2021届全国100所名校高考数学模拟示范试卷(理科)(七)附答案解析.pdf

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1、2021届全国100所名校高考数学模拟示范试卷(理科)(七)一、单选题(本大题共12 小题，共 6 0.()分)1.若a,b E R,i 为虚数单位，且(a +i)i=b+i,则()A.a =1,b=1 B.a =-1,b=1C.a=-1,b=-1 D.a=1,b=-12 .已知集合2 =x|/-3x 4 g(x)=x +2；f(x)=e-x,g(x)=T/(x)=lnx g(x)x,则在区间(0,+8)上的存在唯一“友好点”的是()A.B.C.D.6 .(文)在2 013年全国大学生运动会中，某高校从6 名大学生中选配2 名学生分别参加比赛，则某学生A 不被参加比赛的概率为()7 .下列程序

2、的运算结果为开始a=5:s=la=a-l 结束A.2 0 B.15 C.10 D.58.设1y(x)是周期为2的奇函数，当O W E 时，/(x)=2 x(l-x),则/(一|)=()A.-B.-C.-D.-2 4 4 29.记f(P)为双曲线捻-5=1 9 0/0)上一点 到它的两条渐近线的距离之和；当P在双曲线上移动时，总有f(P)2 b.则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1 j B.(1,|C.(1,2 D.(1(V 310.若对任意冢国演，浮 藏，(,血、越匚避)有唯一确定的.或知解与之对应，称庚状域为关于笈、般的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数 窗簿期为关于实数寓、岁的广义

3、“距离”：(1)非负性：，旌鼠削箜鲜，当且仅当然=,第=|修时取等号;(2)对称性：施%城=巽 第 檄；(3)三角形不等式：负时磁工题:碌嗡出黄盛对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数：典 工 威=一比/1；,典“威=拆-媛；施 降 威=J君-解；娥猿麒=碱城篮-感.能够成为关于的黑、般的广义“距离”的函数的所有序号是()A.B.C.D.(4)1 1 .已知函数y =2 s皿x *)co s(x +2COS2(X+-1,则函数的最小正周期7和它的图象上的一条对称轴方程分别是()A.T=2n,x =B.7 =2n,=C.T=n,x=D.T=7 T,x=-12.已知垂直竖在水平地面上相距2 0

4、米的两根旗杆的高分别为1 0 米和1 5 米，地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等，则点P 的 轨 迹 是()A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线二、单空题(本大题共4 小题，共 2 0.0 分)1 3 .如图，在豳轴蜴中，左露=瞰胪，/.=箍铲2 逊=博 ,过 烈 作 初 翻1的外接圆的切线磁，邮110，蹈与外接圆交于点国，则微用的/y/长为-C DX y-2 4 01 4.动点P(a,b)在区域y-y 2 0 上运动，则2 =管 的 范 围 是 .,y 01 5 .设 点 4 Q 1，y j、8(%2，、2)是函数y =/(x)(%i%)=x2-2%-1 在区间一 1,3 上 的“高

5、度”为.1 6 .一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥如图，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的士则较大圆锥与较小圆锥的体积之比为_.1 6三、解答题(本大题共7小题，共 8 2.0 分)1 7 .已知数列 的前n 项和为州,满足：Sn=2an-2n(n e A/*)(1)求证：数列 5+2 是等比数列；(2)若数列%满足%=l o g2(an+2),求数列 3 3 的前n 项和；an(3)(理科)若1 2 m2-5 7 n 对所有的n e N*恒成立，求m的取值范围.18.(12分)直三棱柱4 魏 2 W，鳏片中，点M、N分别为线段,鼻

6、鳞脚篮的中点，平 面 国 懿 J J 则(1)求证：MN平面 赢 花 窗(2)证明：B C1,平面城式腐盛19.某公司通过甲、乙两个团队销售一种产品，并在销售的过程中对该产品的单价进行调整.现将两个团近100天的日均销售情况统计如表所示:H均精傅.甲团队乙团队超过3 000件3 050不超过3 000件7050(1)是否有99%的把握认为产品的日均销售量是否超过3 000件与团队的选择有关；(2)现对近5个月的月销售单价和月销售量=1,2,3,4,5)的数据进行了统计，得到如下数表,求y关于x 的回归直线方程.参考公式：回 归 直 线 方 程;其 中 6=督考里 K2=y ox u Z xf-

7、n x2 月销售单价约阳(元/件)1010.51111.512月销售量力(万件)13121087n(ad-bc)2参考数据:于=542,乙 或=607.5.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2 fc)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63 510.82820.已知椭圆0：5+，=l(a b 0)的离心率为?，焦距为2.(1)求。的标准方程.(2)过。的右焦点F作相互垂直的两条直线，0%(均不垂直于工 轴)，k 交0 于4，8两点，%交。于C,。两点.设线段AB,CD的中点分别为M,N,证明：直线MN过定点.21 .已知函数/(%)=伉 =2ax ax

8、2,a G R.(1)求f (%)在区间(0,可上的最大值；(2)若/(%)V g(x)在(L+8)上恒成立，求实数Q的取值范围.22.在直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为(0 为参数)，将曲线C 上各点纵坐标伸长到(y s i r i u原来的2倍(横坐标不变)，得到曲线G.以坐标原点。为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程为4 p c o s。+3psin8-1 0 =0.(1)写出曲线Q的极坐标方程与直线/的直角坐标方程；(2)曲线Q上是否存在不同的两点M(p i，/),N(p 2，J 2)(以上两点坐标均为极坐标，Pi 0.p2 0,04/2 兀，00

9、2 2T T),使点M、N到2的距离都为1?若存在，求出|%-4 l 的值；若不存在，请说明理由.23 .已知正数a,b 满足工+2=1a 4b2 s(1)证明：E/曲(2)若存在实数%,使得|%+2|-=a +b,求Q,b.参考答案及解析1 .答案：D解析：v(a +i)i =b+i,1 +ai=b+i.1 =b,fa =1,.即，(2 =1,b=1,2.答案：D解析：本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题.求解一元二次不等式可得集合4再由交集运算得答案.解：集合力=xx2 3 x 4 0 =x|-1 x r 4即扇形的圆心角的弧度数是也故选A.5.答案：D解析：解：/(x

10、)-g(x)=/-2x+2=(X +1 2 1,.,.要使|fQo)-g(x()l S 1，则只有当而=1时，满足条件，在区间(0,+8)上的存在唯一“友好点”，.正确.9(x)-f(x)=x 百 +2=(a 2+：之(1,.不存在&e o,使|/(&)_ g(&)|W 1,.函数不存在“友好点”，二错误.设/i(x)=/(x)一 g(x)=ex+i,则函数/i(x)在(0,+8)上单调减，x r 0,/i(x)-+oo,x T+OO,/I(X)-0，使If Oo)-g(Xo)l 0),/i(x)=1 令八(x)0,可得x l,令/i(x)0,可得0 x 1,二当配=1.时,使|/O o)-9

11、(沏)1 4 1的a 唯一，工满足条件.故选：D.根 据“友好点”的定义，分别进行判断即可.本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分析问题的能力.6.答案：D解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用利用对立事件的概率计算公式求解.解：某学生4不被参加比赛的概率为：r “C*1 2Cl 3 3故选。.7.答案:A解析：试题分析：第一次循环：S=5,a=4；第二次循环：S=5 x 4,a=3；此时结束循环，输出S=5 x 4 =20,故答案为：20.考点：本题考查了当型循环结构点评：循环结构有两种形式：当

12、型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断.算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题.要注意对循环结果的归纳，这是本题的关键.8.答案：A俄 标 II*1 II 1解析：解：黄一3 =一 侬!；=一殿3 =一既然次：1一$=一白故选49.答案：C解析：解：设P(x,y),双曲线圣一=l(a 0,b 0)的渐近线为y=x,.r/pA _|bx-ayl I 叫+ayl、12bxi、2ab W-标福十 标辰-一 f.(P)Nb恒成立.b,A-0,b 0)的渐近线为y=土 ，由于P)=+2等 2 等，再

13、利用/(P)b恒成立即可得出.本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10.答 案:A解析：试题分析：对 于 函 数 舞 除 感=婢 也 满 足 非 负 性：谶舄静触电，当且仅当冢=,聚口电时取等号；满足对称性：猫隔藏=负:脾,球；*(霖，s)朴烂(出,喻=案产在64丝。?/邑 普产”住,，如，对任意的实数超均成立，因此满足三角形不等式：舞 降 蟒 式 舞“嚼 K 牌 5；厩.可知，跳感能够成为关于的理、节的广义“距离”的函数.至般地：=羯-,威 瞰，但是不仅超=寥=顿时取等号，然=蜜岸顿也成立,因此不满足新定义：关于的

14、京、萨的广义“距离”的函数；.般 薜 威=册 二 金，若 茄 薜 威=册 二 成立，则F(蜘-器)=4 -?不一定成立，即不满足对称性；(4)同理飘i匕 籁=磁吸或-，意不满足对称性.综上可知：只有满足新定义，能够成为关于的砥、萨的广义“距离”的函数.故选A.考点：新定义，函数的概念与表示.11.答案：C解析：解：y=2sin(x-)cos(x-)+2cos2(x+)-1n Ti=sin(2x )+cos(2x+)=sin2x cos2x=V2sin(2x+f (%)的最小正周期T=7T,令2%+7=7+kn(k e Z),得 =-4-kn(k G Z),4 2 8 2:.k=。时，/(%)的

15、对称轴方程为“今故选：c.根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简得一个角的一个三角函数的形式，再由三角函数的周期公式和对称轴方程的公式，即可求出f(x)的最小正周期及对称轴方程；本题主要考查了两角和公式，二倍角公式，正弦函数的周期性和对称性等问题.解题的关键是对三角函数基础知识的全面掌握.12.答 案:B解析：解：设两根旗杆44、分别在地面4、B 两处，不妨设4 4 1 =1 5m,BBr=1 0 m,地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等，设满足条件的点为P,则直角PAAL直角A P S B i，因此普=|;rD Z在地面上以4 B 所在直线为轴，以4 B 的中点0 为坐标原点，建立平面直角

16、坐标系，设P(x,y),4(1 0,0),B(1 0,0),则:J(%10)2+y2 _ 37(x+10)2+y2 2化简整理得：(x +2 6)2+y 2 =57 6因此在4、8 所在直线上距离B 点1 6 米4 点3 6 处的点为圆心，以2 4 为半径画圆，则圆上的点到两旗杆顶点的仰角相等，即：地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等的点P 的轨迹是在4、B 所在直线上距离B 点1 6 米(距离4点3 6 处)的点为圆心，以2 4 为半径的圆故选&设两根旗杆4 4 1、BBi 分别在地面4、B 两处，不妨设Aa=1 5m,BBX=1 0 m,地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等，设满足条件

17、的点为P，则直角PAAL直角A P B B i，因此普=|，建立平面直角坐标系，求出方程，即可求得结论.本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，正确求方程是关键.13.答案：5解析：试题分析：由题意得：无酬蜀=立 隧?=酸 所以庭=酸 辆 蟾T =碘 礴 嫡F蹄瓶丫=崎 用 藤=凝 械 谑F =幽 蜘1射 画 确f=阪由切割线定理得：愧萨=褊翁豳w 凝 1=酸 亘=晟考点：切割线定理14.答案：|,2由图可知，当P与4重合时，z有 最小值为聿=；当P与。重合时，z有最大值为2.故答案为：|,2.由约束条件作出可行域，然后结合z=哼的几何意义求得动点与定点连线斜率的最值得答案.本题考查了简

18、单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.15.答案：4解析：解：根据已知条件，71(-1,2),B(3,2)；A 07+(1-A)OB=A(-l,2)+(1-A)(3,2)=(3 4A,2);N(3 -4/1,2)；%M=%+3(1 A)=3 42；M点在/(x)图象上；”点的纵坐标为：16万16；1 +2,且一1 W 3-4 4 W 3,即0W 4W 1；M(3-42,16A2-16A+2)；MN=16|A2-A|；A=1时-不取到最大值不从而|MN|取最大值4；/(X)在 上 的 高 度 为 4.故答案为：4.根据函数/(%)高度的定义，想法求出点M,N的坐标即可表示出|M

19、N|,求其最大值即可：4(-1,2),8(3,2),%1 =-1,%2=3,所以便可求出N(3-4=2),M(3 44,16-16/+2),所以得到|MN|=16|22-2|,而根据M点在f(x)图象上可求出OS1,这样根据二次函数的图象即可求得I 一刈的最大值，从而求出f(x)在区间-1,3 上 的“高度”.考查对函数“高度”定义的理解，向量的坐标和点的坐标的关系，以及根据二次函数的图象求最值，并且弄清函数|矣-七和二次函数M-4 图象的关系.16.答案：i解析：本题主要考查几何体的应用，熟悉各种几何体的结构特征是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题.解：不妨设球的半径为：4；球的

20、表面积为：64兀，圆锥的底面积为：1271,圆锥的底面半径为：2 8；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是心-上百尸=2,所以圆锥体积较小者的高为：4-2 =2,同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：故答案为17.答案：(1)证明：当n e N*时，Sn=2an-2 n,当nN 2,nN*时，S“T=2即_ 1-2(n-1).一 ，得Qn=2an-2azi_1-2，an=2an_i+2,an+2=2(an_x+2).n+2 _ 2Qn-1+2 当

21、 九=1时，Si=2%2,则%=2,当7 1 =2时，2=6，A (an+2 是以为+2为首项，以2为公比的等比数列.(2)解：由(1)知an+2=4-2吁 兀an=2n+1-2.%=log2(an+2)=log22n+1=n+1,徨也_ =巴旦传+2 -2 i，则%=+V+器，Tn=套+而+普，一 ，得 押=套+套+摄+/-普1.7(1-pt)n+1=-1-i-4 1-2n+22=1+1-1-n-+-1-4 2 2n+1 2n+23 n+3-,4 2n+2，.T _ 3 n+3。-2-2n+1*(3)解：,12 m2-57n对所有的TIEN*恒成立,:，Tn(m2-5机)对所有的九G N*恒

22、成立，,九=1时，Tn取最小值7;=|-券=依题意有 (m2-5m)恒成立，解得1 6,6 3 5.100X100X80X120故有9 9%的把握认为产品的日均销售量是否超过3 0 0 0 件与团队的选择有关；(2)v x =1(1 0 +1 0.5 +1 1 +1 1.5 +1 2)=1 1,一 1y =久1 3 +1 2 +1 0 +8 +7)=1 0,.b=益=1%防-叵 _ 542-5x11x10 _ _3 2，一 E L 笳 一5斤2-607.5-5X112-,则a =1 0-(-3.2)x 1 1 =4 5.2-故y 关于x 的回归直线方程为y =_3,2X+4 5.2.解析：(1

23、)由已知数据代入公式求得R 2,结合临界值表得结论；(2)由已知数据求得，与;的值，则y 关于x 的回归直线方程可求.本题考查独立性检验，考查线性回归方程的求法，是基础的计算题.2 0.答案：(1)解：因为离心率e =渔,2 c =2,且a 2 =+c 2,a 5所以c =l,a=V5 b=2,故0 的标准方程为兰+艺=1.5 4(2)证 明:由(1)知尸(1,0).设直线Z B 的方程为y =k(x -l)(k H 0),A(xli y i),B(x2,y2),y k(x 1)联立方程组z y z ，消去y 得(5 必+4)/一 1 0%2%+5 卜 2 -2 0=o,1-15-4则Xi +

24、x2=怒 二，y i+y2=k(%i -1)+k(%2-1)=k(Xi+x2)-2 k=巳筹,所以M的坐标为(5k2-4 k5 H+4 5 k 2+4)因 为 所 以 的 斜 率 为/将M坐标中的k 换为-J 可得N 的坐标为匕急，击).K 4 K+4 K+5当k H l时，设直线MN 的斜率为k 财N，则 AM N=，XN-XM 5K-5所以直线MN 的方程为y -康=温(n-品)，即y =三。一|),则直线MN 过定点(|,0).当=1 时，直线MN 的方程为x=3，也过点(|,0).综上所述，直线MN 过定点,0).解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思

25、想以及计算能力,属于拔高题.(1)通过椭圆的离心率结合椭圆的焦距，求出c,a 推出b,即可得到椭圆方程.y=fc(x 1)(2)设直线4 B的方程为丫=-l)(k 40),4(%i，y i),8(亚,丫2)，联立方程组/,y?,消去y I-=15 4得(5 k 2 +4)x 2 _ 1 O/C2X+5k2-20=0,利用韦达定理，结合中点坐标公式，求出M坐标然后求解N的坐标，然后转化求解直线系方程推出结果即可.2 1.答案：解：(1)1(X)=-(X+?(X T)(X0).当x 6 (0,1),有/(%)0；当 6(1,e ,有,(为 I，令h (x)=0,得极值点=1,x2=U r当/x2,

26、叫 a 0,在(1,无2)上有(x)0,此时h(X)在区间(外,+8)上是增函数，并且在该区间上有h(x)G(/1(%2),+)不合题意；当 久2式 即a 2 1时，同理可知，h(x)在区间(1,+8)上，有h(x)6 (九(1),+8),也不合题意；若a i,则有2 a -1 0,此时在区间(1,+8)上恒有(x)0,从而/i(x)在区间(1,+8)上是减函数；要使h(x)0在此区间上恒成立，只须满足h(1)=-a-l -1.由此求得a的范围是 一支)综合可知，当a 时，f(x)点 推出结果；利用在区间(1,+8)上恒有(x)0,p2 0,0 2TT,0 02 2n,|%-。2|=拳解析：（

27、1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用点到直线的距离公式的应用和存在法的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23.答 案:解:4a +b =（4a +b）（；+表）=4+3+拉 4+2后1+；=?25 1,4（4Q+b）-(2)v|x +2|-|x -|0 i且仅当卜 一 建0,即 4时，等号成立；又 a +b =(a +b)(-+)=1+-+-+-l+-+2 I-=-八a 4b，4 a 4b 4 yj a 4b 4且仅当2=捺 即。=2阴寸，等号成立，a 4b解析：(1)利用基本不等式进行转化即可证明；(2)两步利用绝对值不等式与基本不等式的性质进行转化即可求出a,b 值.本题考查了不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.