勾股定理的各类题型中学教育中考中学教育中考.pdf

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1、勾股定理各种题型：一：勾股定理面积相等法：方法 1：方法 2：方法 3：二：方程思想和勾股定理结合的题目 1（.2016 春?宜春期末）一旗杆在其 的 B 处折断，量得 AC=5 米，则旗杆原来的高度为（）A 米 B2 米 C10 米D 米【考点】勾股定理的应用【分析】可设 AB=x，则 BC=2x，进而在 ABC 中，利用勾股定理求解 x 的值即可【解答】解：由题意可得，AC 2=BC 2 AB 2，即（2x）2x2=52，解得 x=，所以旗杆原来的高度为 3x=5，故选 D 【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形 2.（2016 春?防城区期中）如图，在 ABC 中，B=40，E

2、F AB，1=50，CE=3，EF 比 CF 大 1，则 EF 的长为（）A5 B6 C3 D 4【考点】勾股定理；平行线的性质【分析】由平行线的性质得出 A=1=50，得出 C=90，设 CF=x，则 EF=x+1，根据勾 股定理得出方程，解方程求出 x，即可得出 EF 的长【解答】解：EFAB，A=1=50，A+B=50+40=90，C=90，设 CF=x，则 EF=x+1，的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的

3、长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，即 32+x2=（x+1）2，解得：x=4，EF=4+1=5，故选：A 【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与

4、计算是解决问题的关键 3.（2015春?蚌埠期中）已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折 叠，使点 B 与 D 重合，折痕为 EF，则 BE 的长为（）【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据折叠的性质可得 BE=ED，设 AE=x，表示出 BE=9 x，然后在 RtABE 中，利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：长方形折叠点 B 与点 D 重合，BE=ED，设 AE=x，则 ED=9 x，BE=9x，222 在 RtABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，即 32+x2=（9x）2，解得 x=4，AE 的长是 4，BE=9 4=5，故选 C 【点评】本

5、题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于 AE 的长的 方程是解题的关键 4.（2008秋?奎文区校级期末）在我国古代数学著作 九章算术 中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根 新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到 达岸边的水面那么水深多少？芦苇长为多少？的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求

6、出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的【考点】勾股定理的应用【分析】找到题中的直角三角形，设水深为 x 尺，根据勾股定理解答【解答】解；设水深为 x 尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：，解得：x=12（尺），芦苇的长度=x+1=

7、12+1=13（尺），答：水池深 12 尺，芦苇长 13 尺【点评】此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数 学的辉煌成就 三：勾股定理应用：求最短距离问题 1.（2014 秋?环翠区期中）如图，长方体的底面边长为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一 根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达 B，那么所用细线最短需要（）A12cm B 11cm C 10cm D9cm【考点】平面展开-最短路径问题【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短 得出结果【解答】解：将长方体展开，连接 A、B，则 AA=1+3+1+3

8、=8（cm），AB=6cm，根据两点之间线段最短，AB=10cm 2.（2016 春?繁昌县期末）如图，是一长、宽都是 3cm，高 BC=9cm 的长方体纸箱，BC 上 有一点 P，PC=BC，一只蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是（）最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开 化立体为平 面”，用勾股定理解决 的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了

9、平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的 A6 cm B3 cm C 10cm D 12cm【考点】平面展开-最短路径问题【分析】将图形展开，可得到安排 AP 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可（2）如图 2，AC=6cm，CP=3+3=6cm，Rt ADP 中，AP=6 cm 3.（2016?

10、大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从 A 点绕到正上方 B 12cm，高是 20cm，那么所需彩带最短的是（A13cm B4 cm C4 cm D 52cm【考点】平面展开-最短路径问题【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在 求线段长时，借助于勾股定理【解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的 A 处绕易拉罐 4 圈后到达顶端的 B 处，将易 拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，易拉罐底面周长是 12cm，高是 20cm，2 2 2 x2=（124）2+202，解答】解：（1）如图 1，AD=3cm

11、，DP=3+6=9cm，在 RtADP 中，AP=3 cm；点共四圈，已知易拉罐底面周长是 综上，蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是 6 cm 故选 A 的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形

12、折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的所以彩带最短是 52cm 故选 D 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长 等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”用勾股定理解决 4.（2016?游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为 内点 E 处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形 HE=7，若蚂蚁从平面 ABCD 和平面 BCEH 经过，则蚂蚁到达饼干的最

13、短距离如图 2：16cm、6cm 和 6cm，在罐 ABCD 中心的正上方 cm（）A7 B C24 D【考点】平面展开-最短路径问【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，据勾股定理即可计算【解答】解：若蚂蚁从平面 ABCD 和平面 CDFE 经过，在平面内线段最短，根 的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练

14、掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的 H E=故选 B 【点评】考查了平面展开最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段 5.（2015 秋?宜兴市校级期中）如图，一圆柱高 8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是 10 cm 【考

15、点】平面展开-最短路径问题【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答【解答】解：底面圆周长为 2r，底面半圆弧长为 r，即半圆弧长为：2=6（cm），展开得：BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB=10（cm）故答案为：10 的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理

16、论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的 展开图，表示出各线段的长度 四：网格问题 简单）1、在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 ABC 中 BC 边上的高为 答案：设 ABC 中 BC 边上的高为 h AB 2=5，AC 2=20，BC 2=25，BC 2=AB 2+AC 2，A=90，11 S ABC=2 AB AC=2 BC

17、h，即 5 2 5=5h 解得，h=2 故答案是：2 2.如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称 为“格点多边形”如图（一）中四边形 ABCD 就是一个“格点四边形”（1）求图（一）中四边形 ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形 EFG，使 EFG 的面积等于四边形 ABCD 的 面积且为轴对称图形 解题的关键是根据题意画出 的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出

18、即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的图（一）答案：解：（1）方法一：S 2 64 12 1111 方法二：S 46 2 21 2 41 2 34 2 23 12（2）（只要画出一种即可）3、如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，请

19、按要求完成下列各题：（1）画 AD BC（D 为格点），连接 CD；（2）试判断 ABC 的形状？请说明理由；答案：（1）图象如图所示；2）由图象可知 AB 2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，BC 2=AB 2+AC 2，ABC 是直角三角形。4、如图，是一块由边长为 20cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点 A 处，?它想先 后吃到小朋友撒在 B、C 处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？图（二）ABC 的三个顶点均在格点上 的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所

20、以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的 A B B 答案：AB=5cm，BC=13cm?所以其最短路程为 18cm（难题）5、如图中的虚线网格我们称之为正三

21、角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是 多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）。，故 五：方位角问题 1、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了 500 3m 到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点（1）求 A、C 两点之间的距离；（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向？答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。（2）如图可直接得出平行

22、四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积 3）过 A作AK BC于点 K 如图所示），则在 RtACK 中，的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查

23、了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的 2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们 用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15千米早晨 8：00甲先出发，他以 6 千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午 10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？答案：如图,甲从上午 8：00到上午 10：00一共走了 2 小时,走了 12 千米,即 OA=12 乙从上午 9：00到上午 10：00一共走了 1 小时,走了 5 千米,即

24、 OB=5 的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算

25、术中记载了一个有的在 RtOAB 中,AB2=122 十 52=169,AB=13,因此,上午 10：00 时,甲、乙两人相距 13千米 1513,甲、乙两人还能保持联系 答：上午 10：00 甲、乙两人相距 13 千米,两人还能保持联系 3、如图，甲乙两船从港口 A 同时出发，甲船以 16 海里/时速度向北偏东 40航行，乙船向 南偏东 50航行，3小时后，甲船到达 C岛，乙船到达 B 岛.若 C、B 两岛相距 60海里，问 乙船的航速是多少？答案：从两船航行的方向看,北偏东 40 度和南偏东 50 度的夹角为 90 ACAB 甲船速度每小时 16海里,所以 AC=16 3=48海里 AB

26、2=BC 2-AC 2=3600-2304=1296 AB=36 所以乙船速度为每小时：363=12 海里 4、如图，北海海面上，一艘解放军军舰正在基地 A 的正东方向且距 A 地 40 海里的 B 处训 练，突然接基地命令，要该舰前往 C 岛，接送一病危渔民到基地医院救治，已知 C岛在 A 00 的北偏东 60 0方向，且在 B 北偏西 45 0方向，军舰从 B 处出发，平均每小时走 20海里，需 要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到 0.1 小时，参考数据：3 1.73，2 1.41 不妨设 CD=x 海里，则 BD=x 海里，AD=2 x 海里，AC=x 海里，3 x+x=40

27、 解：作 CD AB 于 D，根据题意，得 CAB=30，CBD=45 的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的

28、长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的AC+BC=（2 20 3 20）2（20 3 20）=20 6+40 3-20 2-40=2（0 6 2 2-2-2）49.98（海里）49.9820=2.499 2.5（小时）答：需要大约 2.5 小时才能把患病渔民送到基地医院。的处折断量得米则旗杆原来的高度为米米米考点勾股定理的应用分析可设则进而在中利用勾股定理求解的值即可米解答解由题意可得即解得所以旗杆原来的高度为故选点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形春防城区期中程求出即可得出的长解答解设则根据勾股定理得即解得故选点评本题考查了平行线的性质直角三角形的判定勾股定理熟练掌握平行线的性质并能进行推理论证与计算是解决问题的关键春蚌埠期中已知如图长方形中将此长方形折叠使算即可得解解答解长方形折叠点与点重合设则在中即解得的长是故选点评本题考查了翻折变换的性质勾股定理的应用根据勾股定理列出关于的长的方程是解题的关键秋奎文区校级期末在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有的