE=AF；(2)CE=MF.理由：ABFM ADE,Z BAF=Z DAE,/.Z ABF+Z FAB=Z ADE+Z DAE,即N AFM=Z AEC.,/Z MAF+Z FAC=90,Z EAC+Z FAC=90,Z MAF=Z EAC,在A AM F和 ACE中ZAFM=NAEC AF=AE,ZMAF=ZEAC AMF空 A ACE(ASA),/.CE=MF.如图所示.过A作A

24、E_LBC交BC于E,由于AB二A D,所以可以把 ABE切下，拼到 ADF的位置,/Z C=Z BAD=90,Z B+Z ADC=180,/.Z ADF+Z ADC=180,A C,D、F 共线，,/AE=AF,Z AEC=Z ECF=Z AFC=90,四边形AECF是正方形.14.(1)；(2)；(3)EF 最大值：y/2，EF 最小值：1解：(1)如图1,过B点作8Hli M N交CD于H,则八P_L8H,BMW NH,二 四边形MBHN为平行四边形，M N=BH,四边形48C。是正方形./.AB=BCf Z A 8P=90=N C,Z CBH+N ABH=N BAP+N ABH=90,

25、/.Z BAP=Z.CBH,/.ABP BCH(ASA),BH=AP,/.M N=A P；图1图2(2)如图2,连接以，FP,FC.正方形48C。是轴对称图形，F为对角线8D上一点,/.FA=FC,又FE垂直平分AP,：.FA=FP,/.FP=FCf/.Z FPC=N FCP,/Z FAB=4 FCP,Z FAB=Z.FPC,/.Z FAB+N FPB=180,Z ABC+Z AFP=180 f.N P=9 0,1.FE=AP,2由(1)知，AP=MN,MN=ME+EF+FN=AP=2EF,EF=ME+FN；(3)由(2)有，EF=ME+FN,/MN=EF+ME+NF,11 EF=MN,2.4

26、C,B。是正方形的对角线，B D=2y/2，当点P和点8重合时，EF最 小 值=!乂2=!4 8=1,2 2当点P和C重合时，EF最大值=g MN=g B D=也.15.(1)；(2)；(2)=A B 3解：(1)四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，BC=CD=AB,CE=CF,Z BCE=N DCF=90A BCE2 A DCF(SAS),BE=FD；(2),四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，.CD/GE,GF=ECDDEM J2 F G M,G M G F E CE MD E D EG M E CE G D C ,_B_N_ _G_M_B C G EB N E C*_ _ _B

27、C D C BC=CDB N=E CC E =2 D E2C E =-D C3 B N=E CB N _ 2D C 3：AB=CD.B N _2,A B -3416.(1)；(2)；(3)(1)证明.四边形ABCD是矩形，Z ABC=Z C=90Z NBA+Z NBC=90.A M X B N,Z MAB+Z NBA=90,Z NBC=N MAB,BCN-ABM,BN BCAM AB(2)结论:EF BCAM-AB理由：如图2中，过 点B作BGEF交CD于G,图211四边形ABCD是矩形,ABH CD,四边形BEFG是平行四边形,BG=EF.EFAM,BG AM,Z GBA+Z MAB=90.

28、Z ABC=Z C=90,Z GBC+Z GBA=90,Z MAB=Z GBC,:&GBC MAB,BG BC AM-AB EF BC(3)过点D作平行于A B的直线交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,连接A C,则四边形ABSR是平行四边形.,/Z ABC=90,二 四边形ABSR是矩形,/.Z R=Z S=90,RS=AB=10,AR=BS./AM D N,由（2）中结论可得:DNAMBSAB,/AB=AD,CB=CD,AC=AC,ACDM ACB,Z ADC=Z ABC=90,Z SDC+Z RDA=90.,/Z RAD+Z RDA=90,Z RAD=Z SDC,RAD S

29、DC,.CD SCADRD,设 SC=x,5 _ xWRDRD=2x,DS=10-2x,在 RtA CSD 中,-：CD2=D S2+SC2，52=（10-2x）2+x2,.x=3 或 5（舍弃），BS=5+x=8,.DN _B S _ 8 AM-AB-TO?17.（1）BG=AE,B G A E,见解析；（2）结论成立，BG=AE,B G A E,见解析；（3）当 a为 270。时，AE 最大，A F=2V 13解：（1）结论：BG=AE,BGAE.理由：如图1,延长EA交BG于K.ABC是等腰直角三角形，Z BAC=90。，点D是BC的中点,ADBC,BD=CD,Z AD B=Z ADC=

30、90.四边形DEFG是正方形，DE=DG.在A BDG和 ADE中，BD=AD NBDG=ZADE,GD=EDA BDG合 ADE(SAS),/.BG=AE,Z BGD=N AED,Z G AK=Z DAE,Z AKG=Z ADE=90,EABG.(2)结论成立，BG=AE,BGAE.在RtA BAC中，D为斜边BC中点,AD=BD,ADBC,Z ADG+Z GDB=90.四边形EFGD为正方形，二 DE=D G,月.ZGDE=90,Z ADG+Z ADE=90,.Z BDG=Z ADE.在 BDG和 AD E中，BD=AD A/=x-2,NE=EF-FN=4-x,BE=AF=AM+MF=x+

31、2,在RtMEN 中,（x+2+（4-x）2=2 6整理得：X2-2X-3 =0解得：玉=3,%2=一 舍去），AM=3；点M在线段AD上，过M作E F IIA B,过N作NE_LEF于E,延长BA交NE延长线于H,如图所示:同理可得：MF=CD=2,HE=AM=BF,BH=EF,同理可证得RtA EMN三RtA FCM,EN=MF=2,FM=FC,设A A/=x,则=FC=BC-BF=2 x,NH=EN+EH=x+2,BH=EF=EM+MF=4x,在 RfABHN 中,(x+2+(4%y=2 6,解得：玉=3(舍去)，=-1(舍去)，综上所述A M的值为1或3.20.(1)EF=AG；(2)

32、成立；(3)3不解：(1)，.,四边形ABCD是正方形，Z BAE=Z ADG=90,AB=AD,Z ABE+Z AEB=90,/EFAG,Z AEB+Z DAG=90,Z ABE=Z DAG,ABE合 DAG(ASA),/.EF=BE=AG；(2)成立，理由是：过 点F作F M L A E,垂足为M,四边形ABCD是正方形，/.Z BAE=Z ADG=90,AD=CD,MF=CD=AD,Z EMF=90,.Z E+Z EFM=90,EFAH,Z HAE+Z E=90,Z HAE=Z EFM,ADGM FME(ASA),/.EF=AG；(3)如图，过点Q作QH_LAD于H,则四边形ABQH中，

33、HQ=AB,由翻折变换的性质得PQ-LAM,Z APQ+Z DAM=90,Z AMD+Z DAM=90,Z APQ=N AMD,四边形ABCD是正方形，AD=AB,HQ=AD,在4 ADM和4 QHP中，-NQHP=NDJE =N JED+Z JDE,Z 正D=N JDE=22.5,EJ=DJ=5/2 a,7 AB=AD=a+&a,AE=AJ,*.BE=DJ=y/2 a,4 SA BDE=4+2 y/2，g x血 ax(a+/2 a)=4+2近，解得a2=4,.a=2或-2 (舍弃),*.AD=2+2 y/2,，.正方形ABCD的面积=12+8&.22.(1)；(2)在 P 点运动的过程中，P

34、F的长度不发生变化.PF的长为定值血；(3)P C=P A +垃E C,理由.(1)证明：如图，过点P 作 M/VII4D,交AB于点M,交CD于点、N.PB 上 PE,/.Z BPE=90,/.Z MPB+N EPN=90.四边形48C。是正方形，Z BAD=Z D=90.1/ADW MN,Z BMP=N BAD=4 PNE=N 0=90,Z MPB+N M8P=90,.Z EPN=A MBP.在 RtA PNC 中,Z PC/V=45,.p/vC是等腰直角三角形，/.PN=CN,：.BM=CN=PN,BMP PNE(ASA：，PB=PE.(2)解：在 P 点运动的过程中，PF的长度不发生变

35、化.,点。是正方形ABCD对角线AC的中点,OBA.AC,Z AOB=90,：.NAOB=N EFP=90,Z OBP+Z BP。=90.Z BPE=90,Z BPO+Z OPE=90,Z OBP=N OPE.由(1)得 PB=PE,OBP FPE(AAS),：.PF=OB.r AB=2,AB。是等腰直角三角形，二OB=2正=6.二PF的长为定值0.(3)解：PC=PA+亚EC.理由：如图 1,Z BAC=45,二 AMP是等腰直角三角形，PA=V2PM.由 知PM=NE,PA=&N E PCN是等腰直角三角形，PC=V2NC=V2(NE+EC)=V2NE+V2EC=PA+V2EC.23.(1

36、)Q(8,4)；(2)s=f -6 x+1 8,尸(3,3)；(3)0(13,-1).解：(1)如图1,过P点作PG_Lx轴于点G,过Q点作Q _Lx轴于点H四边形OABC是正方形ZAOB=45：8(6,6)OA-6在 心nOPG中，PG=OPd 5。=2&立=2,OG=PG=22AG=Q4 OG=41 OAOP绕点A顺时针旋转90得到 A8QAQ=AP,BQ=OP,NPAG=NBAQZAPG+NPAG=/QAH+NBAQ=90APG=ZQAHZAGP=NQHA=90在 APG 和 OQAH 中，NAPG=/Q A AP=QARAPG UQAH(AAS)AH=PG=2,QH=AG=4.OH O

37、A+AH=6+2=S则点Q的坐标为。(8,4)；(2)如图2,过P点作轴于点G UAOP绕点A顺时针旋转90得到 ABQAPAQ,ZPAQ90：P(x,y),NPOG=45OG=PG=x,x=yAG=Q4-OG=6-x在 放 A A P G 中，由勾股定理得：AP2=AG2+PG2=(6-X)2+X2整理得：AP2=2x2-12x4-36S=-1 A P AQ=-1A P92 =X,2-6X+8整理得：S=(x 3 +9,.,()%6由二次函数的性质可知，当0 x 3 时，S 随 x 的增大而减小；当3 x 6 时，S 随 x的增大而增大则当x=3 时，S 取得最小值，最小值为9此时y=x=3

38、故点P 的坐标为P(3,3)；(3)QAOP绕点A顺时针旋转90得到 ABQOP=BQ BP+BQ =8 65 P +OP=8夜四边形OABC是正方形，且边长OA=AB=6-1对角线 OB=7OA2+AB2=6V28A/2二 点 P 在 OB的延长线上 BP+O P=O P-O B +OP=2 O P-6 垃=8 五解得。2=7正:.B P =O P-O B =4 i如图3,过 P 点作轴于点G,过 Q 点作。轴于点H同(1)可得：OG=PG=O P =1,口APGMO2AH2QH AG=OG-OA=7 6=1,AH =PG=7:.OH=OA+AH=6+7=13则点Q的坐标为Q(13,-1).

39、24.(1)AB,BA延长线，最大值是8,最小值是2；(2)AE=BD,AE_LBD；(2)选 择 图 ,则AD+CE=MF.；(3)1 或 7.解：(1)AB；BA延长线；最大值是8,最小值是2；(2)AE=BD,AE_LB。；证明：如图，I,ACD和ABC E都是等腰直角三角形，ACDC,EC=BC,NACD=NBCE=90,N ACD+Z DCE=N DCE+N BCE,即：NACE=NDCB,ACE DCB,AE=BD,N AEC二N D,/N BFC+N DBC=90,/.NAEC+NEFD=90.AEBDA也A图BC,N BFC=N EFD,(2)答：选择图，贝IJAD+CE=M证

40、明：如图，作FG _L8E,交BE延长线于G,四边形A8C。是正方形，Z B=Z MCG=Z.G=90,AD=AB=BC,Z BAE+N AEB=90.AEF为等腰直角三角形，/.AE=EFf Z AEF=909/.Z AEB+N GEF=9QfZ BAE=N GEF,ABE EGF,/.AB=EGAB=BC,/.EG;BC,EG+CE=BC+CE,即：CG=BC+CE=AD+CE.,/Z G=N MCG=90,FM工CD,四边形CMFG为矩形，/.MF=CG,AD+CE=MF(3)/CG=BC+CE=FG,四边形 CMFG 为矩形,四边形CMFG为正方形，SW MF=8,*,-S正 方形 CMFG=16.FG=4V A F2=50,痛 为等腰直角三角形，/.EF=5,，在直角A E FG中，EG=3,Cf=CG-G=4-3=l 或 CE=CG+EG=4+3=7