球的体积与表面积教案设计小学教育小学学案小学教育小学学案.pdf

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1、球的体积和表面积 一、教材分析 本节内容是数学 2 第一章空间几何体第 3 节空间几何体的表面积与体积的第 2 课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征 从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础 课时分配 本节内容用 1 课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用 二、教学目标 知识与技能（1）通过对球的体积

2、和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割求和化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识（2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题（3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式334=RV和面积公式24=RS的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心 三、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式

3、所运用的基本思想方法 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算 四、学法和教学用具 学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤 教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识 五、教学设计 创设情景 教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道，只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们知

4、道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考 教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式 探究新知 1球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割求和化为准确和”的方法来进行 【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣 积和表面积是在学习了柱体锥体台

5、体等基本几何体的基础上通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征从知识上讲球是一种高度对称的基本空间几何体同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础从方法上讲它为我们上升的学习奠定了基础课时分配本节内容用课时的时间完成主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用二教学目标知识与技能通过对球的体积和面积公式的推导了解推导过程中所用的基本数学思想方法分割求和化为准确和有力和空间想象能力过程与方法通过球的体积和面积公式的推导从而得到一种推导球体积公式和面积公式的方法即分割求近似值再由近似和转化为球的体积和面积的方法体现了极限思想情感与价值观通过学习使我们对球的体积和面积 步骤：第一步：分割 首

6、先，把半球的垂直于底面的半径 OA作 n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成 n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为nR，底面是“小圆片”的底面，如下图 所以，第 i 层“小圆片”下底面的半径和体积：【设计意图】利用分割原理，通过对小圆片体积的计算，推导出球的体积公式，使学生知道知识的来龙去脉，提升学生的学习兴趣与信心，以及对新知识的探索发现能力 【注意】由于学生的学习水平不一致，所以在实际教学中，需根据学生的具体学习能力而确定是否适合公式推到过程的学习 积和表面积是在学习了柱体锥体台体等基本几何体的基础上通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征从知识上讲球是一种高度

7、对称的基本空间几何体同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础从方法上讲它为我们上升的学习奠定了基础课时分配本节内容用课时的时间完成主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用二教学目标知识与技能通过对球的体积和面积公式的推导了解推导过程中所用的基本数学思想方法分割求和化为准确和有力和空间想象能力过程与方法通过球的体积和面积公式的推导从而得到一种推导球体积公式和面积公式的方法即分割求近似值再由近似和转化为球的体积和面积的方法体现了极限思想情感与价值观通过学习使我们对球的体积和面积 第二步：求和 nVVVV+=21半球 第三步：化为准确的和 当n时，即时，得到定理：半径是的球的体积 练习：一种

8、空心钢球的质量是 142g,外径是 5cm,求它的内径(钢的密度是 7.9g/cm3)2球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径 R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。简单讲述中国魏晋时代的刘徽与“割圆术”（不再具体证明）半径为 R的球的表面积为 24=RS 【设计意图】透过教师的讲解，让学生初步感受“分割”、“近似替代”、“取极限”等思想，渗透微积分思想 【思考】：球的表面积推导过程是以什么量作为等量变换的？)1-(-1+2-1+1-1+1222223nnnn

9、nR)1-(+2+1-=22223nnnnR 6)12()1()1(21222nnnn6)1-2()1-(1-=23nnnnnnR6)1-2)(1-(1-1=23nnnR01n积和表面积是在学习了柱体锥体台体等基本几何体的基础上通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征从知识上讲球是一种高度对称的基本空间几何体同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础从方法上讲它为我们上升的学习奠定了基础课时分配本节内容用课时的时间完成主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用二教学目标知识与技能通过对球的体积和面积公式的推导了解推导过程中所用的基本数学思想方法分割求和化为准确和有力和空间想象能力过程

10、与方法通过球的体积和面积公式的推导从而得到一种推导球体积公式和面积公式的方法即分割求近似值再由近似和转化为球的体积和面积的方法体现了极限思想情感与价值观通过学习使我们对球的体积和面积 练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 （答案 50 元）运用新知 典例分析:课本27P例 4 巩固深化、反馈矫正 （1）方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 （2）球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2和 400cm2，求球的表面积 （答案：2500cm2）分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径 六、课堂

11、小结：1了解球的体积、表面积推导的基本思路；2 了解球的体积公式和表面积公式(不要求记忆公式)；3计算组合体的体积表面积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积表面积 作业：29PB（1）、37PB（2）【设计意图】本题较易，主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算 解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征学生来独立完成，有利于培养学生问题解决的能力在题目讲解过程中，可利用几何画板等多媒体工具将立体几何图形直观表示出来，给学生以直观感受，为加强学生的立体几何思维和空间想象能力提供基础 【设计意图】让学生独立完成知识小结，可以逐步提高学生自我获取知识的能力 最后教师完善，使知识

12、更系统化 积和表面积是在学习了柱体锥体台体等基本几何体的基础上通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征从知识上讲球是一种高度对称的基本空间几何体同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础从方法上讲它为我们上升的学习奠定了基础课时分配本节内容用课时的时间完成主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用二教学目标知识与技能通过对球的体积和面积公式的推导了解推导过程中所用的基本数学思想方法分割求和化为准确和有力和空间想象能力过程与方法通过球的体积和面积公式的推导从而得到一种推导球体积公式和面积公式的方法即分割求近似值再由近似和转化为球的体积和面积的方法体现了极限思想情感与价值观通过学习使我们

13、对球的体积和面积 积和表面积是在学习了柱体锥体台体等基本几何体的基础上通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征从知识上讲球是一种高度对称的基本空间几何体同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础从方法上讲它为我们上升的学习奠定了基础课时分配本节内容用课时的时间完成主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用二教学目标知识与技能通过对球的体积和面积公式的推导了解推导过程中所用的基本数学思想方法分割求和化为准确和有力和空间想象能力过程与方法通过球的体积和面积公式的推导从而得到一种推导球体积公式和面积公式的方法即分割求近似值再由近似和转化为球的体积和面积的方法体现了极限思想情感与价值观通过学习使我们对球的体积和面积