2021年广东省揭阳市普宁市普师高级中学高考数学热身试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021年广东省揭阳市普宁市普师高级中学高考数学热身试卷一、单 选 题（本大题共8 小题，共 40.0分）1.（2021.浙江省杭州市单元测试）设集合P=V 4,集合Q=%|%2 2）在 =?1处取得最小值，则 =（）A.1 B.3 C.D.47.（2017.云南省昆明市期中考试）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）8.(2020宁夏回族自治区石嘴山市期中考试)在(2/-5的二项展开式中，工项的系数为()A.10 B.-10 C.40 D.-40二、多选题(本大题共4 小题，共 20.()分)9.(2021广东省揭阳市模拟题)在平面直角坐标系X。，

2、中，抛物线y2=6x 的焦点为F,准线为/,P 为抛物线上一点，PAL I,A 为垂足,若直线A尸的斜率k=-旧，则下列结论正确的是()A.准线方程为x =-3 B.焦点坐标F(|,0)C.点P的 坐 标 为 3V3)D.P F的长为310.(2021广东省揭阳市模拟题)对于函数f(x)=x|x|+x +l,下列结论中错误的是()A.f(x)为奇函数 B.在定义域上是单调递减函数C./(%)的图象关于点(0,1)对称 D./(乃在区间(0,+8)上存在零点11.(2021安徽省蚌埠市单元测试)已知函数/(x)=V5sin(2x +),则下列选项正确的有()A./(尤)的最小正周期为B.曲线y=

3、/(x)关于点弓,0)中心对称C.f(x)的最大值为百D.曲线y=f(x)关于直线x =?对称12.(2021.湖北省黄石市单元测试)已知函数f(x)=x(e*+l),g(x)=(x +1)x,则()A.函数/。)在R上无极值点B.函数g(x)在(0,+8)上存在唯一极值点C.若对任意x 0,不等式/(a 2/(I n/)恒成立，则实数。的最大值为:D.若八%)=5(X2)=t(t 0),则丁氏f的最大值为十三、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.(2021.广东省揭阳市.模拟题)若向量1=(1,2),另一1=(-2,1)，则。石=.14.(2021.广东省揭阳市.模拟题)设离散型

4、随机变量X服从两点分布，若P(X =0)=,则P(X =1)=.第2页，共18页15.（2020上海市月考试卷）已知椭圆式+旺=1的左、右焦点分别为F i、尸2,若椭圆上9 4的点P满足伊京|=2PF2,则|PFI|=.16.（2021广东省揭阳市模拟题）已知三棱锥P-A B C中，二面角P-4 B-C的大小为120,ABC是边长为4的正三角形，A P 4 B是以P为直角顶点的直角三角形，则三棱锥P-ABC外 接 球 的 表 面 积 为 .四、解 答 题（本大题共6 小题，共 70.0分）17.（202卜 广东省模拟题）已知数列 斯 满足：斯+1=2a“_ i（n 2 2,n N*）,%=3.

5、（1）求证：数列 ln（%,-1）是等差数列，（2）求数列 an的前项和.18.（2021浙江省杭州市单元测试）在A Z B C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,SibsinB=asinA 4-(c-a)sinC.求B；(2)若3s讥C=2sin4 且 4BC的面积为6旧，求上19.（202卜 广东省揭阳市模拟题）2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.某社区组织了 80名社区居民参加防疫知识竞赛，他们的成绩全部在40分 至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分

6、且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求社区居民成绩的众数及a 的值；(2)我们将成绩大于等于80分称为优秀，成绩小于60分称为不合格.用分层抽样的方法从这80个成绩中抽取20个成绩继续分析，成绩不合格和优秀各抽了多少个？再从抽取的不合格成绩和优秀成绩中任选3 个成绩，记优秀成绩的个数为x 个，求x 的分布列和数学期望.,K率册R，a-w0.030-20.(2020安徽省合肥市单元测试)如图，四棱锥P-4B C D 中，PA 1 底面 ABCD,AD/BC,Z.BAD=90,AD=2BC,M

7、为 PD的中点.(I)证明：CM/平 面 PA&(D)若4 PB。是等边三角形，求二面角力-P B-M的余弦值.第4页，共18页21.(2020山东省月考试卷)已知双曲线1 一 号=1(其中a 0,b 0),点4(a,0),B(0,-b),离心率为这，且原点到直线AB的距离是更.3 2(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y=kx+5(k 力0)交双曲线于C,。两点，且 C,。都在以8 为圆心的圆上，求人的值.22.(2021.湖北省.模拟题)已知函数/(%)=2 cos2 x+ax2.当 a=1时，求/的导函数(在 一 币上的零点个数；(2)若关于x 的不等式2cos(2sinx)+a2x2

8、a f(%)在(-8,+8)上恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【知识点】补集运算、集合包含关系的判断【解析】【分析】本题考查集合间的包含关系的判断，属基础题.求出集合。=x|-2 c x 2 ,画数轴即可得出结论.【解答】解：集合P=x|x 4 ,集合Q=%|%2 4=%-2%0,所以C选项错误；又因为/(2)=2+等 0,所以。选项错误.故选：A.第6页，共18页先判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值符号的对应性进行排除即可.本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，对称性以及特殊值的符号的对应性进行排除是解决本题的关键.4.【答案】A【知识点】二倍角正弦公式、正

9、余弦齐次式的计算【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化 切”是关键，属于基础题.将所求的关系式的分母“1”化为(c o s Z a +s i M a),再 将“弦”化“切”即可得到答案.【解答】解：-tana=-,:.c o s 2 a +2 sin2 acos2a+4sinacosasin2a+cos2 a1 +4tanatan2a+1_ 1+4 XJ _ 6416故选A.5.【答案】C【知识点】数列的通项公式【解析】【分析】本题考查了数列通项公式，属于基础题.分别考虑数列的符号与数值变化规律即可得出.【解答】解：观察数列一 1，3,

10、-5,7,-9，得通项公式为an=(-l)n(2 n -1).故选C.6.【答案】B【知识点】利用基本不等式求最值【解析】【分析】/(%)=%-2+2,再利用基本不等式，即可得出结论，本题考查基本不等式的运用，恰当转化，利用基本不等式是关键.【解答】解：v%2,%2 0,/(%)=x-2+2 2 2心-2).专+2=4,当且仅当X-2=即 =3时，函数取得最小值4.,几=3.x-2故选B.7.【答案】A【知识点】球的表面积、棱锥的结构特征、球的切、接问题【解析】【分析】本题主要考查四棱锥外接球的表面积，属于基础题.利用正四棱锥的底面边长和高求出外接球的半径，进而可得球的表面积.【解答】解：由题

11、可知正四棱锥尸一ABCD的外接球的球心在它的高POi上，记为0,设球的半径为R,棱锥的高为4,底面边长为2,R2=(4-/?)2+(V2)2.第8页，共18页 该球的表面积为47 r x (；)2 =等.故选A.8.【答案】D【知识点】二项式定理的应用、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】解：(2 x 2 -65的 二 项 展 开 式 的 通 项 为=%(2/)5-r(r=C f 2 5 T(1)3 3 r令 1 0 -3 r=1,得r=3故x项的系数为(7/5-3(_ 1)3 =_4o故选。由题意，可先由公式得出二项展开式的通项7+i =星(2/)5-(-3 r=C 25-r(-l)rx

12、1 0-3 r,再令1 0 3r=l,得r=3即可得出x项的系数本题考查二项式的通项公式，熟练记忆公式是解题的关键，求指定项的系数是二项式考查的一个重要题型，是高考的热点，要熟练掌握9.【答案】BC【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：由抛物线方程为/=6%,二焦点坐标F(|,0)，准线方程为无=4，故A选项错误，8选项正确，直线A F的斜率为一声，直线A F的方程为y =-V 3(x -1),当x =|时，y =3 V 5,二 4(-1,3遮)，PA 1 I,A 为垂足，点尸的纵坐标为36，可得点P的坐标为(会3百)，故C选项正确，根据抛物线的定义可知|P F|=仍川=1(-1)=6,

13、故。选项错误，故选：BC.根据抛物线的性质，即可判断A、B选项，直线AF的方程为、=一 代(-|),将A的横坐标 =-|代入直线AF方程中，可得A点的纵坐标，再 结 合 条 件 即 可 判 断c选项，根据抛物线的性质，即可判断。选项.本题主要考查了抛物线的性质，需要学生熟练掌握公式，属于中档题.1 0 .【答案】ABD【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性与单调区间【解析】解：/,(%)=xx+x+l =(x2+x +l,x 0I-x2+x +l,x 0,解得：x -2,令F(x)0,解得：x 0,故“X)在 R 递增，故函数/(X)在R上无极值点，故A正确；对于 B：g(x)=1+Inx,令G

14、(x)=1+：+I n x,贝i G (x)=妥，令G (x)0,解得：x l,令G (x)0,解得：0 x 0,故g(x)在(0,+8)递增,函数g(x)在(0,+8)上无极值点，故B错误；对 于C：由4得：/(%)在(0,+8)递增，不等式/(a x)/(仇丁)恒成立，贝i a x 2仇 久2恒成立，故a 2设仅x)=竽，则(x)=丝 券，令/i (x)0,解得：0 x e,令/i (x)e,故人(x)在(0,e)递增，在(e,+8)递减，故力(x)m a x =h(e)=|,故a 故C错误；对于。：若/(%i)=g(%2)=t(t 0)，则 Xi(e*i +1)=(x2+l)lnx2=t

15、,t 0,%!0,x2 1,m%2-e 叮，Xi(x z+1)-Xi(e x i +1)，设k =Xi(e%+l),设g(k)=W，则g (k)=彳学,令 g (k)0,解得：0 k e,令 g (k)e,故g(k)在(0,e)递增，在(e,+8)递减，故g(k)m a x =g(e)=此时e =%1(eX1+1)=(x2+i)lnx2,故 的 最 大 值 是,，故。正确；xi(x2+1)e故选：AD.求出函数/(x)的导数，根据函数的单调性判断A,求出函数g(x)的导数，根据函数的单调性判断B,若对任意x 0,不等式/(a x)/(I n M)恒成立,则a 警,设h(x)=等，根据函数的单调

16、性判断C,当%2=/工 时，兰 =回*：“X1 kx2 +1)xlke，十 外设k=x】(eX，+l),设g(k)=哈 根据函数的单调性判断D.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.13.【答案】5【知识点】向量的数量积【解析】解：由题意向量五=(1,2),b-a =(-2,1).可得 E=(1,2)+(-2,1)=(-1,3)，故4=l x(-l)+2x3=5-故答案为：5.利用向量的坐标运算，转化求解向量的数量积即可.本题考查向量的坐标运算法则的应用，向量的数量积的求法，是基础题.14.【答案】|【知识点】次独立重复试验与二项分布【解析】解：因为离散型随机变量X服

17、从两点分布，且p(x=o)=2，所以 P(X=1)=1-P(X =O)=1-|=|.故答案为：|.利用两点分布的概率之和为1,求解即可.本题考查了两点分布的理解和应用，属于基础题.15.【答案】4【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：椭圆卷+?=1的左、右焦点分别为Fi、F2,椭圆上的点/满足|PFI|=2PF2,因为|P&l+|PF2l=2a=6,所以|PF/=4.故答案为:4.利用椭圆的定义，结合已知条件转化求解即可.本题考查了椭圆的标准方程及椭圆的性质的应用，属于基本知识的考查，是基础题.第 12页，共 18页16.【答案】詈 7 T【知识点】球的表面积和体积【解析】解：如图所示，设

18、三棱锥P-4 8 C 外接球的球心为 卜o,AZBC的外接圆的圆心为01，APB外接圆的圆心为。2，连结。1，则。3 J 平面ABC,%V、连结CO1并延长交AB于点D,c因为ABC为正三角形，所以点。为 AB的中点，又因为A/PB 是以尸为直角顶点的直角三角形，所以点。为A 4PB外接圆的圆心，即 D 与。2重合，所以连接。，则平面PAB,又因为二面角P-48 C的大小为120。，所以4。1=30,又在正AABC中，由48=4,则。O i=：DC=竽，2V3在Rt。0山中，C0S4。】=盘，解得。=悬=/=%2故外接球的半径为R=JO?+业=修 4=宇，所以外接球的表面积为S=4TTR2=等

19、兀.故答案为：找到三棱锥P-A B C 外接球球心的位置，求出外接球的半径，由球的表面积公式求解即可.本题考查了棱锥的外接球问题，球的表面积公式的运用，解题的关键是确定球心的位置,考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.17.【答案】(1)证明：即+1=2即_ 1(”2,n G N),ax=3,*-1 2(。九 _ -1),九之 2,又%-1 =2,0n 1=2n,A ln(an+1 1)ln(an-1)=仇2,Qn-1 .数列 IM4.-1)是公差为ln2的等差数歹I ；(2)解：由(1)知：an-l =2n,an=2n+1,Sn =(2 +2 2 +2 3 +-+2n)+n =+n

20、=2n+1-2 +n.【知识点】等差数列的性质、数列求和方法【解析】(1)先由题设推导出：a*1 =2(a“i l),n 2,进而说明数列 an 1 是首项、公比均为2的等比数列，求得其通项公式，再利用等差数列的定义证明结论即可；(2)先由(1)求得即，再利用分组求和法求得其前n项和即可.本题主要考查等差、等比数列的定义及基本量的计算、分组求和在数列求和中的应用，属于中档题.1 8.【答案】解：(l)AAB C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且加出B =a s in A+(c a)sinC.所以：/=Q2 +(C 一 Q)C,整理得：cosB=a+c b 2 ac 2由于：0 V 8

21、兀，故：8=4(2)v 3sinC=2 sinAf.由正弦定理可得：3c=2 af AB C的 面 积 为=a c s in B =苧 四,解得：ac=2 4,(2)由解得：a =6,c =4,由余弦定理可得：b =Va2+c2-2 accosB=/3 6 +1 6 -2 x 6 x 4 x|=2A/7.【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)化简已知等式利用余弦定理可求c o s B =：,结合范围0 8 =6 0 0,第16页，共18页所以&的取值是V 7.【知识点】直线与双曲线的位置关系、双曲线的性质及几何意义【解析】(1)求出过4(a,0),B(0,-b)的直线方程，利用原点到直线A

22、 8 的距离，利用离心率，求解”，b,得到双曲线方程.(2)把y=/cx+5 代入?y2 =1 中消去，设C Q 1,当),Z)(x2,y2),利用韦达定理，求解 C,。两点的中点E的 坐 标 是(蒜，金)，推出直线B E 的斜率，结合B E J.C D,求解女即可.本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.2 2.【答案】解：(1)易知/(%)=2(x-s in 2%),显然(0)=0,所以x=0 是/(%)的一个零点，令9(x)=x-s in 2 x(0%),则g(x)=1 -2 cos2 x=0 时，%所以g(x)在(0 5)单调递减

23、，在麻坊单调递增，则g(x)的最小值为g(E)=-3 0,所以g(x)在(0 吟)上存在唯一零点的 G (级)则1(x)=2 g(x)在(0 1)上亦存在唯一零点,因为/(x)是奇函数，所以尸(x)在(-；,0)上也存在唯一零点-沏,综上所述，当a =l时，f(x)的导函数(x)在 自上的零点个数为3；(2)不等式2 cos(2 s 勿x)+a2x2 a/(x)恒成立，即不等式cos(2 s in x)a cos 2%恒成立,令s in x=t e -1,1 ,则等价于不等式cos 2 t a(l 一 t2)恒成立,若严=1,即1=1 时，不等式(1)显然成立，此时a C R,若一ltl时，不

24、等式(1)等价于a 2清 翁(2)(L C)当owtvi时，(t)2tcos2t-(l-t2)sin2t(1-t2)2令(p(t)=tcos2 t (1 t2)s i n 2 t(0 t 1,则d(t)=(2t2-l)cos2t(0 t 1),已知d(4)=0,吒)=0,且当 亲则s(t)在(0,m，G，l)上单调递减，在(立,区)上单调地增，又3(0)=0,(p()=t2-1 0,所以0(t)0在(0,1)上恒成立，所以九(力 在 0,1)上单调递减,则九(。1,综上所述，满足题意的实数a的取值范围为口,+8).【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、函数的零点与方程根的关系、利用导数研究

25、函数的极值【解析】易知f(x)=2(x-sin 2 x),显然尸(0)=0,对导函数求导得到g(x)=1-2cos2x(0 x),在(0*)单调递减，在麻今单调地增，则可得g(x)=x sin2x(0S%在(0,上存在唯一零点出”黑)，所以/(X)=2g在(0彳)上亦存在唯一零点,因为/(%)是奇函数，所以r(x)在(一鼠0)上也存在唯一零点一X 0,故共3个零点；(2)条件等价于不等式cos(2sinx)acos?%恒成立，令sin%=t G -1,1,则等价于不等式cos2tWQ(l /)(1)恒成立，则 若 严=1,即1=1时，不等式(1)显然成立，此时a R,若一1 1 1时，不等式(1)等价于a 2 1崭(2),构造函数，利用导数求得单调性进而可判断a的范围.本题考查函数导数的综合应用，考查利用导数判断函数零点个数，导数求函数单调性，属于难题.第1 8页，共1 8页