2021届高考数学（理）全真模拟卷03（理新课标Ⅲ卷）（解析版）.pdf

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1、新高考全真模拟卷03(新课标in卷)理科数学本卷满分15 0分，考试时间12 0分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合4=划2*1,B=X|X2 0 ,B=x-2 x =x|x -2,故选 B。2 .设复数z满足z2 +Z,则|z|=()。iA、3B、MC、9D、10【答案】A【解析】z=+2f=2-V 5z,则|z|=2?+(括/=3,故选A。i3 .函数f(x)=s i n：”的图像大致是()。【答案】B【解析】函数的定义域为R,又/(T)=s i n：+x=_/(x),则J )为奇函数，排除C、D,ewV

2、 s in x-x 0在xe(0,+oo)匕恒成立,当x-0+时，/(x)p）,a称为全音，p称为半音，则下列关系式成立的是（）。（参考数据：1g2R 0.301（）、lg3 0.4771）A、a=2pB、a=p-C、|lga-lgP|0.01D、|lga-21gp|0.01,C 错误，8 243而|lga 21gBi=|lg2 21g型|=|121g3 191g21ao.00620.01,，D 正确，故选 D。8 2435.己知（a+2 y的展开式中的常数项为-1,则炉的系数为（）oA、-560B、-280C、280D、560【答案】Ar 解析（a+2&y的展开式的通项公式为7）+1=C；4

3、 常数项，.r =0,，常数项为心7.2 =-1,解得 =1,一=4,二 2的系数 为（一1）32 4=-5 6 0,故选A。k +2”46.已知x、y满足约束条件 龙 一2y 2-4,则目标函数z=1 6/+8x+4y2-4 n一16个的取值范围是（）。x3A、-1,24B、-4,8C、-4,48D、-1,143【答案】D【解析】z =1 6 x2+8x +4 y?-4y-1 6 xy=(4x-2y)2+2(4 x-2 y)作图，令女=4 x-2 y,则y =2 x-；Z,做虚线y =2 x,上下移动,则过A(0,2)截距最大即kmin=-4 ,过B(3,1)截距最小即 m a x =1 1

4、，则转换为f(k)k2+2k(-4 k =1内,02+(/?-3)2 1,解得 24,则 2 招 H 4,即 2 抬 164,得2石 。0）倍（纵坐标不变），得到函数g（X）的图像，若函数g（X）在区间（二二）上是增函数，则 3的取值范围是6 3（）。A、（0.1 B、（0,2 C、（2,3）D、3,+o o）【答案】B【解析】将函数f（x）=2 s i n x 的图像经过变化后得到g（x）=2 s i n（a r 工）的图像，6-2kitwc-+2kri（k G Z）,g|J -+2 h i c a r +2f or（k e Z）,2 6 2 3 3；g（x）在（二，四）上是增函数，二/6（

5、蹩,C W）,又T =空 2 2 x（3-二）=2,6 3 6 3 c o 3 6 3n eo 冗-2-令k =0 时 6 3,解得0 342,当k#0 且Ze Z时，不符合题意，故选B。7 1 C D 2 兀 1 t.一 3、C4k_I/则由正方体与半球q 的位置关系易知正方体的棱长为2,设正方体的下底面的中心为G ,连接PG,则四棱锥P-A 3CD的高P G =3 r,易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为J(3 r再3=,由题意得(2r)2+4x x 2rx M 厂=4 +4 而，得 r=l,2根据几何体的对称性知球0 的球心。在线段OQ上，连接OC、CG,在 R/A OGC 中，O C =

6、R,0 G =3-R,CG=-x 72 x2 =V2 ,2则(3-R)2+(后)2=叱，解得 R =U,6二球。的表面积S=4 成 2=4 兀、(募)2=詈，故选B。1 2.设函数/(x)=x-e*-3-3 的零点为X、，E l表示不超过x 的最大整数，有下述四个结论:函数人幻在(0,+8)上单调递增；函数f(x)与 包 有相同零点；函数f(x)有且仅有一个零点，且X x =2；函数,”X)有且仅有两个零点，且 xJ+I k-6。其中所有正确结论的个数是()。A、1B、2C、3D、4【答案】C【解析】/(x)=，-(l+x)-,当 x w(0,+oo)E l寸，fx)0,.函数/(x)在(0,

7、+8)上单调递增，故正确，显然x=0 不是/(x)零点，令 g(x)=-3-,，x x 2则在(Y O,0)U(0,+8)匕/(此与 g(x)有相同零点，故正确，3在(F,0)U(0,+8)上，(%)=eA+0,X g(x)在(9,0)上单调递增，在(0,+8)上也单调递增，而 g=6一 0,存在不(1,2),使 以西)=0,乂 g(7)=-0,存在的 (一 7,6),使 g(%)=0,e 14 eg(x)在(fO,0)U(0,+8)上只有两个零点再、，也即/(X)在 R上只有两个零点到X、x2,且 而+出 =1 +(-7)=-6,故错误、正确，正确的命题有3 个，故选C。二、填空题：本题共4

8、 小题，每小题5 分，共 20分。13.已知向量a=(3,2),=(1,x),且 a 人与 2a+力 平行，那么x=。2【答案】-3【解析】：。一人二(2,2 幻、2。+入=(7,4+不)，且一人与2。+/?平行，,2/.2 x(-4+x)=(-2-x)x 7,解得 x=o314.曲线y=3x+s】n x在(。，处的切线方程为_ _ _ _ _ ex【答案】4 x-y =0.,3x+sinx,3-3x-sinx+cosx 解析由y=-求导可得y =-,e e故在(0,0)处切线斜率为力后0=4，,切线方程为y=4 x。15.已知抛物线C：x2=4y,A(0,3),若抛物线C 上存在点尸(%,%

9、)(5*0),使得过点P 的切线/J_ PA,设/与y 轴交于点E,则 A4PE的面积为。【答案】【解析】由=4 y可得y=,y =g x,.,.直线/的斜率左=)=而=3/,又直线AP的斜率为四二切线U P 4,拉 口=-1,又 芯=4%，瓦2 x0解得入 0=2,y0=1 不妨设P(2,l),则直线/的方程为y-l=x-2,E|J y=x-,E(0,-l),则 A4PE的面积 为,x4x2=4。216.已知数列 a“满足q=4,a,l+l+an=2n+3,neN+,则 为=,2()20(。1%-。2%+%4一%+一。2 0 2 0 ,W021)=。(本题第一空2 分，第二空3 分)【答案】

10、2019,-1010【角 牛 析】a+=2鹿 +3,a+2+a”+i=2tl+5,。+2 =2,M.%+4=5，乜 a?=1，,%的奇数项 4 为首项为4、公差为2 的等差数列，设 2一 1 =%(ZwN+),则a=4+2乂(攵-1)=2k+2,an的偶数项 q 为首项为1、公差为2 的等差数列，设 2n=k(k s N+),贝 ijq =1+2x(4-1)=2%1 ,。2 0 2 0 =1010=2x1010-1=2019；,2 0 2 0，W-。2，%.。4 -。4 .%1 6 r2 0 2 0，“2 0 2 1)二2 02。（一%）+。4 （。3 。5）h。2 0 2 0 ,（的0 1

11、9 七0 2 1）1=-(-2)x(%+&+,+)=-x2020 10101010 x(1+2019)2=-1010o三、解 答 题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12 分）在AABC中a、b、c分别为角A、B、C所对的边，已知2 _ =!。2a-c 2cosC（1）求角5的大小；（2）若。=1、b=#i,求 A48C 的面积。【解析】（1）在A4BC中，A+8+C n ,2 _=L,.由正弦定理得：一网&一=,2a-c 2cosC 2sinA-sinC 2cosC2sin8 cosc=2sin/4-sinC,即 2sinB-cosC=2sin(B+

12、C)-sinC=2sinB-cosC+2cos B-sinC-sinC,化简得 2cos8 sinC=sinC,1 兀又sinC。，cosB=B=；2 3 在A48C中，由余弦定理得：b=a2+c2-2ac-cos B,即7=1 +/-c,、2-0-6 =0,解得c=3(可取)或c=-2(舍),c _ 1 ,7 n _ 3 6,*AABC-5 c.sin B o2分4分6分8分10分12分18.（12 分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了 100位顾客购物的相关数据如下表:一次购物款（单位：元）0,50)50,100)100,150)150,200)200,+0 0)顾客人数20

13、a3020b统计结果显示100位顾客中一次购物款不低于150元的顾客占30%,该商场每日大约有4000名顾客,为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品。（1）试确定a、的值，并估计每日应准备纪念品的数量；（2）现有4人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量自的分布列与数学期望。【解析】（1）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾有：&+20=100 x30%=3 0,解得人=1 0,则 a=l(X)-(20+30+20+10)=20,2分该商场每日应准备纪念品的数量约为4 0 0 0 x约1 0 0(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p=

14、故4人购物获得纪念品的数量自 服从二项分配看=2 4 0 0；4分6 0 _ 3wo?5分5（4,|）,6分则尸 =0)=心,(当.)4=上5 5 6 2 5P（&=1）=煤中.令嚷,2 =2）=量.（3 2.（令2=我5 5 6 2 5P（=3）=C：-（|）3-（|）I=|1|3 3 OZJ尸 =4)=仁.(少 右。=袅,5 5 6 2 5则&的分布列为：1 0分101234p1 66 2 59 66 2 52 1 66 2 52 1 66 2 58 16 2 53 1 2自 的数学期望为E(?=4 x(=1 2分1 9.（1 2 分）T T如图所示，在三棱柱A B C A M G中，四边

15、形A8 B|A|为菱形，ZAAiBi=-,平面4 3 4 A 平面AB C ,AB=BC,A C =y2AAi=242,E 为 AC 的中点。(1)求证：B J平面 ABBlAl；(2)求平面EB|G与平面B B|GC所成角的大小。【解析】(1):四边形 为菱形，A B =BC,A C =y2AAi=2yf2,1分A C2=A B1+B C2,：.A B L B C,2分乂平面A344 1.平面AB C,平面A344D平面A BC=AB,BC _L 平面 A5 3 14，又B|G BC,：.31G 1 平面 ABBiA:3分4分 取A耳的中点。，AG的中点N,连接O A、O N ,：BG JL

16、 平面 A B B ,：.O N 平面 A3片 A,；.ON _L 0 4、O N V O A,乂四边形AB g A是菱形，N AAB|=g,。是4耳的中点，.O 4 _LA4 ,故0 4、O N、0 A两两互相垂直，6分以。为坐标原点，0 4、O N、0 A所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，.%1,0,0)、C,(-1,2,0),耳(一 1,1,石)、fi(-2,0,V 3),7 分由图可知，平面E B 的一个法向量为云=(1,0,0),8分设平面BBC。的法向量为7=(x,y,z),则:空 二 ,即n-BB=0取z=l，得平面BB|G C的一个法向量为G=(、Q

17、,O，1)，10分设平面E B 与平面3月G C所成角的平面角为。，n -tn n 1 x7 3+0 x0 +0 x1 右 7.贝ij cos 0=|cos|=1=-=11 分tn-n 1x2 22y=0-x +V iz=0又：。(0,乌 ,.0=3,.平面Eg G与平画3 B|G C所成角为四。12分2 6 62 0.(12 分)已知函数/。)=五，g(x)=/n九，a w R。(1)设函数或x)=f(x)-g(%),当加 存在最小值时,求其最小值(p(a)的解析式；(2)对(1)中的晒a)和任意的。0、6 0,证明：(/(巴 史)史 竺 曳 型4 0(22)。2 2 a+b1r-?【解析】

18、(1)例 =五一h(x)的定义域为(0,+8),hf(x)=-,1分2V x x 2x当。0时，令人(=0,解得X=4 2,，当 0 x v4a2 时,li(x)4/时，hr(x)0,(幻在(4/,+ao)上递增，x=4 2是(X)在(0,+8)上的唯一极值点，从而也是(X)的最小值点，/.最小值(p(a)=/?(t z2)=2 c z 6 Z -l n 4 t z2=2 a(1-l n 2 a)，4分当Q KO时，(x)0 恒成立，%(x)在(0,+8)上递增，无最小值，故6(x)的最小值(p(a)的解析式为(p(a)=2 a(l-l n 2 a)(。0)；6分由知(p (a)=-2 1n

19、2 a,对任意的。0、b 0,(p (4)+(p S)2 1n 2 a +2 1n 2 Z?,.,父 6-=-n4ab,Q)；8 分2-2=-2 1n(2 x =-l n(t z +b)2 -2 1 n-=-2n2yfah=-n4ab，10 分a+h a+h lyjab故由得 p,(巴W)幽逊4 0)的焦点为尸，过点尸的动直线/与。的交点为A、Bo当/的斜率为1时,O A O B =-3o求抛物线C的方程；若 E(0,l),r a =X F(l k 4),求 而 瓦 的取值范围。【解析】抛物线。的焦点 呜,0),直线/的方程为丁=1-勺 1 分联立直线/与抛物线C的方程”=一3 得：x2-3

20、p x +=0,2分y2=2px 4设 A(X 1,%)、8(工 2，丁 2)，则“1 +=3 p,九 ，x?=:,则 y ,%=-J2 P 再.2=-p2,3 分/O A-O B =-3 ,，再%2 +必,%=-3 ,B P -p2=-3 ,解得 p =2,抛物线C的方程为丁=4 x ；4分(2)由(1)知，焦点/(1,0),由月5 二 九 AF得：x2-l =X(l-X j),为=一 肛，由力=一 如 得 父=乃，又 了；=4 百、y；=4%2，故2=入 2 不，代入 2 1 =九。一为)得玉=，即“(，6分当A(：,1)时，点 3(人,一 23)，此 时 而怎=(0,1),A B OE

21、=-2A.+2,记-生2A.+萨 2，则 f）=；1 （V1-l），当IV 为4 4 时,/（入）4 0,故/（九）在 1,4 上单调递减,A B O E的取值范围是-5,-4 ,9 分当A（；,专）时，点伙入,2 6），此时 Q =（片 土 与”），怎=（0,1）,2 尢 +2.AB O E =-=,同理，当14人4 4 时，A R O E 在 1,4 上单调递增，A B O E的取值范围是 4,5,综上，荏 丽 的取值范围是 5,4 U 4,5。11分12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22.选修4-4：坐标系与参数方

22、程（10分）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为 =+s s*（/为参数，牛田。，兀）。以坐标原点为极点，xy=yQ+z-sin（p轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为P=8cos（1-。（1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；I P M I IP NI设点PCX。，为），圆心。（2两,2%），若直线/与圆C 交手M、N 两点，求+1的最大值。|P N|P M|【解析】（1）圆。的极坐标方程为p=8 c o s q-e）=4cos。+4sine,p2=4pcos9+4V3psin0,2 分/p2=x2+,x=p-cos0,y=psin。，/.x2+y2-4 x-4 V

23、 3 y =0,.圆C的直角坐标标准方程为（x-2）2+（y 2 6）2=1 6；4 分l f2xn=2 fxn=1（2）由（1）知圆C 的圆心的直角坐标为（2,2 6），则 l，l，2yo=2j3 1%=J3x=l+/-cos（p，直线/的参数方程为 厂（/为参数，（p e 0,2），6 分y=A/3+/-sin（p将直线/的参数方程代入（工一2）2+（丁一2退）2=16得：/一（2百 sin（p+2cos（p 12=0,设点 A/、N 对应的参数方程为 4、t2,则 4+2 =2 g s in（p+2 8 S（p,-t2=-1 2,8 分PM +PN _=|加+回|2 =川 2+&|2 =

24、伍+幻 2 一2 八1 2T PN 两广 I PM I I P N I 一 片|山2 1 -t-ti=（2-7 3 si n p +2 c o s（p）2+2=4 si n（p +）2+2 ,1 2 1 2 6.当（P =二时，也1 +11取得最大值为 竺。1 0 分3 I W I PM 32 3.选修 4-5：不等式选讲（1 0 分）已知函数/（戈）=x+a+x-2a0（1）若 4 =1,解不等式/（X）z 0的实数y、z,若总存在实数x,使/（x）=），+?一，求实数a的取值范围。（y-z）-zy-_ 1 （_ 1 2【解析】（1）当。=1,/（x）=|x+l|+|x-2|5,即 或一 一 一 或 4 ,2 分1 -2%5 3 5 2 x-l 5解 得-2 v x v-l 或-或 2 Vx 3,3 分-2 x 3 ,即不等式/(%)5 的解集为x|-2 x z 0,由基本不等式得：y+-二一=(y-z)+-二一 +z 3 x3 (y-z)x-一二一 xz=3 .7 分(y-z)-z(y-z)-z v(y-z)-z当且仅当y=2、z=l 时等号成立，y+5 的取值范围为 3,+o o),8分(y-z)-z：/(x)=|x+a|+|x-2。以3 a|,二 /(x)的值域为|3 a|,+8),.,.|3|3,即实数a的取值范围为-1,1 。1 0 分