2021年安徽省宣城市郎溪中学自主招生数学模拟试卷及答案解析.pdf

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1、2021年安徽省宣城市郎溪中学自主招生数学模拟试卷一.选 择 题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.（3 分）今年2 月份某市一天的最高气温为10,最低气温为-7,那么这一天的最高气温比最低气温高（）A.-17 B.17 C.5 D.112.（3 分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（）A.2.034X106B.20.34X105C.0.2034 X106D.2.034X 1033.（3 分）计 算（-孙2）2的结果是（)A.2,4B.C.jr2y 2 D.x2/4.（3 分）若 数tn使 关 于 y 的方程一二m-5十 0.m-1 一一-1 o:无解,且使关于X 的不等式组f

2、5x+3、-r x 有整数解且至多有4 个整数解，则符合条件的根之和为（）V3x 2m 的长(精确至(J 0.1,V 3 1.7 3,V 2(2)交通局对该路段限速3 0 千米/小时，汽车从C到。用时2 秒，汽车是否超速？说明理由.1 9 .如图，在平面直角坐标系x O y 中，一次 函 数 的 图 象 与 反 比 例 函 数(k V O)的图象第 4页 共 2 9 页在第二象限交于A （-3,相），B（，2）两点.（1）当,=1时，求一次函数的解析式：（2）若点E在x轴上，满足/A E 2=9 0 ,且A E=2-“，求反比例函数的解析式.2 0.（2 4分）如图，AB为。O的直径，C为。上

3、的一点，ADLCD于点D,A C平分/D 4 B.（1）求证：C。是。的切线.C D 3（2）设A D交。于E,=-，A C。的面积为6,求 的 长.2 1.（7分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为4类，掌握2项技巧的为B类，掌 握1项技巧的为C类，掌握。项技巧的为。类，并绘制了如图两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息，解决下列问题：第5页 共2 9页学生掌握训练技巧的人数条形统计图 学生掌握训练技巧的人数扇形统计

4、图(2)请补全条形统计图，若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有 名学生已掌握3 项训练技巧；(3)A 类的5 名同学中有且仅有2 名来自同一个班，现 A 类的5 名同学中随机抽取2 名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率.22.(14分)(1)如 图 1,正方形A8C。和正方形OEFG(其中A B D E),连接CE,AG交于点儿 请直接写出线段AG与 CE的 数 量 关 系，位置关系；(2)如图 2,矩形 ABCC 和矩形 OEFG,AQ=2OG,AB=2DE,A D D E,将矩形。EFG绕点。逆时针旋转a(0 a360),连接AG,CE交于点”，

5、(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG,CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)矩形 A8C。和矩形 QEFG,AD=2DG=6,AB=2D E=S,将矩形 OEFG 绕点。逆时针旋转a(0 a,求当布的值最大时点尸的坐标；(3)点 F 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点尸的纵坐标为2时，过点P 作直线轴，点 M 为 直 线 上 的 一 个 动 点，过点M 作 M N _ L x 轴于点N,在线段O N上任取一点K,当有且只有一个点K满足N FK M=1 35 时，请直接写出此时线段O N的第7页 共2 9页2021年安徽省宣城市郎溪中学自主招生数学模

6、拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共 10小题，满分30分，每小题3 分）1.（3 分）今年2 月份某市一天的最高气温为10,最低气温为-气温比最低气温高（）A.-17 B.17 C.5【解答】解：10-（-7）=10+7=17（）.故选：B.2.（3 分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（）A.2.034X 106 B.20.34X105 C.0.2034X 106【解答】解：数字2034000科学记数法可表示为2.034X 1（）6.故选：A.3.（3 分）计 算（-孙2的结果是（）A.B.C.【解答】解：（-孙2）2=/v，故选：D.4.（3 分）若 数m使关于y的方程一

7、 +:无解,yL-y yz+y yz-lf5x+3、广 一乂 有整数解且至多有4 个整数解，则符合条件的/（3久2m x 得-1 X&F，13%2m 芯 有整数解且至多有4 个整数解,（3%2m 2：.02m 2 r T B 0*C 8 1 0 t/s图1 图2V 5 V 3 V 5A.B.C.3 2 6【解答】解：从图2可以看出，时，B P Q 的面积的表达式为二次函数，8 f A.2 X 45B.2 X 46C.47D.2 X 47【解答】解：观察数轴上A,8两点的距离发现：0 8大约等于8个A。，因 为（2 X 46）+4 5 =8.所以最接近点B表示的数为2 X 4 6.故选：B.二.

8、填 空 题（共4小题，满 分12分，每小题3分）1 1.（3分）信息技术的存储设备常用B,K,M,G等作为存储量的单位，例如，我们常说某计算机硬盘容量是3 2 0 G,某移动硬盘的容量是8 0 G,某个文件的大小是8 8 K等，其中1 G=2I OM,1M2I OK,对于一个存储量为6 4 G的闪存盘，其 容 量 有 上 上 个B.【解答】解：6 4 G=6 4 X 21 0X 2l0X 2l0B=23 6B.故答案为：23 6.1 2.（3分）如图，等腰直角三角形A B C位于第一象限，A 8=A C=2,直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1,且两条直角边48、A C分别平行于x轴

9、、y轴，若双曲线y=（左#0）与48 C有交点，则左的取值范围是1 W Z 4 .c、/i【解答】解：如图，设直线y=x与B C交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为。、F,E F交A B于M,点的横坐标为1,A点在直线y=x上，.A（1,1）,又：AB=AC=2,AB x 轴，AC y 轴，：.B（3,1）,C（1,3）,且AB C为等腰直角三角形,3+1 1+35 C的中点坐标为（一丁，:一），即 为（2,2）,2 2点（2,2）满足直线丁=羽第 1 2 页 共 2 9 页.点（2,2）即为E 点坐标，E 点坐标为（2,2）,.,.k=O XA D=l,或 4=OFXE尸=4,当双

10、曲线与AABC有唯一交点时，1WZW4.故答案为：1WAW4.13.（3 分）如图，矩形A8CZ）中，E 为边AB上一点，将 AQE沿。E 折叠，使点A 的对应点尸恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N,连接B N.若B F-A D=15,tanNB NF=看则 矩 形 的 面 积 为 15 花.【解答】解：.将AAOE沿。E 折叠，使点A 的对应点尸恰好落在边BC上,：.A F X.D E,AE=EF,.,矩形 ABC。中，NA B F=9 0,；.B,E,N,F 四点共圆，N B N F=NB E F,tan Z B E F=堂，设 8/=遍 ，B E=2x,：.E F=yjB F2+B

11、E2=3 x,：.A E=3 x,.*.AB=5 x,：.A B=V 5B F.S inK iA iiC D A B A D=痘B F,A D=V5 x l5=15 V5.故答案为：15 遍.14.（3 分）如图，在边长为1 的菱形ABC。中，NABC=60,将 ABZ）沿 射 线 方 向平移，得到E F G,连接EC、GC.求 EC+GC的最小值为_ 6 _.第1 3页 共2 9页E【解答】解：.在边长为1的菱形ABC。中，NA8C=60,：.AB=CD=,ZABD=30,.,将 4 B D沿射线BD的方向平移得到aEG尸，；.EG=AB=1,EG/AB,.四边形4 8 c o是菱形，：.A

12、B=CD,AB/CD,：.ZBAD=20,：.EG=CD,EG/CD,连接E。四边形EGCD是平行四边形，：.ED=GC,：.EC+GC的最小值=以?+7）的最小值，:点E在过点A且平行于BD的定直线上，二作点。关于定直线的对称点M,连接CM交定直线于E,则CM的长度即为EC+DE的最小值，；NEAD=NAOB=30,4。=1,A ZADM60,DH=MH=AD=1,：.DMCD,:NCDM=/MDG+NCDB=900+30=120,：.ZM=ZDCM=30,:.CM=2x岭CD=V3.故答案为：V3.第1 4页 共2 9页三.解 答 题（共9小题，满 分81分）15.先化简：（詈-高）十 鹄

13、 再 从-3、-2、7、1中选一个合适的数作为的值代入求值.【解答】解:原式=(a+7)(a+l)-2(a-l).(a+l)(a-l)(a+l)(a-l)Q(Q+3)Q2+6Q+9Q(Q+3):(a+3/_ a(a+3)a+3a，当t/=-3,-1,0,1时，原式没有意义，舍去,当“=-2时，原式=-：.16.（16分）某镇水库的可用水量为12000万立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万 人20年的用水量.实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量.（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到2 5年

14、，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？【解答】解：（1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，由题意，得C12000+2Ox=16 x 20ytl2000+15x=20 x l5 y,解 得:（J：50答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米.第1 5页 共2 9页(2)设该城镇居民年平均用水量为z 立方米才能实现目标，由题意，得1 2 0 0 0+2 5 X 2 0 0=2 0 X 2 5z,解得：z=34W J 50-34=1 6(立方米).答：该城镇居民人均每年需要节约1 6立方米的水才能实现目标.1 7.如图，正方形网格中，每个小正方形的边

15、长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，AB C 的三个顶点坐标分别为4(-3,1),8(-1,1),C(0,3).(1)画出 AB C 关于y轴对称的 48 i C i；(2)画出 A8 C 以点O为位似中心的位似图形42 B 2 C 2,Z VIB C 与2 8 2 c 2 的位似比为 1：2；(3)求以功、B 2、Ai、A2 四个点为顶点构成的四边形的面积.【解答】解：(1)如图，AIBICI即为所求;(2)如图，2 32 c 2 即为所求;(3)以 B i、B 2、4、A2 四个点为顶点构成的四边形的面积为:1-x (2+4)X 3=9.2第1 6页 共2 9页1 8.(2 0 分)石

16、室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取8、C、三点，再在桥外确定一点4,使得测得A2之间 1 5 米，使得乙4 D C=3 0 ,N AC B=6 0 .(1)求 C D 的长(精确到 0.1,V5=L7 3,V2 1.4 1).(2)交通局对该路段限速3 0 千米/小时，汽车从C到。用时2 秒，汽车是否超速？说明理由.【解答】解：(1)在 Rt ZAB C 中，N AB C=9 0 ,乙4 c B=6 0 ,A8=1 5 米，：.B C=+c。=更=5 百 米，tan6

17、00/3在 Rt ZXAB。中，ZAB D=9 0 ,N A B=3 0 ,：.B D=7 5 AB=1 5 百 米，：.C D=B D-BC=M=1 7.3 米，.C O 的长为1 7.3 米；(2)：3 0 千米/小时=3 0 0 0 0 +3 6 0 0=年米/秒，而 1 0/3 +2 弋 8.6 6-,汽车超速.1 9.如图，在平面直角坐标系X。)，中，一次函数的图象与反比例函数y=1 (/V 0)的图象在第二象限交于A(-3,m),B(，2)两点.第1 7页 共2 9页（1）当 根=1时，求一次函数的解析式；（2）若点E在x轴上，满足N AE 8=9 0 ,且A E=2-m,求反比例

18、函数的解析式.【解答】解：（1）当相=1时，点A（-3,1）,点A在 反 比 例 函 数1的图象上，:.k=-3 X1=-3,.反比例函数的解析式为y=.点B （，2）在 反 比 例J函 数X图 象 上，：.2n=-3,3 =一下（-3 a+6 =1设直线A 3的解析式为y=o r+b,则_ 3。+8 =2 4-1.非1/）=3直线A B的解析式为尸|r+3；（2）如图，过点A作轴于M,过点B作B N _Lx轴于N,过点4作AF _LB N于凡交B E于G,则四边形A M N F是矩形，；.F N=A M,A F=MN,：A（-3,根），B（，2）,:B F=2-m,9：A E=2-：.B F

19、=A E,第1 8页 共2 9页(AGE=乙 BGF(对顶角相等)在 AAEG 和中，=/-BFG=90，U F =BF.,.AEGABFG(A4S),：.AG=BG,EG=FG,:.BE=BG+EG=AG+FG=AF,.点A(-3,?)，B(，2)在反比例函数y=1的图象上，=i 3加=2，/.m=一 殳 几,2：.BF=BN-FN=BN-AM=2-m=2+触 MN=n-(-3)=+3,/.BE=AF=n+3,V ZAEM+ZMAE=90,NAEM+NBEN=90,:./M AE=/NEB,：/AME=NENB=9U0,.XAMEs 丛 ENB,2,ME AE 2-m _ 2+/_ 2BN

20、BE?l+3 71+3 32 4:ME=勺 BN=三,在 RtZAME 中，AM=m,A E=2-m,根据勾股定理得，AM2+A/E2=AE2,4m1+()2=(2 -m)2,3m=Q,:k=-3m=一 ，.反比例函数的解析式为)，=第1 9页 共2 9页20.（24 分）如图，AB为。的直径，C 为。上的一点，ADLCD于点D,AC平分ND4 B.（1）求证：CD是。的切线.,CD 3（2）设 AZ）父。于 E,=ACC的面积为6,求 BQ的长./1C 3【解答】（1）证明：连 接 OC,：OA=OC,：.ZOAC=ZOCAf AC 平分/DAB,：.ZOAC=ZDACf：.ZDAC=ZOC

21、A,：.OC/AD,NOCO=N4 ZK?=90,C。是。的切线；CD 3 解 无=?.设 AC=5 x,CD=3x,：.AD=4x,.,4 C）的面积为6,1 1,.AD*CD=x 4 x X 3x=6,2 2；.x=l（负值舍去），：.AD=4,CD=3,AC=5,连接BC,为。0 的直径，A ZACB=90,ZACB=ZADC,第 20页 共 29页9：Z D A C=Z C A B,：.丛A D C s 丛A C B,.竺 一 生 =,A C A B.4 5.一 =,5 A B .4ADB _ 25Z D A C=Z C A B,：.C E =C B,连接B E 交 O C于 F,：.

22、OC 上B E,B F=E F,T 4 B为。的直径，A ZA E B=ZD E B=9 0 ,四 边 形 石尸是矩形，：.E F=C D=3,；B E=6,：A E=y/A B2 B E2=7,7 9：.D E=4-=f：.B D=y/B E2+D E2=qn21.（7分）随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌 握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为。类，并绘制了如图两幅不完整的统计图.请结合统

23、计图中的信息，解决下列问题：第2 1页 共2 9页学生掌握训练技巧的人数条形统计图 学生掌握训练技巧的人数扇形统计图（2）请补全条形统计图，若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有2 5 0名学生已掌握3项训练技巧；（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率.【解答】解：（1）被调查的学生一共有816%=50（人）；故答案为：50；（2）C类的人数有:5 0-5-16-8=21（人），补全统计图如下:学生掌握训练技巧的人数条形统计图2500 x=250（人），答：初二年级大约有250名

24、学生已掌握3项训练技巧;故答案为：250；（3）将同一个班的2名学生均记为A,其他记为B、C、D,列表如下:第2 2页 共2 9页AABcD4(A,A)(B,A)(C,A)CD,A)A(A,A)(8,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(A,B)(C,B)(D,B)C(A,C)(A,C)(8,C)(D,C)D(A,D)(4 D)(8,O)(C,D)由表可知，共有20种等可能结果，其中所抽取的2 名学生恰好来自同一个班级的有2 种结果，所以所抽取的2 名学生恰好来自同一个班级的概率为/=卷.22.(14 分)(1)如 图 1,正 方 形 和 正 方 形。EFG(其中连接CE,AG交于点儿请直接写

25、出线段AG与 CE的 数 量 关 系 相 等，位 置 关 系 垂 直；(2)如图 2,矩形 ABCD 和矩形 FG,AO=2OG,AB=2DE,A D=D E,将矩形 OEFG绕点。逆时针旋转a(00 a360),连接AG,CE交于点H,(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG,CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)矩形 4 BCD 和矩形 OEFG,AD=2DG=6,A B=2D E=8,将矩形 OEFG 绕点。逆时针旋转a(0 a=苦，PG=|,则 AP=y/AD2-PD2=J 62-（茎）2=警 1,贝 lj AE=AG-GE=AP+GP-GE=+1-

26、5=6 1 6.当 点 G 在线段AE上时，如图4,第2 5页 共2 9页图4过点D作DPA.AG于点P,:N D P G=N E D G=9 0 ,Z D G P=ZEGD,同理得：=挈,由勾股定理得：PE=心.(第 2 =媪则 但 目+卜鸣”综上，AE的长为6 V H 1652 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a f+x+3 (a W O)与 x轴交于点A (-1,0)、8(3,0),与 y轴交于点C,点尸是第一象限内抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式；PD(2)连接BC与 OP,交于点。，求当二的值最大时点尸的坐标；OD(3)点尸与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐

27、标为2时，过点尸作直线 P Q 轴，点 M 为直线尸。上的一个动点，过 点 作 MNLx轴于点N,在线段O N上任取一点K,当有且只有一个点K满足NFK M=13 5 时，请直接写出此时线段ON 的长.第2 6页 共2 9页【解答】解：(1)抛物线y=o?+b x+3 (a/0)与无轴交于点A(-1,0)、B (3,0),f0 =Q b +3(0 =9Q+3 b +3 解得：仁广抛物线的解析式为y=-/+2x+3；(2)如 图1,过点尸作P G L x轴，交B C于G,.抛物线的解析式为y=-/+2%+3与)，轴交于点C,.,.点 C(0,3),直线B C解析式为、=-x+3,设点 P(p,-

28、/+2p+3),则点 G 坐 标 为(p,-p+3),:.PG=p 2+2p+3 -(-p+3)-p+3 p,：PG/OC,3、2 9.PD PG -p 2+3 p-+4 OD OC 3-3 Q PD .当时，而的值有最大值，3 15 点 P(二，一);2 4第2 7页 共2 9页（3）当点“在点尸的右侧，如图2,连接F M,以 为 斜 边，作 等 腰 直 角 当以H为圆心F 为半径作圆”，与x轴相切于K,此时有且只有一个点K满足NFKM=135，连接H K,交PM于Q,延长CF交HK于E,则”K_Lx轴,设点 H(x,y),点 A(-1,0)、B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1，,点/

29、与 点。关于抛物线的对称轴成轴对称，点/(2,3),C尸x轴，：.CF/PM,:HKLCF,HK上 PM,：.ZFEH=ZHQM=90=4FHM,：.ZFHE+ZQHM=90=/FHE+/HFE,：./QHM=NHFE,又,：FH=HM,:.丛FHEQ丛HMQ(A4S),:.HE=QM=y-3,HQ=EF=x-2,y-2=x-2,x=y,u：FH2=HE1+EF1f.,.)?=(y-2)2+(y-3)2,第2 8页 共2 9页；.y=2V5+5,:.QM=2陋+5-3=2遮 +2,.点 M 的 坐 标(4V3+7,2),轴,；.0N=7+4 8，当点M 在点尸的左侧，同理可求0N=3+4代,综上所述：线 段 ON的长为7+4百 或 3+4次.第2 9页 共2 9页