勾股定理复习易错题四套题由简到难附带答案中学教育中考中学教育中考.pdf

《勾股定理复习易错题四套题由简到难附带答案中学教育中考中学教育中考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理复习易错题四套题由简到难附带答案中学教育中考中学教育中考.pdf（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 勾股定理练习卷 姓名 一、填空题 1三角形的三边满足a2b2c2，这个三角形是 三角形，它的最大边是 2在直角三角形ABC中，C90，BC24，CA7，AB 3在ABC中，若其三条边的长度分别为 9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 4如图 1 所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，正方形A，B，C的面积分别是 8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm2 5如图 2，在ABC中，C90，BC60cm，CA80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分钟 20cm的速度沿CAABBC的路径再回

2、到C点，需要 分钟的时间 6已知x、y为正数，且x2-4+(y2-16)20，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 7在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为 2.5米的梯子，要想把拉花挂在高 2.4 米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙 米处 8 如图 3 是 2002 年北京第 24 届国际数学家大会会徽，由 4 个全等的直角三角形拼合而成，若图中 大小 正方 形 的面积 分别 为 52 和 4，则直 角三 角 形的两 直角 边分 别为 和 （注：两直角边长

3、均为整数）二、选择题 1下列各组数为勾股数的是（）A6，12，13 B3，4，7 C4，7.5，8.5 D8，15，16 2要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物 5m，顶端离地面 12m，则梯子的长度为（）A12m B13m C14m D15m 学习必备 欢迎下载 3 直角三角形两直角边边长分别为 6cm和 8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A10cm B3cm C4cm D5cm 4若将直角三角形的两直角边同时扩大 2 倍，则斜边扩大为原来的（）A2 倍 B3 倍 C4 倍 D5 倍 5下列说法中，不正确的是（）A三个角的度数之比为 134 的三角形是直角三角形 B三个角的

4、度数之比为 345 的三角形是直角三角形 C三边长度之比为 345 的三角形是直角三角形 D三边长度之比为 94041 的三角形是直角三角形 6三角形的三边长满足关系：(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是（）A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 7某直角三角形的周长为 30，且一条直角边为 5，则另一直角边为（）A3 B4 C12 D13 8如果正方形ABCD的面积为 29，则对角线AC的长度为（）A23 B49 C 23 D29 三、简答题 1（10 分）如图 4，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？2（10 分）如图 5 所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，

5、若AB60m，BC84m，AE100m，则这条小路的面积是多少?3（10 分）如图 6，在ABC中，BAC120，B30，ADAB，垂足为A，CD1cm，求AB的长 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两

6、直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 4（10 分）小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方案吗？5（10 分）如图 7，在ABC中，ABAC25，点D在BC上，AD24，BD7，试问AD平分BAC吗？为什么？6（10 分）如图 8 所示，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且ABBC 求证：ACCD 形中在中若其三条边的长度分别为则以两

7、个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 形中在中若

8、其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习

9、必备 欢迎下载 参考答案：一、1直角，a 225 3108 417 512 620 70.7 84，6 二、14CBDA 58BBCA 三、1（1）5x；（2）24x 22240m 33cm 4略 5所以AD平分BAC，理由略 6证明略 四、（1）84，85（2）任意一个大于 1 的奇数的平方可以拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数（3）略 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜

10、边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗

11、牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 八年级下册第十八勾股定理水平测试 一、填空题（每小题 3分，共 24分）1一个三角形的三个内角之比为 123，则三角形是 三角形；若这三个内角所对的三边分别为a、b、c（设最

12、长边为c），则此三角形的三边的关系是 2已知等腰直角三角形的斜边长为 2，则直角边长为 ，若直角边长为 2，则斜边长为 3在 RtABC中，C90，若AB41，AC9，则BC ；若AC1.5，BC2，则AB 4已知两条线段的长分别为 11cm和 60cm，当第三条线段的长为 cm时，这 3 条线段能组成一个直角三角形 5 如图 1，将一根长 24 厘米的筷子，置于底面直径为 6 厘米，高为 8 厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米 6如图 2，ACCE，ADBE13，BC5，DE7，那么AC 7等腰直角三角形有一边长为 8cm，则底边上的高是 ，面积是 8如图 3，一个机器

13、人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是 二、选择题（每小题 3分，共 24分）1 如图 4,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为（）A4 B8 C16 D64 2小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走 50 米，小丽走直线用了 10 分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了 6 分钟，从家到图书馆用了 8 分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（）A锐角 B直角 C钝角 D不能确定 3 一直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边与斜边长的和是49cm,则斜边的长

14、（）A18cm B20cm C24cm D25cm 4 如图 5，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（）A16 B18 C19 D21 5 在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为 18、8，则较长直角边的长为（）A20 B16 C12 D8 6在ABC中，若AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长是（）A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 7如图 6，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）ACD、EF、GH BAB、EF、GH CAB、CD、GH DAB、C

15、D、EF 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两

16、直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 8如图 7，在ABC中，C90，D为BC边的中点，DEAB于E，则AE2-BE2等于（）AAC2 BBD2 CBC2 DDE2 三、简答题（共 58分）1一个三角形三条边的比为51213，且周长为 60cm，求它的面积 2在数轴上作出表示29的点 3如图 8，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB3cm，BC12cm，CD13cm，AD4cm，东东由此认为这个四边形中A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断A是直角？4如图 9，一游泳池长 48 米，小方和

17、小朱进行游泳比赛，小方平均速度为3 米/秒，小朱为 3.1 米/秒但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距 14 米按各人的平均速度计算，谁先到达终点?形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则

18、直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 5如图 10（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图 10（2）所示 已知展开图中每个正方形的边长为 1 求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？四、拓广探索（本题 14分）已知：在 RtABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c，设ABC的面积为S，周长为l（1）填表：三边a、b、c abc Sl 3、4、5 2 5、12、13 4 8、15、

19、17 6 （2）如果abcm，观察上表猜想：Sl (用含有m的代数式表示)（3）证明（2）中的结论 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要

20、登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 参考答案：一、1直角，222abc 21，2 340，2.5 461 或3 479 514 612 74 或4 24，16 或32 810 二、14DBDC 58CCBA 三、12120cm 2图略 3不正确，可添加DBBC或5cmDB 4小方先到达终点 5最长的线段长为10这样的线段可画4 条 四、解：（1）从上往下依次填12，1，32；（2）4Sml；（3）证明略 Ww w.x kb 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所

21、有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 点击勾股定理之特色题 本文将在各地课改实验区的中考试题中

22、，涉及勾股定理知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏 一.清新扮靓的规律探究题 例 1（成都市）如图，如果以正方形 ABCD 的对角线 AC为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，已知正方形 ABCD 的面积1S为 1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23SS，Sn（n为正整数），那么第 8 个正方形的面积8S _【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一 般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题对于 此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：2111S ，22(2)2

23、S 2324S 24(2 2)8S 照此规律可知：25416S，新 课 标第 一网 观察数 1、2、4、8、16 易知：0123412,22,42,82,162，于是可知12nnS 因此，8 17822128S 二.考查阅读理解能力的材料分析题 例 2（临安）阅读下列题目的解题过程：已知 a、b、c 为的三边，且满足，试判断的形状 解：2222222222()()()()()ABCcabababBcabC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：（3）本题正确的结论为：.【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于

24、“判断纠错型”题目集中考查了因式分解、勾股定理等知识在由得到等式2222222()()()cababab没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子ABCDEFGHIJ 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角

25、三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 22ab 若220ab，则有()()0ab ab，从而得ab，这时，ABC为等腰三角形因此：（1）选 C（2）没有考虑220ab(3)ABC是直角三角形或等腰三角形 三.渗透新课程理念的图形拼接题 例 3（长春）如图，在 RtABC中，C=90，AC=4，BC=3 在 RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示 要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示

26、例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用 0.5 毫米的黑色签字笔画 出正确的图形）示例图 备用图 【解析】：要在 RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识下面四种拼接方法可供参考 四.极具“热点”的动态探究题 例 4（泉州）:如图，一架长 4 米的梯子 AB斜靠在与地面 OM垂直的墙壁 ON上，梯子与地面的倾斜角 为60 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所

27、有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 求 AO与 BO的长；若梯子顶端 A沿 NO下滑，同时底端 B沿 OM向右滑行

28、.如图 2，设 A点下滑到 C点，B点向右滑行到 D点，并且 AC:BD=2:3，试计算梯子顶端 A沿 NO下滑多少米?X k b1.c o m 【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求解，还是容易解答的 AOBRt中,O=90,=60,OAB=30，又4 米，122OBAB米.由勾股定理得：22OAABOB2242122 3（米）.设2,3,ACx BDx在CODRt中,2 32,23,4OCx ODx CD 根据勾股定理:222O

29、CODCD 2222 32234xx-213128 30 xx 0 x 0381213x 8 31213x 所以，AC=2x=16 32413 即梯子顶端A沿NO下滑了16 32413米.形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分

30、别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 勾股定理中的常见题型例析 勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题 例 1 如图 1，设四边形ABCD是边长为 1 的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去 （1）记正方形ABCD的边长为1a1，依上述方法所作的4

31、a正方形的边长依次为2a，3a，4a，na，求出2a，3a，的值 （2）根据以上规律写出第n个正方形的边长na的表达式 分析：依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律 解：(1)四边形ABCD为正方形，AB=BC=CD=AD=1 由勾股定理，得AC222ABBC，同理，AE=2，EH=2 2即 a2=2，a3=2，a4=2 2(2)011(2)a ，122(2)a，232(2)a ，342 2(2)a，1(2)nna 1,nn是自然数 点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品

32、质和解决问题的能力具有十分重要的作用 二、动手操作题 例 2 如图 2，图（）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c图（）是以c为直角边的等腰直角三角形请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形 （）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（）用这个图形证明勾股定理；（）假设图（）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）解：（1）所拼图形图 3 所示，它是一个直角梯形（2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为形中在中若其三条边的长度分别为则以

33、两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 211(

34、)()()22ab abab 又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：2111222ababcXk b1.c om 221111()2222abababc 222abc（3）所拼图形如图 4 点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。三、阅读理解题 例 3 已知a，b，c为ABC的三边且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状小明同学是这样解答的 解：a2c2b2c2=a4b4，2222222cababab 222?cab 订正：ABC是直角三角形 横线与问

35、号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程”请你帮助小明订正此题，好吗？分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺因此，本题可作如下订正：解：a2c2b2c2=a4b4，2222222cababab 222220abcab，220ab或222cab ab或222cab ABC是等腰三角形或直角三角形 点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞 四、方

36、案设计题 例 4 给你一根长为 30cm的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案 分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决 解：方案一：分别截取 3cm，4cm，5cm；方案二：分别截取 6cm，8cm，10cm；方案三：分别截取 5cm，12cm，13cm 点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成既要思考，又要动手让学生在这个过程中，体会做数学的快乐 五、实际应用题 例 5 如图 5，三个正方形形状的土地面积分别是 74 英亩、116 英亩、370 英亩，三个正形中在中若其三条边的长度

37、分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载

38、 方形恰好围着一个池塘现要将这 560 英亩的土地拍卖，如果有人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？分析：巴尔教授解决这个问题时首先 发 现三个正方形的面积74、116、370 相当于池 塘 的三条边的平方，因而联想到勾股定理，得74=52+72，116=42+102，370=92+172于是作 出 图6，运用勾股定理的逆定理，问题就得以解决 解：74=52+72，AB是两直角边分别 为5和 7 的直角三角形的斜边，作出这个直角 三 角形，得 RtABE 同理，作 RtBCF，其中BF=4，FC=10延长AE、CF交于D，则

39、AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，ACD是直角三角形，ADC=90 ABCADCAEBBCFEDFBSSSSS=11117 97 51044 711222 点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做

40、的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 勾股定理中的易错题辨析 一、审题不仔细，受定势思维影响 例 1 在ABC中，,ABC 的对边分别为,a b c，且2()()ab abc，则（）（A）A为直角 （B）C为直角 （C）B为直角 （D）不是直角三角形 错解：选（B）分析：因为常见的直角三角形表示时，一般

41、将直角标注为C，因而有同学就习惯性的认为C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222abc，即222abc，因根据这一公式进行判断.正解：222abc，222abc.故选（A）例 2 已知直角三角形的两边长分别为 3、4，求第三边长.错解：第三边长为2234255.分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为 3 和 4 时，斜边长为 5.但这一理解的前提是 3、4 为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.正解：（1）当两直角边为 3 和 4 时，第三边长为 2234255；（2）当斜边为 4，

42、一直角边为 3 时，第三边长为 22437.二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理 例 3 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）（A）1、2、3 （B）2223,4,5 （C）1,2,3 （D）3,4,5 错解：选（B）分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足222abc的形式.正解：因为222123，故选（C）例 4 在 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时 8 海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到 M岛，乙船到 P岛，两岛相距 3

43、4 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？错解：甲船航行的距离为 BM=8 216（海里），乙船航行的距离为 BP=15230（海里）.22163034（海里）且 MP=34（海里）MBP为直角三角形，90MBP，乙船是沿着南偏东30方向航行的.分析：虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只

44、蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 222abc，则90C .错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用.正解：甲船航行的距离为 BM=8 216（海里），乙船航行的距离为 BP=152

45、30（海里）.22216301156,341156，222BMBPMP，MBP为直角三角形，90MBP，乙船是沿着南偏东30方向航行的.灵活应用勾股定理 勾股定理在几何计算或验证中，均有十分广泛的应用，请看以下几例 一 计算问题 例 1 一个零件如图所示，已知 AC=3 厘米 AB=4厘米 BD=12厘米，求 CD的长 解：在 RtABC中 根据勾股定理知：BC2AC2+AB2=32+42=25 在 RtCBD中 根据勾股定理知：CD2BC2+BD2=25+122=169 CD 0 CD=13厘米 例2 如图 在四边形 ABCD 中，已知四条边的比 AB:BC:CD:DA 2：2：3：1，且B

46、90，则DAB的度数 分析：这道题涉及到角度的求解，需要利用到勾股定理的逆定理（如果三角形的三边长 a,b,c满足 a2+b2 c2，那么这个三角形是直角三角形）解：设 DA=m（m 0）则 AB 2m BC=2m CD=3m 在 RtABC中，由 AB BC=2m 知BAC 45，又由勾股定理得 AC2AB2+BC2=（2m）2+（2m ）2=8m 2 AC2+AD2=（8m）2 +m2=9m2 CD2=（3m）2=9m2 AC2+AD2 =CD2 从而DAC 90 DAB DAC+CAB=90+45=135 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所

47、有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 二 推理验证 例3 如图 在长方形 ABCD 中，AB=

48、5厘米 在 CD边上找一点 E，沿直线 AE把ABE折叠，若点 D恰好落在 BC边上点处，且ABF的面积是 30 平方厘米，求DE的长 分析：本题涉及到折叠翻转的知识，需要注意的是在折叠或翻转过程中形成的轴对称关系，然后利用勾股定理，通过设未知数解方程来求解 解：因为ABF的面积是 30 平方厘米，AB=5厘米 所以215BF30，BF12 在 RtABF中，由勾股定理，得 AF2=52+122169 所以 AF=13 由题意，知AFE A 所以 AD AF 13 所以 BC=13 所以 FCBC BF13121 设 EFDE=x则 EC=5 x 在 RtEFC中，由勾股定理，得 EF2EC2

49、+FC2 所以 x2=（5x）2+12 解得cm513 即 DE的长是cm513 三 折纸问题 形中在中若其三条边的长度分别为则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是如图所示所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形其中最大的正方形的边长为正方形的面积分别是则正方形的面积是如图在中一只蜗牛那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为在布置新年联欢会的会场时小虎准备把同学们做的拉花用上他搬来了一架高为米的梯子要想把拉花挂在高米的墙上设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上小虎应把梯子的面积分别为和则直角三角形的两直角边分别为和注两直角边长均为整数二选择题下列各组数为勾股数的是要登上

50、某建筑物靠墙有一架梯子底端离建筑物顶端离地面则梯子的长度为学习必备欢迎下载直角三角形两直角边边长分别为学习必备 欢迎下载 近年来出现的折纸问题往往考察学生对轴对称 勾股定理等知识的理解及应用能力下面举例说明：例 4 （山东初中数学竞赛）如图，矩形 ABCD 中，AB 8，BC 4，将矩形沿 AC折叠，点 D落在 D处，则重叠部分AFC的面积为 解：DCA和 DCA关于 AC对称，DCA=DCA 又DC AB DCA=CAB CAB=DCA AF=CF 设 AF=x则 CFX,BF=8X 在 RtBCF中，由勾股定理得 x2=42+（8x）2 从而解得 x=5 102452 BCAF 例 5 （