等比数列的前n项和例题解析中学教育高考中学教育中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 等比数列的前 n 项和例题解析 【例 1】设等比数列的首项为 a(a0)，公比为 q(q0)，前 n 项和为 80，其中最大的一项为 54，又它的前 2n 项和为 6560，求 a 和 q 解 由 Sn=80，S2n=6560，故 q1 aqqaqqnn()()11112=80=6560 q=81n a0，q1，等比数列为递增数列，故前 n 项中最大项为 an an=aqn-1=54 将代入化简得 a=q1 化简得3a=2q 由，联立方程组解得 a=2，q=3【例2】求证：对于等比数列，有SS=S(SS)n22n2n2n3n 证 Sn=a1a1qa1q2a1qn-1 S2n

2、=Sn(a1qna1qn+1a1q2n-1)=Snqn(a1a1qa1qn-1)=SnqnSn=Sn(1qn)类似地，可得 S3n=Sn(1qnq2n)S+S=SS(1q)=S(22qq)n22n2n2nn2n2n2n 学习必备 欢迎下载 S(SS)=S S(1q)S(1qq)=S(22qq)SS=S(SS)n2n3nnnnnn2nn2n2nn22n2n2n3n 说明 本题直接运用前 n 项和公式去解，也很容易上边的解法，灵活地处理了 S2n、S3n与 Sn的关系介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧【例 3】一个有

3、穷的等比数列的首项为 1，项数为偶数，其奇数项的和为 85，偶数项的和为 170，求这个数列的公比和项数 分析 设等比数列为an，公比为 q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为 q2，首项分别为 a1，a1q 解 设项数为 2n(nN*)，因为 a1=1，由已知可得 q1 aqqa qqqnn1221221111()()=85=170 得：把代入得q=2q=2=85 4=256 n=4n1414n 即公比为 2，项数为 8 说明 运用等比数列前 n 项和公式进行运算、推理时，对公比 q 要分情况讨论有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达

4、到降次的目的【例 4】选择题：在等比数列an中，已知对任意正整数 n，有 Sn=2n ，则等于1aaa1222n2 A(21)B(21)C21D(41)n2n2nn1313 解 D 航海中遇险孤身一人流落到一个荒无人烟的小岛为了战胜死亡他依靠破船上剩下的一点生产和生活资料同大自然展开了顽强的斗争每做一件事都要遇到很大的困难但他经得起失败的考验凭着艰苦的劳动成功地在荒岛上建起了房舍开标指学生归纳选书读书的方法并实际运用到课外阅读中通过对鲁滨孙漂流记的阅读使学生了解外国名著的内容了解人物遇到困难及战胜困难的办法关注人物的命运体会人物积极向上的人生态度进一步提高课外阅读的兴趣养成良好的言警句读鲁滨孙

5、漂流记四指导课时一课时五指导过程一名言我珍藏插在书本里的小书签给我们带来了方便快捷谁想和大家分享一下你书签上关于读书的名言学生汇报二书籍我会选这些名言让我们明白了有益的书籍的确是一样好的东学习必备 欢迎下载 a1=S1=1，an=SnSn-1=2n-1 an=2n-1 bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1 bbb=aaa=1444=414112n1222222n 1n1341()n【例 5】设 0V1，m 为正整数，求证：(2m1)Vm(1V)1V2m+1 分析 直接作，不好下手变形：(2m1)Vm1121VVm 右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有：(2m1

6、)Vm1VV2V2m 发现左边有(2m1)个 Vm，右边有(2m1)项，变形：VmVmVm1VV2V2m 显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二”法，即左边选两项与右边的两项相比较鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点，想到以如下方式比较：VmVm1V2m，VmVmVV2m-1，VmVmVm-1Vm+1，Vm=Vm 即 2Vm1V2m，2VmVV2m-1，根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”，这些式子显然成立(具体证法从略)说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”：要证 ，改证；见到，去逆向运用，化成 ；要证 ，先证 ABC(B0)A

7、S=a1VVVABCDn122mCBVVaqqAmn11121 航海中遇险孤身一人流落到一个荒无人烟的小岛为了战胜死亡他依靠破船上剩下的一点生产和生活资料同大自然展开了顽强的斗争每做一件事都要遇到很大的困难但他经得起失败的考验凭着艰苦的劳动成功地在荒岛上建起了房舍开标指学生归纳选书读书的方法并实际运用到课外阅读中通过对鲁滨孙漂流记的阅读使学生了解外国名著的内容了解人物遇到困难及战胜困难的办法关注人物的命运体会人物积极向上的人生态度进一步提高课外阅读的兴趣养成良好的言警句读鲁滨孙漂流记四指导课时一课时五指导过程一名言我珍藏插在书本里的小书签给我们带来了方便快捷谁想和大家分享一下你书签上关于读书的

8、名言学生汇报二书籍我会选这些名言让我们明白了有益的书籍的确是一样好的东学习必备 欢迎下载 C，BD，等等善于进行逆向思考，是对知识熟练掌握的一种表现，同时也是一种重要的思维能力，平时应注意训练【例 6】数列an是等比数列，其中 Sn=48，S2n=60，求 S3n 解法一 利用等比数列的前 n 项和公式 若 q=1，则 Sn=na1，即 na1=48，2na1=9660，所以 q1 S=a(1q)1n1n q S=a(1)a(1)(1+)1q2n11qqqqSqnnnnn211()q=14S=a(1q)1qn3n13naqqqqnnn12111()()=Sn(1qnq2n)S=48(1+116

9、)=633n14 解法二 利用等比数列的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列 (6048)2=48(S3n60)S3n=63 解法三 取特殊值法 取 n=1，则 S1=a1=48，S2n=S2=a1a2=60 a2=12 an为等比数列 航海中遇险孤身一人流落到一个荒无人烟的小岛为了战胜死亡他依靠破船上剩下的一点生产和生活资料同大自然展开了顽强的斗争每做一件事都要遇到很大的困难但他经得起失败的考验凭着艰苦的劳动成功地在荒岛上建起了房舍开标指学生归纳选书读书的方法并实际运用到课外阅读中通过对鲁滨孙漂流记的阅读使学生了解外国名著的内容了解人物遇到困难及战胜困难的办法关注人物的命运体会人

10、物积极向上的人生态度进一步提高课外阅读的兴趣养成良好的言警句读鲁滨孙漂流记四指导课时一课时五指导过程一名言我珍藏插在书本里的小书签给我们带来了方便快捷谁想和大家分享一下你书签上关于读书的名言学生汇报二书籍我会选这些名言让我们明白了有益的书籍的确是一样好的东学习必备 欢迎下载 q=aa a=321314 S3n=S3=a1a2a3=63【例 7】已知数列an中，Sn是它的前 n 项和，并且 Sn+1=4an2(nN*)，a1=1(1)设 bn=an+12an(nN*)，求证：数列bn是等比数列；(2)c=a2(nN*)c nnnn设，求证：数列是等差数列 解 (1)Sn+1=4an2 Sn+2=

11、4an+12 两式相减，得 Sn+2Sn+1=4an+1=4an(nN*)即：an+2=4an+14an 变形，得 an+22an+1=2(an+12an)bn=an+12an(nN*)bn+1=2bn 由此可知，数列bn是公比为 2 的等比数列 由 S2=a1a2=4a12，a1=1 可得 a2=5，b1=a22a1=3 bn=32n-1 航海中遇险孤身一人流落到一个荒无人烟的小岛为了战胜死亡他依靠破船上剩下的一点生产和生活资料同大自然展开了顽强的斗争每做一件事都要遇到很大的困难但他经得起失败的考验凭着艰苦的劳动成功地在荒岛上建起了房舍开标指学生归纳选书读书的方法并实际运用到课外阅读中通过对

12、鲁滨孙漂流记的阅读使学生了解外国名著的内容了解人物遇到困难及战胜困难的办法关注人物的命运体会人物积极向上的人生态度进一步提高课外阅读的兴趣养成良好的言警句读鲁滨孙漂流记四指导课时一课时五指导过程一名言我珍藏插在书本里的小书签给我们带来了方便快捷谁想和大家分享一下你书签上关于读书的名言学生汇报二书籍我会选这些名言让我们明白了有益的书籍的确是一样好的东学习必备 欢迎下载(2)c=a2(nN*)c=b2nnnn+1nn+1caaaannnnnnnn11112222 将 bn=32n-1代入，得 cc=34(nN*)n+1n 由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故即：c d=34c=a2c=(n

13、1)C=34n11nn12123414n 说明 利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决 航海中遇险孤身一人流落到一个荒无人烟的小岛为了战胜死亡他依靠破船上剩下的一点生产和生活资料同大自然展开了顽强的斗争每做一件事都要遇到很大的困难但他经得起失败的考验凭着艰苦的劳动成功地在荒岛上建起了房舍开标指学生归纳选书读书的方法并实际运用到课外阅读中通过对鲁滨孙漂流记的阅读使学生了解外国名著的内容了解人物遇到困难及战胜困难的办法关注人物的命运体会人物积极向上的人生态度进一步提高课外阅读的兴趣养成良好的言警句读鲁滨孙漂流记四指导课时一课时五指导过程一名言我珍藏插在书本里的小书签给我们带来了方便快捷谁想和大家分享一下你书签上关于读书的名言学生汇报二书籍我会选这些名言让我们明白了有益的书籍的确是一样好的东