用一元二次方程解决动态几何问题中学教育中考中学教育中考.pdf

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1、用一元二次方程解决动态几何问题 例 1 在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P从点 A 开始以 1cm/s的速度沿 AB边向点 B 移动,点 Q 从点 B 开始以 2cm/s的速度沿 BC 边向点 C 移动,如果 P、Q分别从 A、B 同时出发，几秒后PBQ的面积等于 8cm2？变式训练一：几秒钟后，若PQD 的面积等于 8cm2呢？变式训练二：当点 Q 运动到点 D 时，P、Q 两点同时停止运动，试求PQD 的面积 S与 P、Q 两个点运动的时间 t 之间的函数关系式。动态几何找等量关系的基本思路：1、若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数

2、关系式；2、如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式。BACDQP例 1 在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P从点 A 开始以 1cm/s的速度沿 AB 边向点 B 移动,点 Q从点 B 开始以 2cm/s的速度沿 BC 边向点 C 移动,如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，几秒后 PBQ的面积等于 8cm2？例2：等腰直角 ABC 中,AB=BC=8cm,动点P从A 点出发,沿AB 向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与 AC,BC 分别交于 R、Q.当 AP 等于多少厘米时,平行四边形 PQCR 的面积等于 16cm2?例 3

3、：ABC 中,AB=3,BAC=45,CD AB,垂足为 D,CD=2,P是 AB 上的一动点(不与 A,B 重合),且 AP=x,过点 P作直线 l 与 AB 垂直.i)设 ABC 位于直线 l 左侧部分的面积为 S,写出 S与 x 之间的函数关系式;ii)当 x 为何值时,直线 l 平分 ABC 的面积?BACDQPQRCBAPlACDBP动如果分别从同时出发几秒后的面积等于变式训练一几秒钟后若的面积等于呢变式训练二当点运动到点时两点同时停止运动试求的面积与两个点运动的时间之间的函数关系式动态几何找等量关系的基本思路若动态图形比较特殊思考量关系列方程或函数关系式例在矩形中点从点开始以的速度

4、沿边向点移动点从点开始以的速度沿边向点移动如果分别从同时出发几秒后的面积等于例等腰直角中动点从点出发沿向移动通过点引平行于的直线与分别交于当等于多少厘写出与之间的函数关系式当为何值时直线平分的面积已知线段的长为以为边在的下方作正方形取边上一点以为边在的上方作正方形过作丄垂足为点若正方形与四边形的面积相等則的长为如图矩形的周长是以为边向外作正方形和正方 1 已知线段 AB的长为 a，以 AB为边在 AB的下方作正方形 ACDB 取 AB边上一点 E，以 AE为边在 AB的上方作正方形 AENM 过 E作 EF丄 CD，垂足为 F点若正方形 AENM 与四边形 EFDB的面积相等，則 AE的长为?

5、2 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD为边向外作正方形 ABEF和正方形 ADGH，若正方形 ABEF和 ADGH 的面积之和 68cm2，那么矩形 ABCD 的面积是？3 如图，将边长为 2cm的正方形 ABCD 沿其对角线 AC剪开，再把ABC沿着 AD方向平移，得到ABC，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm2，则它移动的距离 AA等于？4 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F分别是 BC、CD上的点，且AEF是等边三角形，则 BE的长为？5 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角A=30，B=90，BC=6米当

6、正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE为多少米时，有 DC2=AE2+BC2 例 2 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从 A，B，C，D出发沿 AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）当 x 为何值时，以 PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；动如果分别从同时出发几秒后的面积等于变式训练一几秒钟

7、后若的面积等于呢变式训练二当点运动到点时两点同时停止运动试求的面积与两个点运动的时间之间的函数关系式动态几何找等量关系的基本思路若动态图形比较特殊思考量关系列方程或函数关系式例在矩形中点从点开始以的速度沿边向点移动点从点开始以的速度沿边向点移动如果分别从同时出发几秒后的面积等于例等腰直角中动点从点出发沿向移动通过点引平行于的直线与分别交于当等于多少厘写出与之间的函数关系式当为何值时直线平分的面积已知线段的长为以为边在的下方作正方形取边上一点以为边在的上方作正方形过作丄垂足为点若正方形与四边形的面积相等則的长为如图矩形的周长是以为边向外作正方形和正方（3）以 P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等

8、腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由 1 如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点 P落在 AD边上（不与 A、D重合），在 AD上适当移动三角板顶点 P（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点 C？若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请说明理由；（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P在 AD上移动，直角边 PH始终通过点 B，另一直角边 PF与 DC延长线交于点 Q，与 BC交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请你说明理由 2 如图，RtABC中，B=90，

9、AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q分别从点 A和点 B同时出发，其中点 P 以2cm/s 的速度，沿 AB向终点 B移动；点 Q以 1cm/s 的速度沿 BC向终点 C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止连接 PQ 设动点运动时间为 x 秒（1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB的长度；（2）当 x 为何值时，PBQ为等腰三角形；（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm2？若存在，请求出此时 x 的值；若不存在，请说明理由 3 如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C两点同时出发，甲由 C向 D运动，乙由 B向 C运动，甲

10、的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周长为 40km，问几分钟后，两人相距2 10km？动如果分别从同时出发几秒后的面积等于变式训练一几秒钟后若的面积等于呢变式训练二当点运动到点时两点同时停止运动试求的面积与两个点运动的时间之间的函数关系式动态几何找等量关系的基本思路若动态图形比较特殊思考量关系列方程或函数关系式例在矩形中点从点开始以的速度沿边向点移动点从点开始以的速度沿边向点移动如果分别从同时出发几秒后的面积等于例等腰直角中动点从点出发沿向移动通过点引平行于的直线与分别交于当等于多少厘写出与之间的函数关系式当为何值时直线平分的面积已知线段的长为以为边在的下方作

11、正方形取边上一点以为边在的上方作正方形过作丄垂足为点若正方形与四边形的面积相等則的长为如图矩形的周长是以为边向外作正方形和正方4 如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P从 A开始沿 AB边向点 B以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC边向点 C以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P到达 B点或点 Q到达 C点时，两点停止移动，如果 P、Q分别是从 A、B同时出发，t 秒钟后，（1）求出PBQ的面积；（2）当PBQ的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值（3）是否存在PBQ的面积等于 10 平方厘米，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由 5、如图，在A

12、BC中，B90，BC 12cm，AB 6cm，点 P从点 A开始沿 AB边向点 B以 2cm/s 的速度移动（不与 B点重合），动直线 QD从 AB开始以 2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与 BC、AC交于 Q、D点，连结 DP，设动点 P与动直线 QD同时出发，运动时间为 t 秒，（1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P点的速度是以 1cm/s，则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？（2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？6、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB16cm，BC6cm，动点 P、Q 分别从点

13、 A、C 同时出发，点 P 以3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm?C A B P Q D Q P B D A C 动如果分别从同时出发几秒后的面积等于变式训练一几秒钟后若的面积等于呢变式训练二当点运动到点时两点同时停止运动试求的面积与两个点运动的时间之间的函数关系式动态几何找等量关系的基本思路若动态图形比较特殊思考量关系列方程或函数关系式例在矩形中点从点开始以的速度沿边向点移动点从点开始以的速度沿边向点移动如果分别从同时出发几秒后的面积等于例等腰直角中动点从点出发沿向移动通过点引

14、平行于的直线与分别交于当等于多少厘写出与之间的函数关系式当为何值时直线平分的面积已知线段的长为以为边在的下方作正方形取边上一点以为边在的上方作正方形过作丄垂足为点若正方形与四边形的面积相等則的长为如图矩形的周长是以为边向外作正方形和正方 7、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q移动的时间为 t 秒，（1）当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似？（2）当 t 为何值时，APQ 的面积

15、为524个平方单位？例 3、有一边为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰三角形 PQR，PQPR5cm，QR8cm，点 B、C、Q、R 在同一直线l 上，当 C、Q 两点重合时，等腰三角形 PQR 以 1cm/s 的速度沿直线 l 按箭头方向匀速运动，（1）t 秒后正方形 ABCD 与等腰三角形 PQR 重合部分的面积为 5，求时间 t；（2）当正方形 ABCD 与等腰三角形 PQR 重合部分的面积为 7，求时间 t；例 4、如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，CBOA，OA=7，AB=4，COA=60，点 P 为x 轴上的个动点，点 P 不与点 0、点 A 重合连结 C

16、P，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D，(1)求点 B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，OCP为等腰三角形，求这时点 P的坐标；(3)当点 P运动什么位置时，使得CPD=OAB，且58BDBA，求这时点 P的坐标；1、在等腰梯形 ABCD 中，AB=DC=5，AD=4，BC=10.点 E在下底边 BC上，点 F在腰 AB上.（1）若 EF平分等腰梯形 ABCD 的周长，设 BE长为 x，试用含 x 的代数式表示BEF的面积；B y x A P Q O O y P C B D A x C B Q R A D l P 动如果分别从同时出发几秒后的面积等于变式训练一几秒钟后若的面积等于呢变式训

17、练二当点运动到点时两点同时停止运动试求的面积与两个点运动的时间之间的函数关系式动态几何找等量关系的基本思路若动态图形比较特殊思考量关系列方程或函数关系式例在矩形中点从点开始以的速度沿边向点移动点从点开始以的速度沿边向点移动如果分别从同时出发几秒后的面积等于例等腰直角中动点从点出发沿向移动通过点引平行于的直线与分别交于当等于多少厘写出与之间的函数关系式当为何值时直线平分的面积已知线段的长为以为边在的下方作正方形取边上一点以为边在的上方作正方形过作丄垂足为点若正方形与四边形的面积相等則的长为如图矩形的周长是以为边向外作正方形和正方O xB A y（2）是否存在线段 EF将等腰梯形 ABCD 的周长

18、和面积同时平分？若存在，求出此时 BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段 EF将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 12 的两部分？若存在，求出此时 BE的长；若不存在，请说明理由；2、如图，直角坐标系中，已知点 A（2，4），B（5，0），动点 P 从 B 点出发沿 BO 向终点 O 运动，动点 Q 从 A 点出发沿 AB 向终点 B 运动两点同时出发，速度均为每秒 1 个单位，设从出发起运动了 xs，（1）Q 点的坐标为（，）；（用含 x 的代数式表示）（2）当 x 为何值时，APQ 是一个以 AP 为腰的等腰三角形?(3)记 PQ的中点为 G请你探求点 G随点 P，Q运

19、动所形成的图形，并说明理由；3、如图，机器人在点 A 处发现一个小球自点 B 处沿x轴向原点方向匀速滚来，机器人立即从 A 处匀速直线前进去截小球点 A 的坐标为（2，5），点 B 的坐标为（10，0），（1）若小球滚动速度与机器人的行驶速度相等，问机器人最快可在何处截到小球？（2）若小球滚动速度是机器人行走速度的两倍，那么机器人最快在哪里截住小球？4如图，在矩形 ABCD 中，AB 6 米，BC 8 米，动点 P 以 2 米/秒的速度从点 A出发，沿 AC向点 C移动，同时动点Q以 1 米/秒的速度从点 C出发，沿 CB向点 B移动，设 P、Q两点移动 t 秒（0t5）后，四边形 ABQP

20、的面积为 S 米2,（1）求面积 S 与时间 t 的关系式；（2）在 P、Q两点移动的过程中，四边形 ABQP 与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点 P的位置；若不能，请说明理由；y O A Q B P x A D C Q P B 动如果分别从同时出发几秒后的面积等于变式训练一几秒钟后若的面积等于呢变式训练二当点运动到点时两点同时停止运动试求的面积与两个点运动的时间之间的函数关系式动态几何找等量关系的基本思路若动态图形比较特殊思考量关系列方程或函数关系式例在矩形中点从点开始以的速度沿边向点移动点从点开始以的速度沿边向点移动如果分别从同时出发几秒后的面积等于例等腰直角中动点从点出发沿向移动通

21、过点引平行于的直线与分别交于当等于多少厘写出与之间的函数关系式当为何值时直线平分的面积已知线段的长为以为边在的下方作正方形取边上一点以为边在的上方作正方形过作丄垂足为点若正方形与四边形的面积相等則的长为如图矩形的周长是以为边向外作正方形和正方5、如图，有两个形状完全相同的直角三角形 ABC 和 EFG 叠放在一起（点 A 与点 E 重合），已知 AC=8cm，BC=6cm，C=90，EG=4cm，EGF=90，O 是EFG 斜边上的中点，如图，若整个EFG 从图的位置出发，以 1cm/s的速度沿射线 AB 方向平移，在EFG 平移的同时，点 P 从EFG 的顶点 G 出发，以 1cm/s 的速

22、度在直角边 GF 上向点 F 运动，当点 P 到达点 F 时，点 P 停止运动，EFG 也随之停止平移，设运动时间为 x(s)，FG 的延长线交 AC于 H，四边形 OAHP 的面积为 y（cm2）（不考虑点 P 与 G、F 重合的情况），（1）当 x 为何值时，OP/AC？（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形 OAHP 面积与ABC 面积的比为 13：24？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由；（参考数据：，或，25.205.436.194.413456116132251151299611422222 16.216.42

23、）动如果分别从同时出发几秒后的面积等于变式训练一几秒钟后若的面积等于呢变式训练二当点运动到点时两点同时停止运动试求的面积与两个点运动的时间之间的函数关系式动态几何找等量关系的基本思路若动态图形比较特殊思考量关系列方程或函数关系式例在矩形中点从点开始以的速度沿边向点移动点从点开始以的速度沿边向点移动如果分别从同时出发几秒后的面积等于例等腰直角中动点从点出发沿向移动通过点引平行于的直线与分别交于当等于多少厘写出与之间的函数关系式当为何值时直线平分的面积已知线段的长为以为边在的下方作正方形取边上一点以为边在的上方作正方形过作丄垂足为点若正方形与四边形的面积相等則的长为如图矩形的周长是以为边向外作正方形和正方