2021届新高考数学二轮复习微核心考点18立体几何中的综合问题（解析版）.pdf

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1、专题18立体几何中的综合网题【考点命题趋势分析】1 问题提出立体几何是高中数学主干知识之一，在全国卷中，一般是选择题、填空题、解答题各一题，共计22分.考查的知识点包括:空间几何体的结构、直观图和三视图；空间几何体的表面积、侧面积、体积、棱长、点面距离和空间角的计算；与平面相关的四个公理和一个定理；与平行与垂直有关的八个定理.突出考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养.全国卷对立体几何的考查，以“三个观点”统一组织材料，一是“定型”考查，通过三视图、直观图来识图，用图作为空间想象能力考查的开始；二是“定性”考查，以判定定理和性质定理为核心，证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的

2、位置关系，进行思维发散考查；三是“定量”考查，以空间角、表面积、体积和高的计算进行思维聚合考查.试题坚持以空间想象能力立意，选择题和填空题注重几何图形构图的想象和辨识，解答题以垂直（平行）论证为核心，展开角的计算（理科）、体积和高的计算（文科），注重空间向量在处理空间角过程中的作用，体现几何问题代数化的思想（理科）.高考对立体几何知识的考查，有将立体几何知识体系向其他知识体系过渡综合考查的趋势，与导数、不等式、三角函数等知识综合考查，同时注重对数学文化的渗透.立体几何知识是考查考生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养的重要载体.基于此，笔者从以下几个方面展开本专题的综合复习.典型例

3、题与解题方法2 通过识图、变图想图、构图、用图，培养空间想象能力2.1以三视图为载体的问题三视图是用平面图形来表征空间几何体的结构特征，凸显降维思想，即三维变二维，在现实世界中有着广泛的应用，如零件、建筑物的图纸，等等.因此，三视图是全国卷每年必考的内容.三视图所表征的几何体是什么，具有怎样的结构特征，如何作出所表示的几何体的直观图是难点.例 1 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A.6V2 B.4%/2 C.6 D.4思路探究:此题作为选择题的压轴题，突出以能力立意的命题思想，考查学生的空间想象能力和识图、变图、想

4、图和用图的能力.三视图都是三角形，但从三视图想象出该三视图所表示的几何体是难点.其核心问题是原来的几何体是什么?根据题意构造正方体4BCD-A i/G D i，如图，再利用交轨思想，通过线线的交点确定几何体顶点位置.可知三视图所表示的几何体就是四面体E/G C.再计算各棱长进行比较，不难得出答案，应选 C.方法点睛:解决三视图问题的基本思路，追根溯源是将三视图所表示的几何体恢复成原图.若三视图表示多面体，能建立三视图所表示的几何体与长方体、正方体、直棱柱等之间关系，我们就将原始的长方体正方体直棱柱画出，利用交轨思想，找到几何体的各个顶点，是突破难点的有效举措.2.2以图形折叠为载体的问题折叠问

5、题是立体几何中的常见问题，在折叠过程中，哪些要素保持不变，以及折叠到终止状态时所形成的几何体结构特征，是解决折叠问题的关键要素.例 2 如图所示，圆形纸片的圆心为0,半径为5。，该纸片上的等边4B C的中心为0.0,E,尸为圆。上的点，OBC,AECA,分别是以B C,C A,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以B C,C A,AB为折痕折起Q8C,ECA,使 得 C,E,尸重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位:c?3）的最大值为.E思路探究:折叠终止时，几何体是一个正三棱锥.这个正三棱锥底面边长是一个变元，从而导致三棱锥体积的变化.如图所示，联 结 0 E 交

6、 AC 于 G,根据圆、等腰三角形、等边三角形图形对称性，可 知 OELAC虽然在折叠过程中，线 段。E 变为折线，但 OG,GE与 AC的垂直关系始终没有发生变化，0G+GE=5没有发生变化.又。是等边ABC的中心，就可以建立0 G 与等边ABC边长之间的关系.设ABC的边长为m 折叠后 O,E,F 重合于点少，则。G =更 3。6=EG=5-3 心6 65 -a cii 所以0 V a V 5v5.6 6故正三棱锥的高。=y/DG2-0G2=J25-竺 a.根据体积公式可知V=；x；x f a2125-平 a=普(25a4-a5.3 2 4 3 12 3令/(a)=25a4 a，,r(a)

7、-25a3-a-4).故而当。=4%时，三棱锥的体积取最大值4mcm3.方法点睛:这是一道将立体几何知识与函数导数有机结合的综合性问题，在复习时要注重知识间的联系，基本不等式、函数与导数是解决最值问题的常用方法.在折叠问题中，注意到折叠过程中哪些要素在变化，哪些要素始终保持不变，其中不变要素是核心要素.根据平面图形的性质，寻找不变的数量关系，以及直线与直线平行和垂直位置关系，是解决折叠问题的突破口.因此，通过变图、想图、构图、用图，让学生动手操作、积极思考，从中体会解题程序和思考问题的方向性，减少走弯路，直击问题的本质，对培养学生转化与化归、直观想象能力大有裨益.3 通过思辨论证训练，培养学生

8、的逻辑推理能力立体几何内容是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体.通过对直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的证明，着力培养学生逻辑推理能力.通过寻找位置关系成立的要素，往往通过分析方法，即要证明什么，只要证明什么，是一个复杂过程，但只要脉络清晰，执果索因，渐行渐近，逐步完成，就能顺利解答.例 3 如图所示，四棱锥P-A B C D 中，底面A8CQ是菱形，ABAD=p PA=PD,F 为 的 中 点，PDVBF./I/八 I/久 v yEA B求证:A)J_PB；(11)若后在线段8(?上，且E C=B C,能否在棱PC 上找到一点G,使平面DEGL平面ABCZJ?并证明你的

9、4结论.思路探究:第问要证A D V P B,只要证明P B垂直于经过A D的一个平面，或者证明A D垂直于经过P B的一个平面.如能证明AD垂直于经过P 8 的平面尸8 F,就能推得4D J_P8要证4OJ_平面P B F,只要证明AD_L8F和因为力=P。，所以又ABC。是菱形，/.BAD=p所以，ABC是正三角形.又尸 是 的 中 点，因此，A D L B F,从而证得AO_L平面P 8 F,故第(H)问思路1:假设在棱PC 上存在一点G,使平面OEG_L平面48C,平面OEG内一定存在与平面ABCD垂宜的直线.若平面D E G内有垂宜于平面A B C D的直线，则只要在平面D E G内

10、找到该直线.若平面D E G中没有垂直于平面A8CZ)的直线，则必须在平面ZJEG内作出与平面A8CD垂直的直线.由知，ADLBF,PD BF,可 证 B L平 面 从 而 可 证，平面ABCD1.平面%D 又所以平面A 8C D,如图所示，联结尸C 交。E 于点。，过。作 QG 尸交 P C 于 G,点 G 即为所要找的点，再由平面几何知识和条件，可得GC=：PC.p思路2:根据思路1可知，FP,FD,FB两两垂直，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求解.方法点睛:以下是证明平面与平面垂直的方法.(1)几何法:证明平面与平面垂直，转化为证明一个平面经过另一平面的一条垂线.(2)向量法:通过建

11、立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算进行求解.在高考试题中，以立体几何为载体，综合考查学生的逻辑思维能力、空间想象能力.其中垂直关系的证明是高考重点考查对象，也是空间几何的难点.若图形比较复杂，可以将空间图形进行分解，找出关键的平面，特别是底面，画出它们的平面图形，分析每个图形的儿何性质，从而降低思维难度，也能很好地突破难点.4 通过向量应用，解决空间角的计算问题，培养学生的数学运算能力空间向量是用代数方法解决空间几何问题的重要方法，也有利于培养学生的数形结合思想，降低思维难度，提高解题效率，有效地实现了几何问题的代数化，这也是高等几何中的重要方法.例 4 如图，已知多面体 A8CDE

12、中，平面 AC。，DE_L平面 AC,AC=AD=CD=DE=2,AB=,F 为 CD的中点.求 证 平 面C D E；(II)求二面角C A B-E的大小.思 路 探 究:第 问 要 证 明 平 面C D E,只要证明A F垂直平面C D E内的两条相交直线，即证AFVDE,A凡LCD根据条件OEL平面4 c。，得至U 4 尸 1_。因 为 4 c=4 0,尸为CO 中点，推得AF1.CD.第(H)问利用向量方法解决空间角计算，要建立适当的坐标系，但已知条件没有直接给出两两垂直的三条直线，因此，在建立坐标系前必须证明两两垂直的三条直线.取C E的中点Q,联结F Q,因为F 为 CQ的中点，则

13、 FQ/)E,因为。：，平面4。),所 以 FQJ_平面ACD又由可知F。，F D,硝两两垂直，以 0 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，分别求出平面A B C 和平面ACO的 法 向 量 和 求 出 向 量”和?夹角的余弦值，结合图形即可求得结果.方法点睛:利用向量方法计算空间角，常常在建立坐标系之前，要用几何法证明作为坐标轴三条直线两两垂直关系这是难点，也是失分点.另外，平面的法向量的夹角与二面角的关系，一定结合图形给予正确的判断.用向量方法的解题思路:(1)分析问题中关键要素；(2)用向量表示相关要素；(3)进行向量运算求得向量结果;(4)将向量结果翻译成几何结论.5复习建议通过对近几年

14、高考试题的分析，辨明立体几何知识考查方向.利用问题梳理知识，在问题解答过程中，熟悉解题方法.通过典例分析，练习训练，激发学生回忆，提取知识，激活沉睡在脑海中知识块，使知识板块之间相互运动、摩擦，达到相互融合，将立体几何知识与函数、不等式、三角等知识联系起来，形成知识网络.(2)学习之道在于练、在于悟.对本专题全面系统地复习后，趁热打铁，让学生自己画出立体几何专题的思维导图.改变惯用的先梳理知识点，再例题讲解、练习巩固的复习模式.让学生在做中悟，悟出自己的问题和不足，悟出解决立体几何问题的思路和方法.激发学生自主复习的积极性和创造性，并体会成功的愉悦，提高课堂复习效率.(3)不断刺激，避免遗忘.

15、采取“保温”复习法，也就是在进行其他模块复习时，对已经复习的知识，相隔一段时间，教师应定期给予适量习题进行巩固训练，减少遗忘.(4)数学课堂的教学过程，实际上就是解决问题的过程.教师通过设计恰当的问题链，激发学生思维，刺激学生回顾联想，提出解决问题的思路和方法，让学生在经历问题解决的过程中，感悟数学思想方法，提升数学素养.援斯横抽题身把他体1.如图，直四棱柱A B C Q-A B i C Q i 的底面是菱形，AA|=4,A B=2,Z BAD=6 0 ,E,M,N分别是BC,B B ,4。的中点.(1)证明：M N 平面C i D E；(2)求二面角4-M 4-N 的正弦值.【答案】(1)见

16、解析；(2)叵.5(1)连接 M E,4c：M ,E分别为84，B C中点 为A B/C的中位线M E 旦 C 且 ME=；4 c又 N 为 A。中点，且耳C:.ND/BCRND=；BCM EHN D 四边形M N DE为平行四边形.-.M N/D E,又须平面。|。,OEu 平面 GEM N 11 平面 C Q E 设ACCW =O,A C i C B Q i=O i由宜四棱柱性质可知：J平面ABC。.四边形ABC。为菱形:.A C 1 B L则以。为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：A(石,0,0),M(0,l,2),4(石,0,4),D(0,-1,0)N,一一,22 2,(f

17、j 1 )取A 3中点F,连接。尸，则 尸-,-,01 2 2 ：四边形A B C D为菱形且N B A D=60；.A B A D为 等 边 三 角 形D F 1 A B又 知 _L 平面 A B C D,D F u 平面 A B C D ：.D F L A.。尸，平面AB4A，即DFJL平面AM4,_.(Jj 3).而 为平面AM4,的一个法向量，且 方=y,-,07_ _ r i j 3 A设平面 M 4.N 的法向量。=(x,y,z),又 丽=(6,一1,2),M N=,一一,0 7n-MA =V3 x-y+2 z=0 二 _ _ _ G 3 ，令1 ，则 y=l,z=-1.月=(6,

18、1,-)储M N =x y=0I 2 2K；_ D F n 3 V1 5 _ 、布.c o s D F y n=-=1=-,c i n 西.同屏 5 -.二面角4一 幽 一N的正弦值为：粤2.如图，长方体A 8CM 1 8 1 c B的底面ABC。是正方形，点E在棱A4|上，B E LE C y.(1)证明：BE _ L平面EB G；(2)若AE=A|E,A B=3,求四棱锥七一8 8。的体积.【答案】(1)见详解；(2)1 8(1)因为在长方体A 8CD-A 4CQ中，4C I _ L平面A&4B；3Eu 平面 4 4,4 3,所以 B 1 BE,又 BE 1.E J,BCCECi=C 且

19、EC u 平面 EB,B u 平面 EB,所 以 平 面(2)设长方体侧棱长为2 a,则A E =A E=a,由(1)可得 E B 1 B E；所以 E B：+B E2=B B：,即 2B E?=B B：,又AB=3,所以2隹2+2.2=8g 2,B p2 a2+1 8 =4 a2.解得a =3；取BB1中点F因为AE二AE，连结EF，因则 E FAB E F BBQC，I7 二一S 用 形BBC所以四棱锥E-BBC的体积为3EF=；BCBB/EF=LX3X6X3=18.33.如图，己知三棱柱ABAC=3 0,A=A B CA A G，平面 A A G C J平面 ABCA C=AC,E,尸分

20、别是A C,A B1的中点.NABC=90，(1)证明：E F IBC,(2)求直线E尸与平面ABC所成角的余弦也3【答案 证 明 见 解 柝 5向 由 一 连 结AE，B】E，斓 图 所 小 等边41c 中，A E =E C ,则 AEJ_AC,平面A8CJ_平面AACG,且平面A8CC平面AACC|=AC,由面面垂直的性质定理可得：AEJ平面A B C,故A EL3C,由三棱柱的性质可知A 4 A B,而A B L 8C,故AB|_L8C,且4 4 0 4七=4，由线面垂直的判定定理可得：3。，平面4片石，结合E尸勺平面4 4石，故 所_LBC.(2)在底面48c内作E H L A C,以

21、点E为坐标原点，E,EC,区&方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系 E xyz.设 =1,则A=EC=6，例=04,=2G.B C =G,AB=3,据 此 可 得:A（0,-V3,0）,S+，与,0，A（0,0,3）,C（0,V3,0）,山 通=4瓦 可得点4的坐标为利用中点坐标公式可得：尸 1,(百,3),由于(0,0,0),故直线E F的方向向量为：而=(2,2百,3)设平面A B C的法向量为蔡=(x,y,z),贝U：沅 布=(x,y,z =|x +y-y-3 z=0f 7-*/3工石 m-B C=(x,y,z),0 =x-y=()(22)2 2据此可得平面A B C的一个法向量为拓=0

22、,若 卜 而：=(d百,3)此时c o s(/即k 加-”同EF-洞rn=高6距 =42设直线E F与平面A B C所成角为。，则s i n e =c o s(F,/，=g,c o s(9 =.4.如图，在四面体A B C。中，E,F分别是线段AO,的中点，Z A B D =Z B C D =9 0 -E C =J i，A B =B D =2,直线EC与平面A B C所成的角等于3 0 .(1)证明：平面尸。，平面8 C O ；(2)求二面角A-C E 8的余弦值.(I)在R t ABC O中，尸是斜边8。的中点,所以F C =3 O =1.2因为E,尸是A。,的中点，所以 E F =；AB=

23、1,REC=O,所以跖2 +忆2 =E。2，所以E F L F C.又因为 A B 1BD,EF/AB,所以又 B D c F C =F ,所以E P _ L平面BCD,因为EFu平面E F C,所以平面E F C 平面B C D.(II)方法一：取A C中点M，连ME,则 ME/C。，所以C O L AC.又因为C O _ L 8 C,A C n B C =C,所以C O _ L平面ABC,所以M E _ L平面4 8 c.因此N E C M是直线E C与平面A B C所成的角.故 AC=2MC=2EC cos30=，所以CD=BC=g-过点8作3 N，AC于N,则BN 平面ACD,R B

24、N =三正.AC 3过点B作BH J.E C于H,连接HN,则NBH N为二面角A-C E-B的平面角.因为 BE=BC=EC=y/i，所以 BH=B BE=旦,HN=BH?-BN?=，2 2 6所以cosN8N=g=1,BH 3因此二面角A CEB的余弦值为g.方法二：如图所示，在平面BCD中，作x轴，BD,以B为坐标原点，BD,BA所在宜线为y轴,标系Bxyz.z轴建立空间直角坐因为C）=8C=&（同方法-，过程略）Cx则 C（l,l,o）,A（0,0,2）,E（O,1,1）.所 以 比=（1,0,1）,诙=（0,1,1）,AE=（O,l,-l）,设平面ACE的法向量沅=(芭，y,Z|),

25、AE-m=0一 ，即C M =则y,-z.=0,二=0,取 =L得用=（LL1）设平面BCE的法向量而=（&,%，Z 2）贝叫kBE-n=0八，即 y2+=0八，取x,=l,得而/、CEn=0-x2+z2=0-7所以/_*_ 丽mn 1 1山图形得二面角A-CE-3为锐角，因此二面角A-CE-B的余弦值为!.3T T5.如图，三棱柱 ABC 4 4 G 中，A3_L侧面已知BC=I,AB=CtC=2,点E是棱GC的中点.(1)求证：6,平面ABC；(2)求二面角A-珞 一 A的余弦值；(3)在棱CA上是否存在一点M,使得EM与平面4 4后所成角的正弦值为型1,若存在，求 出 察11CA的值；若

26、不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）还（3）存在，要=?或 要=之.5 C A 3 C A 23（1）由题意，因为8 C =1,C C,=2,N BCG.,：.B C =6,又/.B C2+B C；=C C；,B q 1B C,：A B 侧面 B B C,：.A B 1 B C 又,：ABc BC=B ,A B ,BCu平面 A B C直线G 8 _ L平面A B C.（2）以B为原点，分别以 此，B C；和 丽 的 方向为无，和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有4（0,0,2）,6,（-1,73,0）,4卜1，6,2）,7设 平 面 的 一 个 法 向 量为自=（芯

27、,y,z j而=（1,6,2）,A E=g当,-2 _ A r/八 _ M +-/3 V i _ 2z.=0i t A B,0 r-1/,*I 1-J 3 令 =v 3，则 =1,=/3,l I n-A E =0 臣+5 y _ 2 4=0 开 /设平面 AB】E的一个法向量为机=（x,y,z）,ABl=（0,0,-2）,A=3,-2r _ 卜 2z =0Y组 二：“3 V c z 令y=6 则x=i，.,.记=（LO），同=2,带茄G=4,，8 5 崩=壶=袈设二面角 A 8 4 为 a ,则 c os a =c os（欣日）.设二面角A-E B,-的余弦值 为 半.（3）假设存在点A 7,

28、设M（x,y,z）,：函=4无，ZG0,1,（x-l,y,z）=2（-l,0,2）,/.M（l-A,0,2Z）：.EM=-A,-,2 A3 2设平面A q E的一个法向量为荷=（1，G，O），得 69万 382+5=0.即（34 1）（23/1 5）=0,或4=2,.丝=，或也=W八）3 23 CA 3 CA 236.如图，点。是以AB为直径的圆O上异于A、3的一点，直角梯形3cOE所在平面与圆。所在平面垂直，且OE/BC,DC_L5C,DEBC=2,AC=CD=3.2D（1）证明：E O/平面AC。；（2）求点E到平面4JD的距离.【答案】见 解 析；等解：（1）如图:取BC的中点M,连接。

29、例、M E.在口4 3。中，。是AB的中点，M是3 c的中点，O M /AC,A C 平面 E M O ,M O u 平面 E M O.故 A C 平面 E M O在直角梯形B C O E中，D E/J C B,且。E =C M,二四边形MCDE是平行四边形，EM 。，同理 C。平面E M O又 C D c A C=C，故平面E M O 平面A C。，又/E O u 平面 E M O,：.EO/平面 A C D.（2）QAB是圆。的直径，点。是圆。上异于A、8的一点，:.AC L B C又V平面B C D E平面A B C,平面B C D Ec平面A B C =B C：.AC,平面3C D E

30、,可得A C是三棱锥A -B D E的高线.在直角梯形 B C D E 中，SABOE=g OExCO=；x 2x 3=3.设E到平面 题 的距离为 ,则/川=%第，即;=由已知得 A B =5,8 D =5,A O =3 a，由余弦定理易知：c o s Z A B D =,则=25 A A S D 2 2解得h=gI,即点E到 平 面 的 距 离 为 目 叵4 1 4 16向故答案为：4 1.7.如 图，在棱长为2的正方体ABCD-A 4G。中，E,F,M ,N分别是棱A8,A D ,4片，A A的中点，点P,。分别在棱。，B与上移动，且。尸=8。=0/1由 一 ，得 ,小，八，于是可取NP

31、.所=()-x+(/l-2)z=0/?=(A 2,2 1)若 存 在/I,使 面E F P Q与 面P Q儿 所 成 的 二 面 角 为 直 二 面 角，则m-n=(/l-2,2-Z,1).(2,-2,1)=0,B P A(2-2)-2-+1=C,解得 2=1士 等，显然满足0 2=45。,AB=2AD=2,BAD=60.(1)求证：平面BOG _L平面ADG；(2)求直线G 3 与平面AEFG所成角的正弦值.【答案】(1)见 解 析(2)叵7(1)证明：在BAD 中，因为 AB=2A=2,ZBAD=60.由余弦定理得，BD2=A D2+A B2-2 A B A DCOS60，解得=，:，AB

32、2=AD2+DB2，/.AD L DB,在直平行六面体中，G_L平面ABC。，O B u 平面A8CO,GD DB又 AD c GD D,:.BD _L 平面 ADG,/.平面BDG L 平面ADG.(2)解：如图以。为原点建立空间直角坐标系。-初 z,F因为 N 8A E =N G A O=45。，A B =2 A D =2 f所以A（1,O,O）,B（0,V 3,0）,E（0,V 3,2）,G（O,O,1）,嬴=（1,百,2），A G =（-1,O,1）G B =（O,V 3,-1）.设平面A E F G的法向量）=（x,y,z），n-A E=-x+6 y+2 z =0 GB-n（0,V

33、3,-l）|-h-y-4 所以直线GB与平面A E F G所成角的正弦值 为 立179.在如图所示的几何体中，已知/B A C =90，P AL平面A B C,A B =3,A C =4,=2.若M是B C的中点，且PQ/A C,Q M/平面PA B.(1)求线段P Q的长度；（2）求三棱锥Q-AMC的体积V.【解析】解：（1）取AB的中点N,连接MN,PN,/.M N/A C,且MN=AC=2,2.PQ/AC,p、Q、M、N 确定平面a,.QM/平面PAB,且平面a c平面PAB=PN,又QM u平面a,二QM/PN,PQ=MN=2.解：（2）取AC的中点H,连接QH,V P Q/A H,且

34、PQ=AH=2,.四边形PQHA为平行四边形，A Q H/PA,.-人_1,平面人8。二（41.平面八8：,S AMC=；x（；ACxAB）=3,QH=PA=2,，三棱锥Q-A M C的体积：V=；S AMc.QH=gx3x2=2.1 0.如图所示，在四棱锥S ABC。中，54，平面4 5。，底面A3C。为直角梯形，其中A B/C D,Z A D C =9 0 A D =A S =2,AB=l,CD=3,且 在=几 图.（2）若几=；,求直线3 E与平面S3。所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）口 叵.29【解析】2 2 2（1）因为4=一，所以CE=-C S,在线段CD上取一点/

35、使CF=C D,连接EF,B F,则Ef1必且3 3 3DF=.因为 A8=l,AB/CD,/4C=90。，所以四边形ABED为矩形，所以C CB F.又 SAL平面 A8CD ZADC=90,所以 SAJ_C),AD LCD.因为AOCSA=A,所以CD_L平面SAD所以 C _ L SO,从而 CDJ _ E E因为B F C E F=F,所以CO _ L平面BEF.(2)以A为原点，通 的 正 方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A X*,则 A (0,0,0),B(0,1,0),D(2,0,0),S(0,0,2),C(2,3,0),_ _ _ _ I _(4 2 1 _ _所以 B

36、E=B C+CE=B C+CS=-,1,-,SB=(0,1,-2),而=(2,0,2).3 V J 3)设=(x,y,z)为平面S3。的法向量,n-SB=0n-S D -0则所以y-2 z=0 x-z =0令 z=l,得=(1,2,1).设直线B E与平面S B D所成的角为仇,_ .IfiE-nl 2 Ji 74则 sin0=cosBE,n=r =-11 BEn 29（1）求证：平面PA3 _L平面PAC；（2）若NP84=4 5 ,试判断棱PA上是否存在与点P,A不重合的点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为*5,若存在，求 出 竺 的值；若不存在，请说明理由.9 AP【答案】（1

37、）证明见解析.（2）答案见解析.（1）因为四边形ABC。是平行四边形，AQ=2拒，所以8C=A=2&，又 AB=AC=2,所以+所以 A C J.A 3,又 PB _LA C,且 A 8cP B =8,所以 AC_L平面 PAB,因为A C u平面P 4 C,所以平面PAB 1.平面PAC.（2）由（1）知AC_LAB,4C_L平面P A B,分别以4 8,4 C所在直线为轴、y轴,平面P A 8内过点A且与直线A8垂直的宜线为z轴，建立空间直角坐标系A-乎，则 A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（0,2,0）,ac=（0,2,0）,阮=（-2,2,0）,由/P3 A =45。，PB=B

38、可得 P（l,0,l）,所 以 丽=（1,0,1）,丽=（1,0,1）,假设棱PA上存在点E,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为逅,9设 丝AP=4（0 /1 1）,则 巫=4/=（40,可，CE=AE-AC=（A,-2,A）,设平面P BC的法向量为G =（x,y,z）,n-BC=0 f 2 x+2 y=0则 一 ，即 ,令z =l,可得x=y=ln-BP=0-x+z=0所以平面P BC的一个法向量为G=（1,1,1）,设直线C E与平面P 8 C所成的角为。，则：c i n/9_|e n A D =3 ,SEF=叵，：.D E=D F=A，SD EF y，设 点A到 平 面DE F的

39、 距 离 为d ,忆 棱 推 尸=七棱锥DAF，3 S D E F=2 A。A E F ,解得d=E.514.在三棱柱 A B C-A 4G 中，侧面 AAGC_L 底面 ABC,A4,=A.C =AC=A B =BC=2,且点。为A C中点.(1)证明：4。_L平面ABC；(2)求三棱锥G-A B C的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)1.【解析】(1).AA=AC，且。为AC 的中点.4。1 AC.又平面A C.C l平面ABC,平面 M G C c平面A B C =A C,且4 0 u平面M G C.4。_!.平面 ABC.B C u 平面 ABC,A O I B C.(2)V CJ

40、IAC,AG/3x/3=l1 5.如 图 1所示，在等腰梯形ABC。中，8石，）,5。=3,4。=15,8石=3 6.把4 4 8 沿8七折起,使得AC=6y/2,得到四棱锥A BCOE.如图2所示.(1)求证：面 A CEJ.面 A8D；(2)求平面A5E与平面ACD所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见 解 析(2)2叵55【解析】(1)证 明：在 等 腰 梯 形ABC。中 BC=3,AD=15,JBE_LA。，可 知4 E=6,。E.又因为 ta nZ D B E =3=6,则 ZD8E=60,B E 3 Gtan/BEC=,则 N B E C=30,B E 3 J3 3所以 C EJ.

41、8O,又 AEc EC=E,所以 _ L 面 ACE,乂 B/)u 面 A 8O,所以面 ABD，面 ACE；(2)设ECc8O=O,过点。作OP/AE交AC于点F,以点。为原点，以0B,0C,0尸所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-BCE.在 ABCE 中，V ZBEO=30,BO LE O.c _ 9 二八_3 _ 3/3,(243 八八 (3(92 2 2(2 J I 2 J I 2 J/FO/AE,FO=-A E,A E 6,：.FO=3,则尸(0,0,3),A。,?6),；DE!IBC,DE=9,：ED=3BC,.d一 至 o o,I 2)_-(3 h 9 (

42、g h 3、：.BE=,AE=(O,O,6),C4=(O,-6,6),CD=-,一一,0/3 _ 2V165一 2755 55551 6.四面体 A 3 C。中，A B =A C =A D =B C =B D =3,E 是 A B 上一动点，F、G 分别是 C。、E F的中点.（1）当 E是 A 3中点，CD=3 时，求证：D G V B C -,（2）A E =,当四面体A B CD体积最大时，求二面角O C E 6的平面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）马 回.2 9（1）取 8c的中点”，连接O H,BF,D H Q B F O,连接0A,过。做 C O 的平行线交B 0于点M如图

43、,AB AC AD=BC=BD 3,8=3,此三棱锥是正四面体，.0 为 ABC。的中心，A O A.面 BCQ,以O为坐标原点，分别以。凡0M,0A为空间直角坐标系的x,z轴，建立空间直角坐标系，易知，DH=DC2-C H2=.(9-=，OH=DH=昱,0D=之 DH=下，V 4 2 3 2 3AO=NAD2-OU=&1B(V3,0,0)，C(-,0)A(0,0,-s/6)E(-,0,-)，F(-,0,0)限G(),0,一)，4 阮=(，l，o),诙=(一 乎，一 m，手)，1BCTPG=O，DG BC得证.(2)如图，取AB的中点H，连接C”,DH,FH,cAB=AC=AD=BC=BD=3

44、,：.JABC,4ABD 均为等边三角形,AB Y CH,A B I DH/CH C DH=H,CH,：.AB J,面 CD”,A-BCD=匕-CO H +VB-CDH设 CT=x,则 CH=DH2=BC2-BH-匕-seo=q S CDH CAB=127,1DH u 面CD”,=S CDHIJ4B,2=9-(|)2=y ,FH=/3 38 八-丁 玉 乂 =0卜丁匕4 =0：取元=(1,1,3百),设面B C E的法向量为正=（9,必*2），由拓七5=0，就 在=0得,3 百 3 _n-Z1=()2 -2 23百 J _ c卜 丁 +巧=0，取而=(0,1,0),COS0=nQn _ 1 _

45、 V 2 9回 同 V 2 9 2 9.5=巫2 9故答案是噂1 7.如图，在正方体4 5 c r)A 4G。中，E、F分别是3 4、C D的中点.(1)证明：AD _ L D|F；(2)证明：面 阳 口 _1面八|也|；(3)设M=2,求三棱锥E-例 尸 的 体积.4【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)一.3如图，在正方体ABC。一44GA中，E、F分别是34、C D的中点.(1)A C是正方体,二 A DL面。G ,又)|/u 面。G，,A,。尸,AGB(2)由(1)知A D，。厂,取A B的中点G,连 接/G，A G ,运用三角形相似，证得所以可得。尸，A E._ L面A E D

46、.DFu面A|F D 所以面面AE D.(3)；体积匕=/-,又 F G _ L 面 AB4 A,三棱锥 F-A4 j E 的高 F G=AA=21 1 ,面积 SA AE=S 口 A因&=5乂2 =2 .I 4.%F =%-*,=?.FG S皿 t=-1 8.在三棱锥尸A B C中，平面P AC _ L平面ABC,PA 1 A C,ABVBC.设 分别为为，/C中点.(I )求证：O E/平 面 战7；(H)求证：8 C，平面为8；(I I I)试问在线段4 6上是否存在点尸，使得过三点。，E,尸的平面内的任一条直线都与平面瞰平行？若存在，指出点尸的位置并证明；若不存在，请说明理由.【答案】

47、(I )见证明；(I I)见证明；(H I)见解析.(I)证明：因 为 点 是/中点，点为阳的中点，所以O E/P C.乂因为应Q面W,P C u面八%,所以勿平面PB C.(I I)证明：因为平面为入面4 8 C,平面目c n平面力6 6 MC,又为u平面用G PA LA C,所以四，面A B C,因为B C u平面A B C,所以PA LB C.又因为力8 _L 8 C,且 用0 1庐4所以及人面必反(I I I)当 点 尸 是 线 段 中 点 时，过点。，E,尸的平面内的任一条直线都与平面亦平行.取4 6中 点 凡连 E F,连 肮由(1 )可知D E平面因为点是中点，点 尸 为 的 中

48、 点，所以 E F/B C.又因为E F H平面PB C,6 C u平面PB C,所以4平面PB C.又因为先nE 六E,所以平面第丁平面PB C,所以平面内的任一条直线都与平面臼笫平行.故当点尸是线段用中点时，过点，E,6所在平面内的任一条直线都与平面 W平行.1 9.如图，三棱柱 A B C-44。中，N 4AA=N GAA=6 O,A 4,=AC=4,A B =2,P,Q 分别为棱A 4,A C的中点.(1)在平面4 8 c内过点人作人/平面PQM交8c于点M ,并写出作图步骤，但不要求证明.(2)若侧面ACG4 _L侧面A84A，求直线4G与平面尸。4所成角的正弦值.Cl【答案】（1）

49、见 解 析（2）叵13【解析】（1）如图，在平面A g 4内，过点A作4V/4 P交3用于点N,连结B 0,在A侬 中，作N H/B Q交BQ于点H，连结A H并延长交8 c于点M,则AM为所求作直线.（2）连结尸 G，A G，A4,=AC=A G=4,N G 4A =60.A4GA 为正三角形.尸为伍的中点，,PC|_L A4,又：侧面 A C C,4，侧面 AB4 A，且面 ACC A n 面 AB4 A=A4,PC,u 平面 ACC|A,/.PC,_L 平面 AB4A,在平面ABBA内过点p作PR _L A4，交BB】于点、R,分别以丽,即，声G 的 方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立

50、如图所示的空间直角坐标系尸 一.，则P（0,0,0）,A（o,2,0）,A（0,-2,0）,C（0,-4,2x/3）,C,（0,0,2V3）.：Q为AC的中点，点Q的坐标为（0,3,百），.相=（0,-2,2&）,迎=（0,-3,.A4=A8=2,N5I4A=6 0,；.4（G,l,0）,.西=（G,l,0）,设平面PQg的法向量为比=(x,y,z),由P品Qm=0 得-3总y+/3z=0令x=l,得y=J,z=3,所以平面PQ g的一个法向量为访=(1,一6,一3).设直线A C与平面PQM所成角为。,则 sin a=cos4 ,沅 卜|即直线A G与平面尸。与所成角的正弦值为 叵.2 0.