2021年广西高考数学模拟试卷（理科）（4月份）附答案解析.pdf

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1、2021年广西高考数学模拟试卷（理科）（4 月份）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1 .对于任意两个复数Zi=a +b i,z2=c+di（a,b,c,d e/?）,定义运算”为：zr 0 z2=ac+b d.则下列结论错误的是（）A.(-i)0(-i)=1 B.t (i 0 i)=1C.i 0 (l +2 i)=2 D.(1 -i)0(1 +i)=02 .已知集合4 =xx2+|x+1 =0 ,B=(yy=x2+a,x&R),若4 n B*。，则a 的取值范围是()A.B.(-p+)C.4,D.(o o,-2 3.己知椭圆C：摄+=l（a 0/0）的左右焦点分别为F ,F2,

2、。为坐标原点，P 为第二象限内椭圆上的一点，且N&PF2=30。，直 线 交 y轴于点M，若 向&1=2 b|O M|,则该椭圆的离心率为（）A.立B.逗C.反D.心34224.已 知 向 量 满 足|力=|卜2，二与g的夹角为1 2 0。，则I;-J 1 的值为（）A.1B.1 2c.3及D.2s5.设函数f (x)=j建;0?则“一 2）=（）A.-2B.4C.2D.4 或26 .函数y=2 c o s 2%-1 是（）A.最小正周期为兀的偶函数B.最小正周期为的乃奇函数71KC.最小正周期为彳的奇函数 D.最小正周期为-了的偶函数7.已知抛物线C：y2=2 p x（p 0）,过其焦点产的

3、直线/交抛物线C 于点4、B，MF|=3 出用，则|AB|=()P4-3A.P2PCP8-38.定义某种运算：S=r n G）n 的运算原理如如图的流程图所示，贝|6 5 -4 7=（）A.3 B.1 C.4 D.09.（x-1）（次 一套尸的展开式中的好系数为（）A.48 B.541 0.已知函数y=f（x）的导函数y=图象可能是（）八/C.60 D.72f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的)1J#/D.1 1.已知直三棱柱/W C-A iBiG 中乙4BC=120,AB=2,BC=CG=1，则 异 面 直 线 与 BG 所成角的余弦值为（）A.包 B.更 C.更 D.叵5 5 4

4、41 2.己知函数/（X）=x3-4x2+4x+1 0,则方程/（x）=0在区间 2,10 的根（）A.有3个 B.有2个 C.有且只有1个 D.不存在二、单 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）x 213.已知居y满足k+yW 4,若目标函数z=3%+y的最大值为1 0,则m的值为一2x y m f c0)0.1 0 00.0 5 00.0 1 00.0 0 12.7 0 63.8 4 16.6 3 51 0.8 2 8其中n =a+b+c+d.1 8.己知数列 an中a?=2,在平面直角坐标系中,设五=(2 an-l),b=(l,2 an+1).&a-b =-1.(1)求数列 斯 的

5、通项公式即和前几项和Sn；(2)数列 b满足6n=an-22 n,求数列 为 的前n项和亏.1 9.如图，五面体E A B C D中，平面E4B，平面ABCC,四边形力B C D为矩形，4E A B为等腰三角形,且顶角N E 4 B =1 2 0。，BE=4 V 3,BC=2,又G,F分别是4 E,B E的中点，点H在线段B C上运动(异于端点).(I)求证：C O平面H G F；(I I)设 丽=4Z，若二面角B -F G H的大小为3 0。，求；I的值.2 0.求 以 点 为 中 点 的 抛 物 线 必=8x的弦所在的直线方程.2 1.已知实数a 0函数/(x)=ex-ax-l(e为自然对

6、数的底数).(I)求函数/(x)的单调区间及最小值；(1 1)若/)0 对任意的x G R 恒成立，求实数a 的值；(皿)证明：ln(l+)+ln(l+短)+ln(l+战)+ln l+一+；2,+1)/3c+2c=2a,即e =；=立二.a V3+1 2故选：D.4.答案：D解析：解：由题意可得万石=2 x 2 x C OS1 2 0。=一 2，故|五 一 b|=J(a b)2=2a-b+b V 4 +4 +4 2 V 3(故选。.5.答案：B解析：解：.函 数/(x)=K?蓝)，/(-2)=(-2)2 =4.故选：B.由一2 0）的准线为乙x=-1.如图所示，当直线4B的倾斜角为锐角时，分别

7、过点4 B作4M 1 匕 BN 1 I ,垂足为M,N.过点B作BC 交于点C.则 14Ml=AF,|BN|=BF.3V AF=3BF=AB,AM-BN=AC=AF-BF=AB,在Rt 力BC中，由 可得4B4C=60.AM/%轴，Z-BAC=Z-AFx=60.AB=tctn60=痘,直线方程为y=V5。-)，代入抛物线方程，可得3x2 5px+：p2=0,N4AB=Vl+3 J(y)2-p2=gp，当直线4 8 的倾斜角为钝角时:可得七8 =-V 3.M F I =|p综上可知：|4 B|=g p,故选：D.设抛物线y 2 =2 P x(p 0)的准线为八x =-今如图所示，当直线4 B 的

8、倾斜角为锐角时，分别过点4,B 作A M 1 2 ,BN 1 I,垂足为M,N.过点B 作B C _ L AM交于点C.则 1 4 M l =|4 F|,|B N|=|B F|.由于A F=3BF=A B,A M-BN=A C=A F-|B F|=A B,在R t A/l B C 中，由|A C|=A B,可得N B 4 c =6 0 .由于4 M x 轴，可得N B 4 c =Z.A Fx=6 0 .即可得到k.=tan60=V 3.当直线A B 的倾斜角为钝角时，同理可得.本题考查了抛物线的定义及其性质、含6 0。角的直角三角形的性质、直线的倾斜角与斜率、平行线的性质、分类讨论等基础知识与

9、基本技能方法，属于难题.8.答案：A解析：本题主要考查了选择结构，以及分段函数，属于基础题.通过程序框图判断出S =m0 n 的解析式，然后根据解析式求出6 05-40 7 的值即可.5 .jj-rrn./(m(n l Y m n解：由框图知5 =m n =|,.x ,(n(m l),m 0恒成立，/。)在 2,10 上单调递增./2/(2)=10./(x)=0 在 2,10 上无根.故选O.对函数进行求导，判断函数在区间 2,10 上的单调性，从而判断根的个数.此题考查方程根的存在性及其个数，难度不大，是一道基础题.13.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图：、由 z=3x4-y 得

10、y=-3%+zy3平移直线y=-3 x +z,则由图象可知当直线y=-3 x +z经 2过点C时，直线y=-3x+z的截距最大，此时2 最大，为3x+1由时解喉:，即 旧)，:、J 此时C 在2 x-y-m =0上，/则 m=5.故答案为:5.作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值.然后即可得到结论.本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.14.答案:解析：本题主要考查空间正方体和外接球的关系，利用正方体的体对角线等于外接球直径，属于基础题.根据正方体和外接球的关系，得到正方体的体对角线等于外接球直径，结合球的体积公式进

11、行计算即可.解：设正方体的棱长为a,这个正方体的表面积为18,6a2 1 8,则a?=3,BPa=V3 一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即6 a=2 R,即R=|,则球的体积V=X)3=y,故答案为手.15.答案：曾解析：解：从7人中任取一人，睡眠不足的概率为:则XB(3,，则 E(X)=3 x；募.设4 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，抽取的3人中包括两种情况：有一人睡眠不足而另外2人睡眠充足，有2人睡眠不足而另外1人睡眠充足，则事件4 发生的概率P=隼件=J5 7故答案为：y,从7人中任取一人，睡眠不足的概率为%可得XB(3,

12、5，E(X).设4 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，抽取的3人中包括两种情况：有一人睡眠不足而另外2人睡眠充足，有2人睡眠不足而另外1人睡眠充足，利用互斥事件、相互独立事件的概率计算公式即可得出.本题考查了互斥事件、相互独立事件的概率计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 6.答案：6 V 2解析：解：直线y =x -2 与轴交于P 点(2,0),由 y =x-2 代入 M?=1 可得 2/+4%7 =0,解得X =-1 土强，设做_ 1 +宏，_ 3+卦8(-1-竟-3一 卦可得|P 川+|P B|=2(一 3+哥 +j 2

13、(-3 与 尸=V 2(3-+3 +)=6 V 2.故答案为：6 V 2.求得直线与x 轴的交点，联立直线方程和双曲线的方程求得交点，运用两点的距离公式计算可得所求和.本题考查直线和双曲线的方程的联立求交点，考查两点的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题.1 7 .答案：解：(I)这3 个人接受挑战分别记为4 B,C,则彳，瓦不分别表示这3 个人不接受挑战,这3 个人参与该项活动的可能结果为：4 B,C ,Z,B C ，4瓦G，48，初，口，瓦G，4 8,心,4瓦可，H瓦G，共有8 种；其中，恰好有2 个人接受挑战的可能结果有：1,B,C ，4瓦C ,4 8,弓，共有3 种，根据古典概型的

14、概率公式，所求的概率为P =|.O(口)根据2x2列联表，得K2=100 x(50 x15-25x10)275x25x60 x40 x 5.5 6&a b=1 *-2 a 九-2 an+1=-1,化为2+i an=数 列 an 是等差数列，。3=2,公差为也二斯=。3+(n-3)*=2+-3)=等.“,n+l、on(l+)n2+3n:，snn=-=-24(2)%=an-22n=(n+1)-22n-x.数列%的前n项和7；=2 x 2+3 x 23+4 x 25+-+(n+1)-2 2 f47；=2 x 23+3 x 25+n 22 n-1+(n+1)-22 n+1,-3Tn=22+23+2s+

15、22n-i-(n+1)-22n+1=2+-(n+1)-2-4n=I+yT(4+6n)x4n-4:，=-.解析：(1)利用数量积运算可得：2与-2即+1=-1,化为册+1-即=点再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；(2)%=an-22n=(n+i).22-1.利 用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出.本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.答案：(1)证明：48。是矩形，：.。48,G,F分别是4E,BE的中点，1.G F/A B,且GF=F 8,飞；/Gmg二yCOG平面HG

16、F,G F u平面GF,./人 CD平面HGF.x/(H)解：在平面4BE内作4B的垂线，如图建立空间直角坐标系A xyz,Z.EAB=120 BE=4V3 AE=AB=4,AD=2,71(0,0,0),B(0,-4,0),C(2,4,0),E(0,2,26)，G(0,l,V3),F(0,-l,V 3).-.JH=ABC=2(2,0,0)=(24,0,0),W(2A,-4,0),GF=(0,-2,0).FH=(2A,-3,-V 3).设平面HGF的法向量为元=(x,y,z),(n-GF=2y-0 In-FW=2Ax-3y-V3z=0(令z=2 4,则x =V 5，n=(遍,0,2 2)是平面H

17、 GF的一个法向量，A D 平面4 E 8,平面4 E B的法向量即平面B F G的法向量为而=(2,0,0),二面角”-GF-B的大小3 0。小。晒砌=襦=1房袅解得 点H在线段B C上，.=/.解析：(1)证明。4 8,推出G/7/4 B,说明C D GF,然后证明C D平面H GF.(H)如图建立空间直角坐标系a-x y z,求出平面H GF的法向量，求出平面8 F G的法向量，通过二面角H -GF -B的大小3 0。利用空间向量的数量积，转化求解;I即可.本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力转化思想以及计算能力，是中档题.20.答案：解：此弦不

18、垂直于X轴，故设点(L-1)为中点的抛物线y 2=8 x的弦的两端点为得到W=8X2两式相减得到(丫1 +y2)(y i -?2)=8(X 1 -x2)./c=_4X 1-X 2二直线方程为y +1 =4(x 1),即4x +y -3=0.解析：先设出弦的两端点的坐标然后代入到抛物线方程后两式相减，可求得直线方程的斜率，最后根据直线的点斜式可求得方程.本题主要考查直线和抛物线的综合问题，考查综合运用能力.21.答案：(I)解：v f(x)=ex-a,当a 0时,若x e(/na,+8),f(x)0,得函数f(x)在na,+8)上是增函数;若x e(-8,na),f(x)0时，函数/(%)的单调

19、递增区间是(Ina,+8),单调递减区间是(8,a).即/()在x =/a处取得极小值且为最小值，最 4、值为/(/na)=elna-alna 1 =a alna 1.(口)解：若/(x)0对任意的x e R恒成立，等价为/(X)mi n 0，由(I)知，=a alna 1,设g(a)=Q-a/na 1,则 g(a)=1 仇 Q 1=Ina,由 g(。)=。得 Q 1，由“(%)0得，0 V X V 1,此时函数单调递增，由g。)VO得，1，此时函数单调递减，g(a)在Q=1处取得最大值，即9(1)=0,因此g(a)N 0的解为Q=L(/)证明：=ln(l+%)V 久，x G(0,1).口 +

20、2n 2n _ 2(1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ l _ x +(2n-1+l)(2n+l p (2n-1+l)(2n+l)-2n-1+l 2n+v2 4 8 2n-l n(1+/+皿 1+3 7 5)+，n(1+5 7 9)+ln 1+(2+1)(2+I)2吗-亲)+(击-&)+(号 7-念)=2(六)o,r(x)0对任意的久e R恒成立，则只需求出的最小值即可得到结论.(/)利用ln(l+X)X,X G (0,1)，可得lnl+(2n-i +1)(2n+1)(2-1 +1)(2+1)=22n-l+l 2 +P 即可证明.本题考查了利用导数研究函数的单调性极值点、证明不等式、“裂项

21、求和”方法、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.x=l+3222.答案：解：(1)直线I的参数方程为y=I，2(t为参数)，转换为直角坐标方程为x-y-1 =0.圆C的参数方程为:二;二 非 。为参数)，转换为直角坐标方程为：(x-2)2+y2=4.转换为极坐标方程为：p=4cos6.(2)把直线，的参数方程为X=1+f t厂 (为参数)代入。一 2)2+y2 =%、号t得到土 2 一口 一3=0,所 以+1 2=A/2 *1 t 2=-3,所以|MA|-MB=总+t2=V2.解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用一元二次方程根和系数关

22、系式的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23.答案：解：(1)：函数/(%)=/-1,g(x)=a|x-1|,y二 关于的方程|/(x)|=g(x),/即为-1|=a|x-1|,/即 为-l|(|x+1|-a)=0,H-1-1+0-1-x显然x=1是方程的根，关于x 的方程|/(x)|=g(x)只有一个实数解X=1,方 程+1|=a有且仅有一个等于1的根或者无根结合函数图象可得，a 0,实数a的取值范围为a g(x)对x e R恒成立，即为(/-1)ax-1

23、|对x G R恒成立，当x=1时，0 0显然恒成立，a G/?：当大1时，(/-1)ax-1|对x G R恒成立，对x G R恒成立，,:当 x l 时，2,当x l 时，(x)2,(p(x)2,*C L 4-2,综合，实数Q的取值范围为a W2；(3):h(x)=|/(x)|4-g(x)=|x2-1|4-ax-1=%2 4-ax a 1,%1,x2 ax+a 4-1,-1%1,x2-ax+a 1,x 1,即a 2 时，结合函数的图象可知，(x)在 上 单 调 递 减，在 1,2 上单调递增，八(一 2)=3a+3,h(2)=a+3,经比较，此时九。)在-2,2 上的最大值为3a+3,当0 1

24、,即0 S a W 2时，结合函数图象可知九在 2,-1 ,-泉1 上单调递减，在-1,一 J 1,2 上单调递增，且九(一2)=3a+3,/i(2)=a+3,h(卞=9 +a+1,经比较，此时/t(x)在-2,2 上的最大值为3a+3,综上所述,当a 2 0时，八。)在 一 2,2 上的最大值为3 a+3.解析：(1)将关于#的方程|/(%)|=g(尤)变形可得归一 1|(设+1|-。)=0,从而确定有一个根为1,将问题转化为求方程|x+l|=a有且仅有一个等于1的根或者无根，利用数形结合的方法，即可求得实数a 的取值范围；(2)不等式(/-I)之词一1|对x e R 恒成立，分成当x=l 时恒成立，当时，利用参变量分离法得到a 痣对x e R恒成立，根据绝对值的定义，去掉绝对值，构造函数次 乃=1，求出9(%)的取值范围，从而得到a 的取值范围，综合两种情况下的a 的取值，即可得到答案；(3)讨论x去绝对值，得到分段函数，然后分别结合函数的图象得到函数的单调性从而求出函数/i(x)在-2,2 上的最大值，从而求出所求.本题考查了函数的恒成立问题，函数的最值及其几何意义，函数的零点.对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解.函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化.属于中档题.