2021届全国新高考数学冲刺复习 二项式定理题型归纳.pdf

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1、2021届全国新高考数学冲刺复习二项式定理题型归纳知识归纳知识点一二项式定理二项式定理公式(4+力”=心/+以*-%+-+2(-3)3/=-2 7 0X2/,令犬的系数为-2 7 0.故答案为：-2 7 0.跟踪训练2 (1)在 修-的 展 开 式 中，收 的 系 数 为(用 数 字 作 答).(2)二项式(2%2 -6的 展 开 式 中 的 常 数 项 是.(用数字作答)(3)(x-2 y/展开式中 3 y3 的系数为解 二项式停 _|)5 的展开式的通项4+1 =C.(；)(-j)r=展(一 2)r -(|)5-r.x5-2 r,令 5 2 r =3 ,解得r =1 ,则7 2 =Cl-(

2、2)1-(J ,x3=x3,/的系数为一g ,故答案为：一|.O(2)有题意可得，二项式展开式的通项为：Tr+1=C g(2/)6-r(_：)=(_1)r26-rcrx12-3r令1 2-3 r=0可得r=4，此时岂=2?党=60.(3)因为(x-2yA的展开式的通式为：7；+1=帽”-r(2y)r,当r=3时，T4 (76%3(2y)3 160 x3y3.故展开式中炉炉的系数为160.故答案为：-160.型 三 与杨辉三角有关的问题例 3(1)如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的所表示的数是()11 11 2 113 3 11 4

3、a 4 11 5 10 10 5 1A.2 B.4 C.6 D,8(2)我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前56项 和 为()A.2 0 6 0 B.2 0 3 8 C,4 0 8 4 D,4 1 0 8解(1)从第三行起头尾两个数均为1,中间数等于上一行肩上两数之和，所以“=3 +3 =6.故选：C.(2)n次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，例如5+1)2=/+2久+1,系数分别为1,2,1,对应杨辉

4、三角形的第3行，令x =l,就可以求出该行的系数之和；第1行为2。，第2行为2】，第3行为2 2,以此类推，即每一行数字之和构成首项是1,公比是2的等比数列，则杨辉三角形的前n行 的 和 为%=三?=2 一 1，若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,可看成以1为首项，以1为公差的等差数列，则及=与2当n =1 2时，7 1 2=工 =7 8,去除两端的1可得7 8 -2 3 =5 5,则此数列的前5 6项的和为：S 1 2 -2 3 +1 2 =21 2-1-2 3 +1 2 =4 0 8 4.故选：C.跟踪训练3 (1)杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1 2 6 1年所著的 详解

5、九章算法一书记载.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉三角迟3 9 3年.那么，第1 5行 第1 3个数是.(用数字作答)第0 行 1第 1行 1 1第2行 1 2 1第3 行 13 3 1第4行14 6 4 1(2)如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的 项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5 ,1 0 ,1 0 ,5 ,-,则此数列前2 1项的和为.解(1)第1行：Cf=1 ,盘=1 ,第2行：0=1,6=2，废=1 ,第3行：或=1，6=3 ,或=3，废=1 ,第 4 行：Cf=1 ,弓=4 ,叱=6，盘=4 ,Cf=1 ,观察可得第行第(1 W r i,令 1 2 4

6、 r =0 ,解得=3,则 常 数 项 为 优=4;二项式（/+:）4 中，令 X=1 ,得到（1 +1）4 =16,则所有项的系数之和为16.故答案为：4;16.类型六二项式系数定理的综合应用例6 若3%+十）展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项是（）A.1215 B.135 C.18D,9（2）二项式（x-4的展开式中，所有有理项的系数和是（)A.-6 B.-4 C.6D,.8（3）二项式（l+2x）3（l-x）4的展开式中无之 的系数是（）A.-24 B.12 C.6D,.6（4）若（+2）工一6 展开式的常数项等于-280，则”=（)A.-3 B.-2 C.2D,3（5）设

7、（2工 1）6 工6=（工一1）（4+6元+。2尢2+3元3+%尢4+。5元 ）,其中%,4 M2，/，。4，。5为实数，则 =，/+4+。2+/+。4+。5=（6）若+的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则=展开式中的常数项为_ _ _ _ _ _若%)。=-+a.+axx+a +X+q(3,则 4=%+/+%+%+%+4o=(8)若对x e R，恒有+(1 +月(/+乎+5x5+a6x6)，其中 a,a0,a1.%,4 e R,则 a=解 由题意 2=64,=6，通项为&|=。；(3尤)6-(1)=36-。06下，yjx令6-,=0 ,r=4,.常数项为32=1 35,故选B.由题意二项

8、式卜一石)展开式的通项公式为 J=C：.(_五).q .;5，当r=0时，则(_ l)y .尤七=_?;当=2时,则(T y.C l J J c I/u G x3；当 r=4 时，则(_)y=x2；所以所有有理项的系数和为l+6+l=8.故 选：D.(3)：(1 +2X)3 展开式的通项为C p31 2尤)，(IT)4展开式的通项为 广(_4根据多项式乘法规则和计数原理确定V的系数，应分3种情况：C 3-。(2 x)。.C J 4-2 (_%)2 =6/；C；.产(2 x)C F(T)|=-2 4 x2;第 产 仁 彳 广 仁 产 廿 力：口1,即 含/项 为(6 2 4+1 2)x 2=-6

9、 d ,故 选：D.(4),_办)展开式的通项公式为：几 产 和0)(一词=G(-4/I ,所以当人=3时，;项 的 系 数 为：仁(一 洲，-a x 的展开式无常数项，1%)所以(x +2)-ax展开式的常数项为：C；(a)3=2 8 0 ,解 得：a =2lx )故 选：C.(5)令 工=0可得1=一4=%=1,因为(2X_ 1)6=(X+X_ 1)6=C：X6+C5 5(X_I)+C：(X1)6 ,所以(2%-1)6-犬=4白 尸1)+建(X 1)6=(x-l)c；x5+C 4(x-l)+C：(x-1)5,则 C%5+屐1 4 一)+屐=/+4%+%/+%3+4%4+%5,令 工=1 ,

10、得4+4 +生+/+/+。5=C：=6 .故答案为：一1 ;6(6)的展开式中只有第4项的二项式系数最大所以=6;则 由 二 项 展 开 式 的 通 项 可 知+2)展开式的通项为(=0(勾，仔 =0.27喙，3令 3-彳厂=0 ,解得r=2 ,6 x 5所以常数项为(=C 22=一 厂X22=60,故答案为：6 ;6 0.根据题意即求x的系数：.lx C：o(-司+卜 金,(一 4=(。(1)+维 卜所以 4 =C；o (1)+C；()=3 5(2)令 x =l 得 1 +/+4+/+4 o=O,令 x =-l 得 _1+%_4+生一+0,0 =0 ,两式相加得：/+生+4+4 6+4+4

11、0=.故答案为：.3 5 (2).0(8)对 xeR，恒有+(1+乂/+甲+%5+。6%6)令x=l,代入可得-1 +=(),解得“=1因为 x7+a=(1 +x)(a()+q x+a5x5+4 尤 6)展开可得/+。=%+4%+。61 6+。0%+4 工 2+5X6 4-(26X7=%+(%+a jx+3 +4)1 6 +4/所以&+=1右。解得故答案为：1;一 1跟踪训练 6(1)24.已知 x(x2)7=4+4(x 1)+4 3 1)-+.+4(x I)8,则%+。6=()A .-1 4 B.0 C.1 4 D.-28（2）已知。+0 2 X 一，的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中

12、常数项为（I x 八 X）A .-80 B.-40C.40D.80已知（工一2）（龙+。5 =4 工 6+。5金+q x +g ,6 为常数，若=2 厕 4=（A .-7B.-2 C.3 D.7(4)若(x+l)5=%.4(1 1)+。2(1 1)2+.+5(工-1)5,贝1 10=()A .32B.1C.-1D.-32在回击的展开式中，系数的绝对值最大的项为（D -1 5户（6）在（1 +X+产）”的展开式中，*项的系数为（A .30B.45C.60D.90（7）已知（x 一5）6=UQ+q x+a）x+ax5+5 ,解得加=一1所以仁=1 x C (-1)+(-2)x 葭(-1)=-7故

13、选：A(4)因为(X+1)5 =%+6 Z1(%-1)+2(X-1)2 4-.4-6 75(X-1)5,所以令x=l得：旬=2 5 =3 2.故 选:A.回会二项式展开式为：几|=(I、(10-幻/i x2设系数绝对值最大的项是第k+1项，可得可得、2)/1、1NC：；-生4 1k1 解得*4k+2kwN*k=3在的展开式中，系数的绝对值最大的项为：1=C01 Y7X2_|33(6)在(1 +X+j202b)的展开式中，通 项 公 式 为=5=一1 5 户.2020对于|x+1彳2020,通项公式为 如 1 =。”/202仇，H r,r、kGN g o.令，2021%=2,可得=2+2021%

14、,故 4=0,r=2,故*项 的 系 数 为 C；)C；=45,故 选：B.（7）因为（x 0）6则展开式中含X 的奇次幕的二项式系数分别为C g,点,或，当x =0 时，含X 的奇次幕的项之和为S=C：（甸1 0）5 +C：（闾-甸3 +燎（闾5（-=-6X23-20X23-6X23=-28,故 选：B.3当堂训练1 .已 知 呼+2可+22或+23戏+2”C j=7 2 9 则 C；解4丑 QnA.63 B.64 C.31 D.32（0、62.在。一%的 展 开 式 中，常数项为（）A.-15 B.15 C.-60 D.603 .（2 x-1）6 展开式中各项的系数和为（）A .-1B.1

15、C.26D.1 24.(2xy)3(x+2y)4的展开式中砂6的系数为()A .-32 B.32 C.64 D.-645,已知 3+C：3T+C；3-2+C：i 3 +C；=1 024,贝6.求 和：3c：+9C；+27C；+3C：=(G N*).7.求 值：1-241 9+4以9-+（-2严9嚼?8.在 x+工）的二项展开式中，常数项为C 29.二项式 或+-y,则该展开式中的常数项是1 0.（炉+，）5的展开式中，含 一 项 的 系 数 是（用数字填写答案）.X1 1 .|3%-|的展开式中的常数项为 _I x j1 2.代数式（炉+2）（二-4的 展 开 式 的 常 数 项 是（用数字作

16、答）X1 3.已知 A：=3OC；,设尤)=(%-或)（I）求的值；(I I )求，(x)的展开式中的常数项.1 4 .已知/(x)=(x-我)，/(无)的展开式的各二项式系数的和等于1 2 8 ,(1 )求的值；(2)求/(x)的展开式中的有理项；(3 )求/(x)的展开式中系数最大的项和系数最小的项.答案：1 .A【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知Cj +2C+22C+23C+-+2nC=(l+2)所以 3 =7 2 9 -36所以 =6则 以+或 +碇+C =26 C4=26 1 =63故选:A2 .D【详解】刀+|=0(1),2号3 3 1 2,令3 r-1 2 =0 ,即r=4

17、 ,.常数项为60,故 选：D3.B【详解】由题意，不妨设(2元 一 1)6=4+4%+/无 2+a6x6.令 x=l 得：16=/+q+%+4=1，即展开式中各项系数和为1.故 选：B4.C【详解】由题意，展开式中含召$的项为：C；(2x)(y)2 y x (2 +C；(2x)(y)3 c x(2 =64孙6,故所求系数为64.故 选：C.5.5【详解】c；3+C,3T+3+C；=C3”-1 +C：3T f +C：31-1”+；30 1=(3+1)=4=1 024=2i,即 2?”=，解得 =5.故答案为：5.6.4-1【详解】3C：+9C；+2 7 Q；+.+3C；=Ci+3 C；+9Q+

18、2 7；+.+3 C；1=(1 +3)-1 =4 1.故答案为4 -1 .7 .-1【详解】1-2 G o i9+/19-+(-2严嚼=1如9 .(一2)+C短 1刈8 .(2),C短 产”(一2)2+L +器 1。(一2浮9=0-2)2。=一1 .故答案为一1 .8.84.【详解】二项式(X +J)的展开式的通项公式为，令9-3 r =(),解得r=3 ,所以1+二)的 二 项 展 开 式 中，常数项为C；=8 4.故答案为：8 4 .9.180【详解】i o)1 0 -5 r的展开式的通项为7；,+1=C,；()10-f(4)r=2Co 丁 丁令 r=2，可得7；=22。=1 8 0，即展

19、开式的常数项是180.故 答案 为:180.10.10.【详解】解：因为二项式(+)5 的展开式的通项公式7 =q.(x 2 广=Q-x-3r令 1 0-3 r=4,解得 r=2,所以4=穹=1 0/所以含.一项的系数是10.故答案为：10.11.216【详解】乙=C：(3 x)-*=C 3 4，(-2)1令4-2=0，得 r=2所以常数项为：7；=C；-34-2-(-2)2=216故答案为：21612.3【解析】2 11的通项公式为1 旬=G（3）5T（一 1），=（一（%）X令 2 r 1 0 =-2，得，=4 ;令 2-1 0 =0，得 r=5.常数项为(I),。+2(-1)5(=5 2

20、 =3故答案为3.1 3 .(I)=8 ；(H)(=2 8 .【详解】.0时，/（x）的展开式中常数项是（）.-x2,x 0A.-7 0 B.-3 5 C.35 D.707.已知 2/一L）（七N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128,则其展开式中尤2的系数为（）A.280B.-280C.35D.-35/丫8.若 M +二 展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项为（）I x ）A.1B.5C.10D.2029,二项式(x-)的展开式中，第3 项的二项式系数比第2 项的二项式系数大9，则该展x开式中的常数项为()A.-160 B.-80 C.80 D.16010.+，当,=1,2,

21、3,4,5,6 时展开式的二项式系数表示形式.2 I.I 3 3 I.I 4X41（。+.$p 10$1（*+*）*.I 6 1s 20 15 6 I借助上面的表示形式，判断/I与“的值分别是（）A.5,9 B.5,10 C.6,10 D.6,9二、填空题11.在形如(a+匕)=C a +C，r t +.+C：a 方+C ”展开式中，我们把C；(r=0,1,2,.,)叫做二项式系数，贝 ij C：C：+第 C；+.+(1)”黑的值为12.化 简：32fl V+C：32-2+C：321+.+C；/.32=,13.住+2卜，一1的 展 开 式 的 常 数 项 是,(2 丫1 4 .二项式/一；展开

22、式中的常数项为_.【X 11 5 .(x-3)(+1)7的展开式中V的系 数 为 .(用数字填写答案)1 6 .(x2+2)L-j的展开式中的常数项为17.17 7-|二项展开式中的常数项为_ N X)1 8 .设-2)+。2%也 +。6%”，贝 心叫)+町+也 +，叫)=1 9 .|-J=的 展 开 式 中 的 常 数 项 的 值 是.(用数字作答)2 0 .(x +l)(2 x-l)6的展开式中无5的系数为四、解答题2 1 .已 知(笈 一 点)”的展开式中，第6项为常数项.(1 )求 的 值；(2)求展开式中含产的项的系数；(3)求展开式中二项式系数最大的项.22.在(6+产 的展开式中

23、，前3项的系数成等差数列，I 2飙)(1 )求的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中含X-的项的系数.23.已知 A：=5 6C：，且(1 2x)=%+%工+4%2+。3尤3+anx.(1 )求的值；(2)求 号+学+的 值.24.已知二项式(2x +J (eN)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5,按要求完成以下问题：(1 )求的值；(2)求展开式中常数项；(3)计算式子吁+媒?)屐2 4+C 2 3+煤2?+屐2+2的值.25 .已知(f+i)”展开式中各项系数之和等于 的展开式的常数项.(1 6,-X【5(1 )求(炉+1)”展开式的第2项；(2)若(a?

24、/+1)”的展开式的二项式系数最大的项的系数等于5 4，求a的值.答案:1 .D【详解】(2%2+3%+1)(4-1的展开式中各项系数之和为。令x =l 得=0 ,解得“=1.+3x+1、5+3 x+心一1）展开式的通项公式为：&1=唳（一1）=（一1）(-1)5 Cl=9故 选：D2.C【详解】由二项展开式。一，可得展开式的通项为&|=。嬴(一力，所 以 展 开 式 中 第2020项 为4020=C；落(T)如9=2020元2。？故 选：C3.A【详解】_20所以 2-20=0则=10,令 X j可得(I万2 一1 引)=源所 以 展 开 式 中 的 各 项 系 数 之 和 为 击.故 选：

25、A.4.C【点 睛】本题考查求二 项 展开 式 中 的 指定 项，属于基础题.5.C【详 解】3 6展 开 式 的 通 项 公 式 为：Y-3-x-2=(-l)r.32f-7-C；-xr r77 3令 r =r=52 2故 展 开 式 中 含 的 项 是 第6项.故 选：C.6.D【详解】函数=X）,x 0 当x 0 时/（x）=/（-/）=1 V+摄）=卜_*），其展开式的通项公式为：却=信 厂 U=（一1），3%”令 16 4厂=0,解得r=4;展开式的常数项为：7；=（T）4C；=70.故 选：D.7.A【详解】由题意，2=1 2 8，得=7.X X其二项展开式的通项0 1=牌 2丁）（

26、一厂了=（一 1 27；x,4-3r;由 14 3r=2 得 r=4,展开式中含V项的系数是（T）42 3 =2 8 0 .故 选：A.8 .C【详解】（f+彳）展开式的各项系数之和为3 2,令x =l ,得（1+。）=3 2 ,解得a=l,则 的 展 开 式 的 通 项 为7；+=G（x 2 j；能 =C E 5,令r =3 ,可得常数项为C；=l（）.故 选：C.9 .A【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9,即 戏 C；=9,”,2 2,“丁）=9,2一6 1 8 =0解 得：二6 ,二项式（一2）6的展开式中，通项（“=。6-（_ 2 ,X X2当尸3时，取得常数项，隼

27、|=C江3（一一y =_ 6 0.X故 选：A1 0 .c【详解】结合题意可得4 =3+3 =6,4 =4 +6 =1 0 ,故 选：C.1 1 .0【详解】.(4 +3 =C：Z +C%+。优-7/+C ”,令 a =l ,/?=-1 得C；+C；-C；+(-l)C,；=0.故答案为：012.10-1【详解】(32+1)=C x(32)x 1。+C；x 伊x l+.+C；T x(32)x I-1+C；x(32)x 1则 3方.。+C 32-2+c：.3 2 1 +q；-.32+l =(32+1)=10所以 32n 端 +C；32n-2+C；-3力 1 +.+C T 3?=10”1故答案为：1

28、01.13.3【详解】,14+2=-T(X2-1)+2(A：2 _ 1),且(f -1)5 的展开式的通项公式为 Tr+=C；-(X2)5 /*(-l)r=C P P0-2.(_)，令 10-2=2 得=4，令 10-2r=0得T*=5,+2(V 1)的展开式的常数项是F.cO/.eiy+z C.aQiy nS-Z u B,x 7 x故答案为：3.14.40【详解】展开式的通项公式为：小=或(/广_引=(2)y/，令 10 5左=0，得攵=2所以常数项为:%=(-2)2 C；=4().故答案为：40.15.14【详解】(X.3)(6+i y的展开式中尤,的系数为3C；+C；=-21+35=14

29、.故答案为：14.16.-25【详解】(X /)展开式的通项公式为：.(一，)=(一i y.c；j 6-2令 6 2尸=0 ,解得尸=3,./=(l)y=-20,令6-2 r =-2,解得，-=4,x2+2)|x|展开式中常数项为：2x(20)+15=25.故答案为:-25.17.-80展开式的通项公式为：Tr+i=C；x 2 丫-2%3所以当r=3 时常数项为-80.故答案为:-801 8.21【详解】的展开式的通项为&1=墨 卜 2)6-=(_2)。；产-3则 仆 2 _ 2)6=(-2)*2+=2)1 中+(-2)2 废 f +(2)3*+(-2)4 X。+(-2)5 G%-3+(2)6

30、 命+H4+.+n%=1 2+9+6+3+0+(3)+(-6)=21故答案为：211 9.-40(1 y【详解】由题意知，二 项 式2-力=的展开式的通项公式为I5-r-r 1 5-5-加=G 2 5,(-i)r.X=q-2 5,(一了 x丁，所以二项式(2 j7-g=)的展开式的常数项为C25-3-(-l)3=-40.故答案为：-4020.48【详解】因为(x+)(2x_l =X(2X-1)6+(2X-1)6,又(2%-球的展开式的通项公式为4+1 =Q (2x)(l)r=(-l)r-Q -26-r x，r=0,l,2,3,4,5,6.所以(x+l)(2x-l)6 的展开式中 V 的系数为:

31、(-l)2（3）通项公式：加=&（五 广 壶）=。；（；卜 咛,0*4 8,6 由 4T =-2,:.r =8,4可得含x的项的系数为域（1）8=上.2 25623.（1 ）15.（2）-1【详解】（D A：=56C：.（“一1乂一2乂一3）（一4）=56（一1）（“一2）（一3）（4）（一5）（一6）7-6-5-4-3-2-1岫 11HL（-5）（一6）整理可得：-如-=即川 60=0,故（一 15）（+4）=0解 得：=15或 =4（舍 去）（2）由（1 ）=15（1 一 2幻6=%+ClX+Cl-yX+.+6 Z|Sx15令x =0,可得%=1令i =；,可得(l-2,g)l 5=4o

32、+?+|i+养 i ao+y+|r+L+弱=可得如+与+L+桀=一12 22 21524.(1 )6;(2)60;(3)36.【详解】(1)依题意，C：:C；=2:5,即5 =(-1),解得=6；(2)由(1)知”=6,KO=&+看,A1 A 6-r 加=玛(2尸(7)=墨26-2,3/由6-y=0,得r =4,.展开式中常数 项 竦 TMGO.(3)令x =l得 燥2 6+2 5+/24+以2 3+屐22+或21+屋2()=36.25.(1 )4*6；(2).5 =土布【详解】，6解：(1)由 一 炉I 520-5令4+I为常数项，贝U 20-5/=(),.“=4,二常 数 项(=C；x曰=16.又(/+1)”展开式的各项系数之和等于2 ,由题意得 2=16,.=4,展开式的第二项为。：卜2)=4/；(2)由二项式系数的性质知，(/r+i y1展开式中二项式系数最大的项是中间项1,=54,a=.