直线的参数方程圆锥曲线的参数方程及其应用等高中数学中学教育高考中学教育高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一.教学内容：直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。基本知识点 （1）直线的参数方程 标准形式：:),y,x(M000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点 )t(sintyycostxx00为参数 一般形式 )1ba t(btyyatxx2200为参数且 （2）参数 t 的几何意义及其应用 标准形式：)y,x(Mt,)t(sintyycostxx00000的几何意义是表示定点中为参数 的数量的有向线段到直线上动点MMy)(x,M0 :t,MM0故即 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分

2、别为 t1,t2，则弦长|AB|=|t1-t2|定点 M0是弦 M1、M2的中点t1+t2=0 学习必备 欢迎下载 设弦 M1，M2中点为 M；则点 M 相应的参数2ttt21M （3）圆锥曲线的参数方程 )(sinrycosrxryx222为参数的参数方程为圆 轴 正 方 向 的 旋 转 角的 几 何 意 义 动 半 径 对 于其中x 其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sinbycosax1byax2222 角）。)(btgyasecx为参数双曲线的参数方程为 抛物线 y2=2px 的参数方程为 )(tpt2ypt2x2为参数 （4）极坐标系的基本概念。在平面内任取一个定点 O，叫做

3、极点，引一条射线 Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点 M，用 表示线段 OM 的长度，表示从Ox 到 OM 的角度，叫做 M 的极径，叫做点 M 的极角，有序数对（，）就叫做点 M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。（5）极坐标与直角坐标的互化 互化条件：极点与直角坐标系原点重合；极轴与直角坐标系 Ox 轴重合；两坐标系中的长度单位统一。互化公式 及其应用极坐标系曲线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的参数方程标准形式过点且倾角为的直线的参数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点

4、到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互化互化条件极点与直角坐标系原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标学习必备 欢迎下载 )0 x(xytgyx)2(sinycosx)1(222 （6）曲线的极坐标方程 定义：在极坐标系中，曲线可以用含有、这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标

5、方程。直线与圆的极坐标方程。过极点的直线方程=0（R）过点 A（a,0），倾角为 的直线方程 sin)sin(a 以极点为圆心，半径为 r 的圆的方程=r 圆心在 C（a,0），半径为 a 的圆的方程=2acos 圆心在（0，0），半径为 r 的圆的方程 220002r)cos(2【例题选讲】例 1 两点与双曲线交于的直线作倾角为的右焦点过双曲线B,Al45F116y9x22，M 是 AB 的中点，求|MF|。解：方法一 依题意 a=3,b=4,c=5 所以 F(5，0)，又直线 l 的倾斜角为 45 度 所以 k=1 5xyl的方程为 及其应用极坐标系曲线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的

6、参数方程标准形式过点且倾角为的直线的参数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互化互化条件极点与直角坐标系原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标学习必备 欢迎下载 5xy116y9x22和联立

7、0369x90 x7:2得 7805xy7452xxxMM21M 2760|MF|解法2：依题意 l 的参数方程为：116y9xt22yt225x22代入 0512t2160t72得 27802|21ttMF 小结：方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数 t 的几何意义，使求解过程变得简洁，同学们可以多尝试。例 2 sin3ycos2mx,椭圆在直角坐标系中 (m 为常数，是参数)，和抛物线 )t(t6yt23x2为参数有交点，试求 m 的取值范围。及其应用极坐标系曲线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的参数方程标准形式过点且倾角为的直线的参数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意

8、义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互化互化条件极点与直角坐标系原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标学习必备 欢迎下载 解：解法 1 化椭圆方程为普通方程。)1(012y4)mx(322 抛物线方程化为普通方程为 y2=6x-9 (2)由（

9、1）（2）联立消去 y 得 x2+2(4-m)x+m2-16=0 (3)因为椭圆与抛物线有交点 所以方程（3）的判别式：0)16m(4)m4(422 4m解得 23x,0),23(,)23x(6y2故开口向右顶点坐标为又 23m2824mm282)m4(x(3)得由 m2112m-82整理得 2mm114121m8320m211 27m21解得 若,m,23m2824m值不存在时 27m21m,的取值范围为综上可知 解法 2：根据题意，椭圆与抛物线有交点，而抛物线化为普通方程为 y2=6x-9 (1)及其应用极坐标系曲线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的参数方程标准形式过点且倾角为的直线的参

10、数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互化互化条件极点与直角坐标系原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标学习必备 欢迎下载 又椭圆的方程为：)2()(sin3ycos2mx为参数 9cos12

11、m63sin(1)(2)2得代入把 4)2(cos21m:2整理得 为最小值时当21429m,1cos 27m21m27421m,1cos的取值范围为为最大值时当 例 3 极坐标系中，圆=4cos+3sin的圆心坐标是（）)54arcsin,5.(B)53arcsin,25(.A )54a r c s i n,25.(D)53arcsin,5(.C 解法一：化为圆的一般方程。)53arcsincos(5)43arctgcos(5sin3cos4即 0)25()25()53arcsincos(252222 )53arcsin,25(圆心坐标为 故选 A。解法 2 依互化关系求。及其应用极坐标系曲

12、线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的参数方程标准形式过点且倾角为的直线的参数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互化互化条件极点与直角坐标系原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标学习必备 欢

13、迎下载 :sin3cos4的直角坐标系方程是 425)23y()2x(y3x4yx2222即 532523sin,25)23(2),23,2(22其极坐标可求圆心的直角坐标是 例 4 被圆截得的弦直线半径为的圆心为已知圆)R,(05,),2(6,C 长为 8，求 的值。解法一：得一 般 方 程 之 中代 入 圆 的 极 坐 标 系 下 的及半径将圆心坐标,5r)2,6(011sin122 011sin122由 8|-|11sin12011sin122121212又得 644)(21221 64114)sin12(2 及其应用极坐标系曲线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的参数方程标准形式过点且

14、倾角为的直线的参数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互化互化条件极点与直角坐标系原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标学习必备 欢迎下载 323023sin36sin12或又从而得 解法 2

15、（几何法）C B D A O x 设直线与圆 C 相交于 A、B 两点 如图作 CD AB 于 D 则|CD|=3，|OC|=6 2163|OC|OD|cos|323),021cos或 解法 3 化为直角坐标方程后求解。【同步类型题选】1.)(|AB|,t,tBA,)t(btyyatxx2100等于则对应的参数值是上两点为参数直线 及其应用极坐标系曲线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的参数方程标准形式过点且倾角为的直线的参数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中

16、的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互化互化条件极点与直角坐标系原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标学习必备 欢迎下载|tt|.B|tt|.A2121 22212122ba|tt|.D|tt|ba.C 2.)(2P(-2,3)t(t23yt2-2x的点的坐标是的距离等于上的点到为参数直线 A.(-4,5)B.(-3，4)C.（-4，5）或（0，1）D.（-3

17、，4）或（-1，2）3.)(,0ab),t(btyyatxx00则直线的倾斜角为为参数直线 abarctg.Babarctg.A abarctgDabarctgC.4.)(cos22)4D(2,-),34,2C(-),4B(2,),3(0,A上的点的个数有中在曲线点 A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知点 P 的极坐标为（1，），那么过点 P 且与极轴垂直的直线的方程为（）。A.=1 B.=cos cos1.cos1.DC 6.)()4cos(所表示的曲线为 A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 7.曲线=sin和 2sin=1 的交点个数是（）。8.)(,22)4sin(则极点到直线

18、的距离为已知直线的极坐标方程 及其应用极坐标系曲线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的参数方程标准形式过点且倾角为的直线的参数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互化互化条件极点与直角坐标系

19、原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标学习必备 欢迎下载 及其应用极坐标系曲线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的参数方程标准形式过点且倾角为的直线的参数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互

20、化互化条件极点与直角坐标系原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标学习必备 欢迎下载【试题答案】1.C 2.D（提示：把直线方程化为标准方程）3.D 4.D 5.C.（解三角形即得）6.D（化为直角坐标方程）7.3 个（数形结合）8.22 22)4,22(,22)4sin(:为且极点到该直线的距离表示过点解法一 的直线。解法二：将直线的极坐标化为普通方程为 x+y=1,极点即为原点，原点到直线的距离为 22（97 年，全国高考）及其应用极坐标系曲线的极坐标方程及其应用基本知识点直线的参数方程标准形式过点且倾角为的直线的参数方程的标准形式为为参数一般形式为参数且参数的几何意义及其应用标准形式为参数中的几何意义是表示定点到直线上动弦中点为则点相应的参数圆锥曲线的参数方程圆的参数方程为为参数其中的几何意义动半径对于轴正方向的旋转角的参数方程为椭圆角为参数其几何意义为离心双曲线的参数方程为为参数抛物线的参数方程为为参数极坐标系的基本对于平面内任一点用表示线段的长度表示从到的角度叫做的极径叫做点的极角有序数对就叫做点的极坐标系这样建立的坐标叫做极坐标系极坐标与直角坐标的互化互化条件极点与直角坐标系原点重合极轴与直角坐标系轴重合两坐标