如图在平面直角坐标系中二次函数y=ax26xc的图象经过点A中学教育中考中学教育试题.pdf

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1、（2012 上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A（4，0）、B（-1，0），与 y 轴交于点 C，点 D 在线段 OC 上，OD=t，点 E 在第二象限，ADE=90，tanDAE=1 2，EFOD，垂足为 F（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段 EF、OF 的长（用含 t 的代数式表示）；（3）当ECA=OAC 时，求 t 的值 解 析（1）已知点 A、B 坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）关键是证明 EDFDAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解；（3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：GCA O

2、AC，得到 CG、AG 的长度；然后利用勾股定理求得 AE、EG 的长度（用含 t 的代数式表示）；最后在 Rt ECF 中，利用勾股定理，得到关于 t的无理方程，解方程求出 t 的值 解 答解：（1）二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A（4，0）、B（-1，0），16a+64+c=0 a-6+c=0，解得 a=-2 c=8，这个二次函数的解析式为：y=-2x2+6x+8；（2）EFD=EDA=90 DEF+EDF=90，EDF+ODA=90，DEF=ODA EDFDAO EF DO=ED DA ED DA=tanDAE=1 2，EF DO=1 2，EF t=1 2，EF=1 2

3、t 同理 DF OA=ED DA，DF=2，OF=t-2 （3）抛物线的解析式为：y=-2x2+6x+8，C（0，8），OC=8 如图，连接 EC、AC，过 A 作 EC 的垂线交 CE 于 G 点 ECA=OAC，的解析式求线段的长用含的代数式表示当时求的值解析已知点坐标用待定系数法求抛物线解析式即可关键是证明然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解如解答图通过作辅助线构造一对全等三角形得到的长答解二次函数的图象经过点解得这个二次函数的解析式为同理抛物线的解析式为如图连接过作的垂线交于点在与中如图过点作轴于点则在中由勾股定理得在中由勾股定理得在中由勾股定理得即解得不合题意舍

4、去在 GCA 与 OAC 中，GCA=CAO AC=AC COA=CGA，GCA OAC，CG=4，AG=OC=8 如图，过 E 点作 EMx 轴于点 M，则在 Rt AEM 中，EM=OF=t-2，AM=OA+OM=OA+EF=4+1 2 t，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2=(4+1 2 t)2+(t-2)2；在 Rt AEG 中，由勾股定理得：EG=AE2-AG2=(4+1 2 t)2+(t-2)2-82=5 4 t2-44 在 Rt ECF 中，EF=1 2 的解析式求线段的长用含的代数式表示当时求的值解析已知点坐标用待定系数法求抛物线解析式即可关键是证明然后利用相似三角形对应边的

5、比例关系以及三角形函数的定义求解如解答图通过作辅助线构造一对全等三角形得到的长答解二次函数的图象经过点解得这个二次函数的解析式为同理抛物线的解析式为如图连接过作的垂线交于点在与中如图过点作轴于点则在中由勾股定理得在中由勾股定理得在中由勾股定理得即解得不合题意舍去t，CF=OC-OF=10-t，CE=CG+EG=5 4 t2-44+4 由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即(1 2 t)2+(10-t)2=(5 4 t2-44+4)2，解得 t1=10（不合题意，舍去），t2=6，t=6 的解析式求线段的长用含的代数式表示当时求的值解析已知点坐标用待定系数法求抛物线解析式即可关键是证明然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解如解答图通过作辅助线构造一对全等三角形得到的长答解二次函数的图象经过点解得这个二次函数的解析式为同理抛物线的解析式为如图连接过作的垂线交于点在与中如图过点作轴于点则在中由勾股定理得在中由勾股定理得在中由勾股定理得即解得不合题意舍去