奥数多次相遇问题中学教育高中教育2中学教育高中教育.pdf

《奥数多次相遇问题中学教育高中教育2中学教育高中教育.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥数多次相遇问题中学教育高中教育2中学教育高中教育.pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 学员编号：年 级：课 时 数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型 授课日期及时段 教学内容 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间速度和 路程差=追及时间速度差 二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。环线型 同一出发点 直径两端 同向：路

2、程差 nS nS+0.5S 相对(反向)：路程和 nS nS-0.5S 知识框架 【例 1】两辆电动小汽车在周长为 360 米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶 20 米甲、乙两车同时分别从相距90 米的 A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达 B点时，甲车过 B点后恰好又回到 A点此时甲车立即返回（乙车过 B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？【巩固】周长为 400 米的圆形跑道上，有相距 100 米的 A，B两点甲、乙两人分别从 A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到 A时，乙恰好跑到 B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙

3、时，甲从出发开始，共跑了多少米?例题精讲 特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达

4、?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问【例 2】甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长 6 千米的圆形跑道以相反的方向行驶 甲车每小时行驶 65 千米，乙车每小时行驶 55 千米一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第 11 次相遇的地点距离有多少米？【巩固】二人沿一周长 400 米的环形跑道均速前进，甲行一圈 4 分钟，乙行一圈 7 分钟，他们同时同地同向出发，甲走 10 圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？【例 3】下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长 300

5、米的正方形甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发如果甲每分走 90 米，乙每分走 70 米，那么经过多少时间甲才能看到乙？特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例

6、精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问【巩固】如图，一个长方形的房屋长 13 米，宽 8 米甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行 3 米，乙每秒钟行 2 米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【例 4】如图，长方形ABCD中ABBC=54。位于A点的第一只蚂蚁按ABCDA的方向，位于C点的第二只蚂蚁按CBADC的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在()边上。【巩固】甲、乙两人从周长为 1600 米的正方形水池 ABCD 相对的两个顶点 A，

7、C同时出发绕池边沿 ABCDA的方向行走。甲每分行 50 米，乙每分行 46 米，甲、乙第一次在同一边上行走，是发生在出发后的第多少分？第一次在同一边上行走了多少分？【例 5】在一个周长 90 厘米的圆上，有三个点将圆周三等分。A，B，C 三个爬虫分别在这三点上，它们每秒依次爬行 10 厘米、5 厘米、3 厘米。如果它们同时出发按顺时针方向沿圆周爬行，那么它们第一次到达同一特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反

8、在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问 位置需多长时间？【巩固】如图 2，一个边长为 50 米的正方形围墙，甲、乙两人分别从 A、C两点同时出发，沿闹墙按顺时针方向运动，已知甲每秒走 5 米，乙每秒走 3 米，则至少经过 秒甲、乙走到正方形的同一条边上。【例

9、6】如图所示，大圈是 400 米跑道，由A到B的跑道长是 200 米，直线距离是 50 米。父子俩同时从A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线跑。父亲每 100 米用 20 秒，儿子每 100 米用 19 秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？【巩固】如图,学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道,大跑道与小跑道有 200 米路程相重甲以每秒 6 米的BA特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对

10、正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问 速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【例 7】三个环行跑

11、道如图排列，每个环行跑道周长为 210 厘米；甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕 3、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟 20 厘米和每分钟 l5 厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?【巩固】一个圆周长 90 厘米，3 个点把这个圆周分成三等分，3 只爬虫A，B，C分别在这 3 个点上它们同时乙甲乙甲AB乙甲乙甲A321BA特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够

12、个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问 出发，按顺时针方向沿着圆周爬行 A的速度是 10 厘米/秒，B的速度是 5 厘米/秒，C的速度是 3 厘米/秒，3 只爬虫出发后多少时间第一次

13、到达同一位置？【例 8】下图中有两个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米。两只甲虫同时从 A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？【巩固】如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为 600 米，小圆环的周长为 400 米。甲的速度为每秒 6 米，乙的速度为每秒 4 米。甲、乙二人同时由A点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。问：甲、乙可能相遇的位置距离A点的路程是多少？(路程按甲跑的计算)【例 9】甲、乙两人沿 400 米环

14、形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来乙的方向甲的方向甲的方向特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑

15、有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问 速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。【巩固】环形跑道周长是 500 米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑 120 米，乙每分跑 100 米，两人都是每跑 200 米停下休息 1 分。甲第一次追上乙需多少分？【例 10】如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直

16、跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距A点还有 米。【巩固】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5 已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相A特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进

17、分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问 遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米?【例 11】如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路已知汽车在 AB上时速是 90 千米，在 BC上的时速是 120 千米，在 CD上的时速是 60 千米,在 DA上的时速是 8

18、0 千米 从 CD上一点 P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇如果从 PC的中点 M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB上一点 N相遇问 A至 N的距离除以 N至 B的距离所得到的商是多少?【巩固】一条环形道路，周长为 2 千米甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行 2 周现有自行车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑已知甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时 4 千米，3 人骑车的速度都是每小时 20 千米请你设计一种走法，使 3 个人 2 辆车同时到达终点那么环行 2 周最少要用多少分钟?课后作业 特殊场

19、地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问【随

20、练1】下图是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连接B 或者C.小圈轨道的周长是 1.5 米，大圈轨道的周长是 3 米.开始时，A 连接C，火车从A 点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔 1 分钟变换一次轨道连接.若火车的速度是每分钟 10 米，则火车第 10 次回到A 点时用了 秒钟.【随练2】如图所示，甲沿长为400米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动路线的次序：12341 ）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒 3 米和 5 米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。【随练3】如图，8 时 10 分,有甲、乙两人以相同

21、的速度分别从相距 60 米的 A，B两地顺时针方向沿长方形 ABCD 的边走向 D点.甲 8 时 20 分到 D点后,丙、丁两人立即以相同速度从 D点出发.丙由 D向 A走去,8 时 24 分CBA4321BA特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周

22、长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问 与乙在 E点相遇；丁由 D向 C走去，8 时 30 分在 F点被乙追上.问三角形 BEF的面积为多少平方米?【随练 4】在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过 4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【随练 5】甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时 5.4 千米，乙速度是每

23、小时 4.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过 5 分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？【随练 6】下图是一个边长 90 米的正方形，甲、乙两人同时从 A点出发，甲逆时针每分行 75 米，乙顺时针每分行45 米两人第一次在 CD边（不包括 C，D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果

24、向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问 【随练 7】如图是一个跑道的示意图，沿ACBEA走一圈是400米，沿ACBDA走一圈是275米，其中A到B 的直线距离是75米甲、乙二人同时从A点出发练习长跑，甲沿ACBDA的小圈跑，每100米用24秒，乙沿ACBEA的大圈跑，每100米用21秒，问：乙跑第几圈时

25、第一次与甲相遇？发多长时间甲、乙再次在A相遇？【随练 8】有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长 400 厘米，短跑道长 300 厘米，且有 200 厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒 6 厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒 4 厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从A点出发，那么当两个机器人在跑道上第 3 次迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米?ECDBA特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们

26、否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问 【随练 9】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20

27、%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米 200200100ABCA特殊场地行程问题之一是多人般至少两次相特殊题之一遇或程问题追及的题题般过少特解题决与击关键看我们否能够准确对目程题中与决程问所关描程问所程问述每够个程状状态作出们否能准对正合击理线至击理线至击理线至目程段图进分析在做后进分反在段图进分析复路做后进分发复路段图进分发如果向而则走如圈同上这等如果向量系往成多为上差如否如和环型点能则程每直径后端的程问所例精向讲及辆的程问所例精向电动能能小汽车周长米圆形道不达时长甲向恰向好长甲向又回到向此立到向即返乙继续驶再即述每的程问所例精巩固返乙驶再巩固述每的程问所例精跑有距次别从的程问所例精跑有背理背则程每跑有转身当?达?般至少?道般至少少发题中与决程问所关描程问