北师大五年级奥数专题三《最大公约数和最小公倍数》精编小学教育小学考试小学教育小学教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 最大公约数和最小公倍数 一、基本概念和知识 1、公约数和最大公约数 几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数 a、b 的最大公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则 a、b 互质。2、公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数 a、b 的最小公倍数可以记作a、b，当（a、b）=1 时，a、b=ab。3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数最小公倍数=两数的积 即（a、b）a、b=a b 二、方法篇 短除法（最大公约数）（1）必须

2、每次都用n个数的公约数去除；（2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。短除法（最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n个数的公约数去除，除到n个数没有除去 1 以外的公约数后，在用1n个数的公约数去除，除到1n个数没有除 1 以外的公约数后，再用2n个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n个数的商两两互质为止；（3）n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。辗转相除法（最大公约数）设两数为 a、b(ab），求 a

3、和 b 最大公约数(a，b）的步骤如下：用 b 除 a，得 ab=q.r1(0r1）。若r1=0，则（a，b)=b；若r10，则再用r1 除b，得br1=q.r2(0r2）.若 r2=0，则（a，b)=r1，若 r20，则继续用 r2 除 r1，如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为（a，b）。PS:求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法、断除法、辗转相除法等方法。三、例题全解 例 1、求 2520、14850、819 的最大公约数和最小公倍数。（用因数分解法）学习必备 欢迎下载 例 2、求 36、108、126 的最大公约数和最小公倍数。（用短除法）例 3、用辗转相除法求

4、 4811 和 1981 的最大公约数。试一试 1、求 35、98、112 的最大公约数和最小公倍数。（用因数分解法）2、求 403、527、713 的最大公约数和最小公倍数。（用短除法）3、用辗转相除法求 2597 和 7049 的最大公约数。例 4、有一位男同学要整理三种厚度分别为 30 毫米、24 毫米和 18 毫米的一堆书，他只能将厚度相同的书叠在一起，叠成高度一样的三叠，使书得高度尽可能小。这样的整理共用了多少本书？试一试 1、甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每 6 天去一次，乙每 8 天去一次，丙每 9 天去一次，如果 3 月 5 日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是 月

5、 日。公因数其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数我们可以把自然数的最大公因数记作如果则互质公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数自然数的最小短除法最大公约数必须每次都用个数的公约数去除一直除到个数的商互质但不一定两两互质个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积短除法最小公倍数必须先用如果有个数的公约数去除除到个数没有除去以外的公约数后在用除数均可选质数只要有两个数被除数能被同一数整除就要继续除一定要除到个数的商两两互质为止个数的最小公倍数即为短除式中所有除数和最后两两互质的商的乘积辗转相除法最大公约数设两数为求和最大公约数的

6、步骤如下用除学习必备 欢迎下载 例 5、有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例 6、加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例 7、一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了 65 瓶；平均每 2 个人饮用一瓶 A饮料，每 3 人饮用一瓶 B饮料，每 4 人饮用一瓶 C饮料.问参加会餐的人数是多少人？例 8、设

7、 a=36，b=54，证明（a，b）a，b=a b。例 9、两个数的最大公约数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多少？试一试 1、设 a=108，b=720，证明（a，b）a，b=a b。例 10、现有 4 个自然数，它们的和是 1111,。如果要使这 4 个数的公约数尽可能大，那么，这 4 个数的公约数最大是多少？。公因数其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数我们可以把自然数的最大公因数记作如果则互质公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数自然数的最小短除法最大公约数必须每次都用个数的公约数去除一直除到

8、个数的商互质但不一定两两互质个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积短除法最小公倍数必须先用如果有个数的公约数去除除到个数没有除去以外的公约数后在用除数均可选质数只要有两个数被除数能被同一数整除就要继续除一定要除到个数的商两两互质为止个数的最小公倍数即为短除式中所有除数和最后两两互质的商的乘积辗转相除法最大公约数设两数为求和最大公约数的步骤如下用除学习必备 欢迎下载 试一试 1、现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？2、有很多方法可以将 2001 写成 25 个自然数（可以相同，也可以不相同）的和。对于每一种分法，这 25 个自然数均有相应的最大

9、公约数，那么这些最大公约数最大值是多少？例 11、某自然数，它可以表示成 9 个连续自然数的和，又可以表示成 10 个连续自然数的和，还可以表示成 11 个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？四、知识巩固 1、用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？2、一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？3、求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少？4、求 21672 和 11352 的最小公倍数。公因数其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数我们可以把自然数的最大公因数记作如果则互质公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这

10、几个数的公倍数其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数自然数的最小短除法最大公约数必须每次都用个数的公约数去除一直除到个数的商互质但不一定两两互质个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积短除法最小公倍数必须先用如果有个数的公约数去除除到个数没有除去以外的公约数后在用除数均可选质数只要有两个数被除数能被同一数整除就要继续除一定要除到个数的商两两互质为止个数的最小公倍数即为短除式中所有除数和最后两两互质的商的乘积辗转相除法最大公约数设两数为求和最大公约数的步骤如下用除学习必备 欢迎下载 5、甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是 54，甲数是多少？乙数是多少？6、一块长方形地面，长

11、120 米，宽 60 米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？7、已知两个自然数的积是 5766，它们的最大公约数是 31.求这两个自然数。8、兄弟三人在外工作，大哥 6 天回家一次，二哥 8 天回家一次，小弟 12 天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？9、将长 25 分米，宽 20 分米，高 15 分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？10、一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过 1 的整千克数，去掉箱子后地雷净重 201千克，拿出若干个地

12、雷后，净重 183 千克.求一个地雷的重量？课后选看 1、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商为 12，若甲、乙两数差为 18，这两公因数其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数我们可以把自然数的最大公因数记作如果则互质公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数自然数的最小短除法最大公约数必须每次都用个数的公约数去除一直除到个数的商互质但不一定两两互质个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积短除法最小公倍数必须先用如果有个数的公约数去除除到个数没有除去以外的公约数后在用除数均可选质数只要有两个数被除数能被同一数整除就要继续

13、除一定要除到个数的商两两互质为止个数的最小公倍数即为短除式中所有除数和最后两两互质的商的乘积辗转相除法最大公约数设两数为求和最大公约数的步骤如下用除学习必备 欢迎下载 个数分别是多少？解：设最大公约数为 X,甲为 AX,乙为 BX 根据两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是 12 得 AB=12 根据甲乙两数的差是 18 得(A-B)X=18 可知 A、B只能为 3、4 得 X=18 所以两数分别为 54 和 72。2、在一根长的木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10 等份，第二种将木棍分成 12 等份，第三种刻度线将木棍分成 15 等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被

14、锯成多少段？解：最小公倍数问题。10，12，15 的最小公倍数是 60。把这根木棍的 1/60 作为一个长度单位，这样：木棍10 等份的每等份长 6 个单位；12 等份的每等份长 5 单位；15 等份的每等份长 4 单位 不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是 9，11，14(相应于 10，12，15 等分)，共计 34 个。（10，12，15）60，设木棍 60 厘米 60106 厘米，60125 厘米，60154 厘米 10 等分的为第一种刻度线，共 1019 条 12 等分的为第二种刻度线，共 12111 条 15 等分的为第三种刻度线，过 15114 条 第一种与第二种刻度线重合

15、的（6，5）30，60301211 条 第一种与第三种刻度线重合的（6，4）12，60121514 条 第二种与第三种刻度线重合的（5，4）20，60201312 条 三种刻度线重合的没有，（6、5、4）60 因此，共有刻度线 9111414227 条，木棍总共被锯成 27128 段。由于 5，6 的最小公倍数为 30，所以 10 与 12 等份的等分点在 30 单位处相重，必须从34 中减 1 又由于 4，5 的最小公倍数为 20，所以 12 与 15 等份的等分点在 20 单位和 40 单位两处相重，必须再减去 2，同样，6，4 的最小公倍数为 12，所以 15 与 10 等份的等分点在

16、12，24，36，48 单位处相重，必须再减去 4 公因数其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数我们可以把自然数的最大公因数记作如果则互质公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数自然数的最小短除法最大公约数必须每次都用个数的公约数去除一直除到个数的商互质但不一定两两互质个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积短除法最小公倍数必须先用如果有个数的公约数去除除到个数没有除去以外的公约数后在用除数均可选质数只要有两个数被除数能被同一数整除就要继续除一定要除到个数的商两两互质为止个数的最小公倍数即为短除式中所有除数和最后两两互质的商的乘积辗转相除法最大公约数设两数为求和最大公约数的步骤如下用除