大一高数复习资料83557资格考试教师资格考试资格考试教师资格考试.pdf

《大一高数复习资料83557资格考试教师资格考试资格考试教师资格考试.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大一高数复习资料83557资格考试教师资格考试资格考试教师资格考试.pdf（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限 第一节 函数 函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域）（）U a,x|x a U a,x|0 x a 第二节 数列的极限 数列极限的证明（）【题型示例】已知数列 xn ，证明 lim xn a x 【证明示例】N 语言 1由 xn a 化简得 n g，N g 2即对 0，N g，当 n N 时，始终有不等式 xn a 成立，lim xn a x 第三节 函数的极限 x x0 时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f x，证明 lim f x A x x0 【证明示例】语言 1由 f x A 化简得 0 x x0 g g 2即对 0

2、，g ，当 0 x x0 lim f x A x x 0 ，时，始终有不等式 f x A 成立，x 时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f x，证明 lim f x A x 【证明示例】X 语言 1由 f x A 化简得 x g，X g 2即对 0，X g，当 x X 时，始终有不等式 f x A 成立，lim f x A x 高等数学期末复习资料 第 1 页（共 1 页）第四节 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质（）函数 f x 无穷小 lim f x 0 函数 f x 无穷大 lim f x 无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设 f x 为有界函数，g x 为无穷小，则

3、 lim f x g x（定理四）在自变量的某个变化过程中，若 f x 为无穷大，则 小；反之，若 f x 为无穷小，且 f x 0，则 f 1 x 为无穷大【题型示例】计算：lim f x g x （或 x）x x0 0 f 1 x 为无穷 1 f x M 函数 f x 在 x x0 的任一去心邻域 U x0,内是有界的；（f x M，函数 f x 在 x D 上有界；）2 lim g x 0 即函数 g x 是 x x0 时的无穷小；x x0 （lim g x 0 即函数 g x 是 x 时的无穷小；）x 3由定理可知 lim f x g x 0 x x0 （lim f x g x 0）x

4、 第五节 极限运算法则 极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式 p x、q x 商式的极限运算 设：p x a0 xm a1 xm 1 am q x b0 xn b1xn 1 bn n m 则有 lim p x a0 n m x q x b0 n m 0 f x0 g x0 0 g x0 f x g x0 0,f x0 0 lim x x x0 g 0 g x0 f x0 0 0 高等数学期末复习资料 第 2 页（共 2 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明

5、证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 （特别地，当 f x 0（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可 lim x x0 g x 0 去间断点便可求解出极限值，也

6、可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值 lim x 3 x 3 x2 9 【求 解 示 例】解：因 为 x 3 ，从 而 可 得 x 3，所以原式 lim x 3 lim x 3 lim 1 1 x 2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6 其中 x 3 为函数 f x x 3 的可去间断点 x2 9 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0 x 3 解：lim x 3 0 lim 1 1 lim x 3 x2 9 L x 3 x 2 9 x 3 2x 6 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）（定理五）若函数 f x 是定义域上的连续函数，那么，lim fxf l

7、imx x x0 x x0【题型示例】求值：lim x 3 x 2 9 x 3 【求解示例】lim x 3 lim x 3 1 6 x 2 9 x 2 9 6 6 x 3 x 3 第六节 极限存在准则及两个重要极限 夹迫准则（P53）（）第一个重要极限：lim sin x 1 x 0 x x 0,，sin x x tan x lim sin x 1 2 x 0 x x 1 lim1 lim x 0 1 lim sin x sin x x 0 sin x x 0 x lim x x 0 （特别地，lim sin(x x0)1）x x0 x x0 单调有界收敛准则（P57）（）1 x 第二个重要极

8、限：lim 1 e x x 高等数学期末复习资料 第 3 页（共 3 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型

9、时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 （一般地，lim f x g x lim f x lim g x，其中 lim f x 0）【题型示例】求值：2x 3 x 1 lim x 2x 1 【求解示例】x 1 x 1 x 1 解：2x 3 lim 2x 1 2 lim 1 2 2x 1 2 x 1 2x 1 x x 2 x 1 2 x 1 2 2x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 2 lim 1 2 2 x 1 lim 1 2 2 x 1 2x 1 2 x 1 2x 1 lim 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 x 1 lim 2 x

10、 1 2 2 x 1 lim 1 2 x 1 2x 1 e 2 x 1 lim 2 x 2 2 x 1 e1 e e2 x 1 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）1 U sin U tanU arcsin U arctan U ln(1 U)U 1 e 2 1U2 1 cosU 2 （乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：lim ln 1 x 2 x ln 1 x x 0 x 3 x 【求解示例】解：因为 x 即 0,所以原式 ln 1 x x ln 1 x x 0 x 3x 1 x ln 1 x 1 x x x 1 1 lim lim lim x 0 x x 3 x 0 x

11、x 3 x 0 x 3 3 第八节 函数的连续性 函数连续的定义（）lim f x lim f xf x0 x x0 x x0 间断点的分类（P67）（）第一类间断点（左右极 跳越间断点（不等）限存在）可去间断点（相等）（特别地，可去间断点能在分式中约去 第二类间断点 无穷间断点（极限为）相应公因式）【题型示例】设函数f x e2x，x 0 应该怎样选择数 a，使得 f x 成为在 R 上 a x x 0 的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限

12、的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题高等数学期末复习资料 第 4 页（共 4 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证

13、明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 的连续函数？【求解示例】f 0 e2 0 e1 e 1 f 0 a 0 a f 0 a 2由连续函数定义 lim f x lim

14、f x f 0 e x 0 x 0 a e 第九节 闭区间上连续函数的性质 零点定理（）【题型示例】证明：方程 f x g x C 至少有一个根介于 a 与 b 之间 【证明示例】1（建立辅助函数）函数 x f x g x C 在闭区间 a,b 上连续；2 a b 0（端点异号）3由零点定理，在开区间 a,b 内至少有一点，使得 0，即 f g C 0 （01）4这等式说明方程 f x g x C 在开区间 a,b 内至少有一个根 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（）【题型示例】已知函数 f x ex 1，x 0 在 x 0处可导，求 a，b ax

15、 b x 0【求解示例】1 f 0 e0 1，f 0 e0 1 e0 1 2 f 0 a f 0 b e0 f 0 1 2 2由函数可导定义 f 0 f 0 a 1 f 0 f 0 f 0 b 2 a 1,b 2 【题型示例】求 y f x 在 x a 处的切线与法线方程（或：过 y f x 图像上点 a,f a 处的切线与法线方程）【求解示例】1 y f x，y|x a f a 高等数学期末复习资料 第 5 页（共 5 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有

16、不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 2切线方程：法线方程：y f a f a x a y f a 1 a f x a 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 函数和（差）、积与商的求导法则（）1线

17、性组合（定理一）：(u v)u v 特别地，当 1 时，有(u v)u v 2函数积的求导法则（定理二）：(uv)u v uv 3函数商的求导法则（定理三）：u u v 2 uv v v 第三节 反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则（）【题型示例】求函数 f 1 x 的导数 【求解示例】由题可得 f x 为直接函数，其在定于域 D 上单调、可导，且 f x 0；f 1 x f 1 x 复合函数的求导法则（）【题型示例】设 y ln earcsin x2 1 x2 a2 ，求 y 【求解示例】解：y 1 earcsin x2 1 x2 a2 earcsin x2 1 x2 a2 1 e

18、arcsin x2 1 x 2 1 x2 a2 earcsin x 2 1 x2 a2 1 x2 1 2 x2 a2 2x 1 e arcsin x2 1 2 x2 1 2x earcsin x 2 1 x2 a2 2 x2 2 x2 a2 1 earcsin x2 1 x x earcsin x 2 1 x2 a2 x 2 1 2 x2 x 2 a 2 第四节 高阶导数 f n x f n 1 x（或 dn y d n 1 y ）（）dxn dx n 1【题型示例】求函数 y ln 1 x 的 n 阶导数【求解示例】1 1 1，y x 1 x 高等数学期末复习资料 第 6 页（共 6 页）的

19、极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求

20、解题 y 1 x 1 1 1 x 2，y 1 1 2 1 3 x 2 1 x y n(1)n 1 (n 1)！(1 x)n 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导（等式两边对 x 求导）（）【题型示例】试求：方程 y x ey 所给定的曲线 C：y y x 在点 1 e,1 的切线方程 与法线方程 【求解示例】由 y x ey 两边对 x 求导 即 y x ey 化简得 y 1 ey y 1 1 y 1 e1 1 e 切线方程：y 1 1 x 1 e 1 e 法线方程：y 11 e x 1 e 参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程 x t，求 d 2 y y tdx2 d

21、2 y dy dy t dx【求解示例】1.dx t 2.dx2 t 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dy f x dx 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 引理（费马引理）（）罗尔定理（）【题型示例】现假设函数 f x 在 0,上连续，在 0,上可导，试证明：0,，使得 f cosfsin0 成立 【证明示例】1（建立辅助函数）令 f x sin x 高等数学期末复习资料 第 7 页（共 7 页）x 的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限

22、的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 显然函数 x 在闭区间 0,上连续，在开区间 0,上可导；2又 0 f 0 sin0 0 f sin

23、0 即 0 0 3由罗尔定理知 0,，使得 f cosf sin 0成立 拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当 x 1 时，ex e x 【证明示例】1（建立辅助函数）令函数 f x ex，则对 x 1，显然函数 f x 在闭区间 1,x 上 连续，在开区间 1,x 上可导，并且 f x ex；2由拉格朗日中值定理可得，1,x 使得等式 ex e1 x 1 e 成立，又 e e1，ex e1 x 1 e1 e x e，化简得 ex e x，即证得：当 x 1时，ex e x 【题型示例】证明不等式：当 x 0 时，ln 1 x x 【证明示例】1（建立辅助函数）令函数 f x ln

24、1 x，则对 x 0，函数 f x 在闭区间 0,x 上 连续，在开区间 0,上可导，并且 f x 1；1 x 2由拉格朗日中值定理可得，0,x 使得等式 ln 1 x ln 1 1 x 0 成立，0 1 化简得 ln 1 x 1 0,x，1 x，又 f 1，ln 1 x 1 x x，1 1 即证得：当 x 1 时，ex e x 第二节 罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A 属于两大基本不定型（0,）且满足条件，则进行运算：f x f x 0 lim lim x a g x x a g x （再进行 1、2 步

25、骤，反复直到结果得出）高等数学期末复习资料 第 8 页（共 8 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常

26、分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 B 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0 型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：【求解示例】lim x ln x x 0 ln x ln x 1 解：x ln x lim lim lim 1 x 0 x 0 1 L x 0 x 0 x x 1 x2 x 1 lim x 0 a x 0 （一般地，lim x ln x 0，其中,R）x 0 型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：lim 1 1 sin x x x 0 【求解示例】解：1 1 x sin x x sin x sin x x sin x x2

27、 x 0 xx 0 x 0 0 x sin x 0 1 cosx 0 lim lim 1 cosx 0 lim lim sin x 0 00 型（对数求极限法）L x 0 2 x 0 2x L x 0 2x x 0 2 x 【题型示例】求值：【求解示例】lim xx x 0 解：设 y x,两边取对数得：ln x x ln x 1 x 对对数取 x 时的极限：lim ln x ln x 1 x 0 x 0 L x 0 1 x x 1 1 型（对数求极限法）x ，从而有 ln y lim ln y 0 lim lim x lim y lim e e e 1 1 x 0 x 0 x 0 x 0 x

28、2 【题型示例】求值：【求解示例】1 lim cos x sin x x x 0 高等数学期末复习资料 第 9 页（共 9 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于

29、多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 1 ln cos x sin x 解：令 y cosx sin x x,两边取对数得 ln y ,x 对 ln y 求 时的极限，ln cos x sin x 0 x x 0 x 0 0 ln cos x sin x cos x sin x 1 0 从而可得 0 lim lim 1,sin x 1 0 L x 0 x x 0 cos x lim y=lim eln y lim ln y e ex 0 e1 x 0 x 0 0 型（对数求极限法）【题型示例】求值

30、：1 tan x lim x 0 x 【求解示例】tan x 1 解：令 y 1,两边取对数得 ln y ,x tan x ln x 对 求 x 时的极限，tan x 1 x 0 x 0 x ln x ln x 1 lim lim lim x 1 2 x 0 L x 0 1 x 0 sec x tan x tan2 x tan x 2 0 2 x 0 lim sin x sin li m 2sin x cos x 0,lim x 0 x L x 0 x x 0 1 从而可得 lim y=lim eln y lim ln y 1 ex 0 e0 x 0 x 0 运用罗比达法则进行极限运算的基本思

31、路（）0 0 0 0 (1)(2)(3)0 1 0 通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数 f x 2x3 9x2 12x 3 的单调区间 【求解示例】1函数 f x 在其定义域 R 上连续，且可导 f x 6x2 18x 12 高等数学期末复习资料 第 10 页（共 10 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证

32、明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 2令 f x 6 x 1 x 2 0，解得：x1 1,x2 2 3（三行表）x,1 1 1,2 2 2,f

33、 x 0 0 f x 极 极 大 小 值 值 4函数 f x 的单调递增区间为 ,1,2,；单调递减区间为 1,2 【题型示例】证明：当 x 0 时，ex x 1 【证明示例】1（构建辅助函数）设 x ex x 1，（x 0）2 x ex 1 0，（x 0）x 0 0 3既证：当 x 0 时，ex x 1 【题型示例】证明：当 x 0 时，ln 1 x x 【证明示例】1（构建辅助函数）设 x ln 1 x x，（x 0）2 1 1 0，（x 0）x 1 x x0 0 3既证：当 x 0 时，ln 1 x x 连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数 y 1 3x2 x3 的单调性、极值、凹凸

34、性及拐点 【证明示例】1 y 3x2 6 x 6 3x x 2 y 6 x 6 x 1 2令 y 3x x 2 0 0 解得：x1 0,x2 2 y 6 x 1 x 1 3（四行表）x (,0)0(0,1)1(1,2)2 (2,)高等数学期末复习资料 第 11 页（共 11 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中

35、若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 y 0 0 y y 1 (1,3)5 4函数 y 1 3x2 x3 单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为 (,0),(2,)；函数 y 1 3x2 x3 的极小值在 x 0 时取到，为 f 0 1，极大值在 x 2 时取到，为 f 2 5；函数 y 1 3x2 x3 在区间(,0),(0,1)上凹

36、，在区间(1,2),(2,)上凸；函数 y 1 3x2 x3 的拐点坐标为 1,3 第五节 函数的极值和最大、最小值 函数的极值与最值的关系（）设函数 f x 的定义域为 D，如果 xM 的某个邻域 U xM D，使得对 x U xM ，都适合不等式 f x f xM，我们则称函数 f x 在点 xM,f xM 处有极大值 f xM ；令 xM xM 1,xM 2,xM 3,.,xMn 则函数 f x 在闭区间 a,b 上的最大值 M 满足：M max f a,xM 1,xM 2,xM 3,.,xMn,f b；设函数 f x 的定义域为 D，如果 xm 的某个邻域 U xm D，使得对 x U

37、 xm ，都适合不等式 f x f xm ，我们则称函数 f x 在点 xm,f xm 处有极小值 f xm ；令 xm xm1,xm2,xm3,.,xmn 则函数 f x 在闭区间 a,b 上的最小值 m 满足：m min f a,xm1,xm2,xm 3,.,xmn,f b；【题型示例】求函数 f x 3x x3 在 1,3 上的最值 【求解示例】1函数 f x 在其定义域 1,3 上连续，且可导 f x 3x2 3 2令 f x 3 x 1 x 1 0，解得：x1 1,x2 1 3（三行表）x 1 1,1 1 1,3 f x 0 0 高等数学期末复习资料 第 12 页（共 12 页）的极

38、限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解

39、题 极 极 f x 小 大 值 值 4又 f 1 2,f 1 2,f 3 18 f x maxf 1 2,f x min f 3 18 第六节 函数图形的描绘（不作要求）第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求）第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间 I 上，可导函数 F x 的导函数为 F x，即当自变量 x I 时，有 F x f x 或 dF x f x dx 成立，则称 F x 为 f x 的一个原函数 原函数存在定理：（）如果函数 f x 在定义区间 I 上连续，则在 I 上必存在可导函数 F x 使得 F

40、 x f x，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间 I 上，函数 f x 的带有任意常数项 C 的原函数称为 f x 在定 义区间 I 上的不定积分，即表示为：f x dx F x C （称为积分号，f x 称为被积函数，f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分 变量）基本积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式）（）k1 f x k2 g x dx k1 f x dx k2 g x dx 第二节 换元积分法 第一类换元法（凑微分）（）（dy f x dx的逆向应用）fxx dx fx dx【题型示例】求 1 2 dx 2 x a 【求解示例】高等数

41、学期末复习资料 第 13 页（共 13 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去

42、可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 解：2 1 2 dx 1 2 dx 1 1 2 d x 1 arctanx C【题型示例】求 a x 1 x a x a a a a 1 a 【求解示例】解：1 1 1 d 2 x 1 1 d 2x 1 2x dx 2 x 1 2 12 2 x 1 2 x 1 C 第二类换元法（去根式）（）（dy f x dx的正向应用）对于一次根式（a 0,b R）：ax b：令 tax b，于是 x t2 b，a 则原式可化为 t 对于根号下平方和的形式（a 0）：a2 x2：令 x a tan t（t），2 2 于是 t arctan x，则原式可化为

43、 a sect；a 对于根号下平方差的形式（a 0）：a a2 x2：令 x a sin t（t），2 2 于是 t arcsin x，则原式可化为 a cost；a b x2 a2：令 x a sect（0 t），2 于是 t arccos a，则原式可化为 a tan t；x 【题型示例】求 1 dx（一次根式）2x 1 【求解示例】解：1 dx t 2 x 1 1 tdt dt t C 2x 1 C【题型示例】求 2x 1 2 1 t x t dx tdt 【求解示例】2 2 x a sint(t)2 2 a 2 解：a 2 2 a 1 cos2t dt x dx t arcsin x

44、cos tdt 2 a dx a cost a2 t 1 sin 2t C a2 t sin t cos t C 2 22 第三节 分部积分法 分部积分法（）1 dx 2x 1 a2 x2 dx（三角换元）高等数学期末复习资料 第 14 页（共 14 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为

45、有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 设函数 u f x，v g x 具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu 分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（v dx dv）使用分部积分公式：udv uv vdu 展开尾项 vdu v u dx，判断 a若 v

46、 u dx 是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用 基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b若 v u dx 依旧是相当复杂，无法通过 a 中方法求解的不定积分，则重 复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数 C【题型示例】求 ex x2 dx 【求解示例】解：ex x2 dx x 2ex dx x2 dex x 2ex ex d x2 x2 ex 2 x ex dx x2 ex 2 x d ex x2 ex 2 xex 2 ex dx x2ex 2xex 2ex C 【题型示例】求【求解示例】ex sin x

47、dx 解：ex sin xdx ex d cosx ex cosx cosxd ex ex cosx ex cos xdx ex cos x exd sin x ex cosx ex sin x sin xd ex ex cosx ex sin x ex sin xdx 即：ex sin xdx ex cos x ex sin x sin xd ex ex sin xdx 1 ex sin x cos x C 2 第四节 有理函数的不定积分 有理函数（）m m 1 设：P x p x a0 x a1 x am Q x q x b0 xn b1 xn 1 bn 对于有理函数 P x，当 P x

48、的次数小于 Q x 的次数时，有理函数 P x 是真分 Q x Q x 高等数学期末复习资料 第 15 页（共 15 页）的极限数列极限的证明题型示例已知数列证明证明示例由即对语言化简得当时始终有不等式成立第三节函数的极限时函数极限的证明题型示例已知函数证明证明示例由语言化简得即对当时始终有不等式成立时函数极限的证明题型示与无穷大无穷小与无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小与无穷大的相关定理与推论定理三假设定理四在自变量的某个变化过程中若小反之若题型示例计算为有界函数为无穷小则则为无穷小且为无穷大为无穷大则或为无穷函数法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则商式的极限运算关于多项式

49、设则有高等数学期末复习资料第页共页特别地当不定型时通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值也可以用罗比达法则求解题 式；当 P x 的次数大于 Q x 的次数时，有理函数 P x 是假分式 Q x 有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数 P x 的分母 Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中 Q x 一个多项式可以表示为一次因式 x a k；而另一个多项式可以表示为二次 质因式 x2 px q l，（p2 4q 0）；即：Q x Q1 x Q2 x 一般地：mx n m x n ，则参数 a n m m ax2 bx c a x2 b x c a a 则参数

50、 p b,q c P x a a 则设有理函数 的分拆和式为：Q x P x P1 x P2 x Q x x a k x2 px l q 其中 P x A1 A2 Ak 1 .x k x a x 2 k a a x a P2 x M 1 x N1 M 2 x N 2 l 2 px q 2 x 2 px q x x 2 px q .M l x Nl l x2 px q 参数 A1,A2,.,Ak,M 1,M 2,.,M l 由待定系数法（比较法）求出 N1 N2 Nl 得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求 x2 dx（构造法）x 1 【求解示例】x 2 x 1 x x 1 1 1 dx