2021届新高考数学二轮复习微24解析几何中的定点与定值问题（解析版）.pdf

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1、专题24解析几何中的定点与定值问题【考点命题趋势分析】定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷.圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.定点问题主要是曲线系（直线系）过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性

2、质背景的题目（如蒙日圆、阿基米德三角形等）.定值问题主要涉及面积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素.处理这两大类问题时可以直接推理求出定点、定值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，再证明这个点（值）与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.典型例题与解题方法1定点问题曲线系（直线系）过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或证明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问

3、题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算.具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点.例1椭圆E：9+2=l（a b 0）的左焦点为尸I,右焦点为尸2,离心率e =点过入的直线交椭圆于4,8两点，且 A 8 F 2的周长为8求椭圆E的方程；（H）设动直线l-.y kx+m与椭圆有且只有一个公共点P,且与直线产4相交于点。.试探究:在

4、坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点例?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.思路探求1：本题主要考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量等基础知识，训练学生的运算求解能力、推理论证能力，以及化归与转化、数形结合、函数与方程、特殊与一般等数学思想.由动直线及椭圆的对称性知，若定点M存在，则必在x轴上，条件“以尸。为直径的圆恒过点A T即可翻译为“两 西=0”恒成立.因此，本题的重点在于得出P,。两点的坐标，其中点P的坐标需要联立直线与椭圆的方程求得.解 法 1:椭圆E的方程是I +4=1.4 3(一*廿=1(1 1)由1 4 3 -=(4/c2+3)%

5、2+8kmx+4/n21 2=0,l y =k x +m设P(%o，y o),判别式/=(8 f c m)2 4(4/c2+3)(4 m2 1 2)=0,化简得4 k2 m2+3 =0 ,同时有&=-4?3 =m,y =k x +m=i,易得Q(4,4 k +m).若定点M 存在，则必在x轴上，因此，可设M(f,0),由 丽 丽 =0得(4 t-4)A+t 2-4 t +3 =0.由 解得仁1.所以存在定点M(l，0),使得以PQ为直径的圆恒过点M方法点睛1:本题主要考查椭圆与直线的联立、韦达定理、平面向量等知识.求解的主要步骤：(1)联立直线方程与椭圆方程，通过判别式=(),寻求k,?的数量

6、关系；(2)求得P,。两点的坐标，并利用A,加的数量关系化简；(3)翻译条件“以P Q为直径的圆恒过点A T 等价“丽-Q M=0”恒成立，得到恒等式(4 t -4)A +1 2 4 r+3=0,即求得定点的坐标.思路探求2:可以先根据关系轨2-巾2+3 =。中的鼠朋的特殊值猜测结果，再加以证明，遵循从特殊到一般、先猜想再证明的求解思路.解 法 2:同解法I 可得P (一号,)，Q(4,4 A+M.若定点M 存在，则由对称性可知必在x轴上，取k =0,m =V 5,得P(0,b),Q(4,遥)，以 PQ为直径的圆的方程为(x-2)2 +(y -8)2 =*交 x轴于点时式1,0),“2(3,0

7、).取 上=/巾=2,得P(l,|),Q(4,0),以 P Q为 直 径 的 圆 的 方 程 为-+(y -丁 =青 交 x轴于点M3 (1,0),M2 (4,0)；所以符合条件的点可能是点M(l,0),以下证明它就是满足条件的点.易 知 所=(一当-1,力丽=(3,4 k +m),从 而 而 丽=一号一 3+黑+3 =0,即 丽 1丽，因 止 匕,以P Q为直径的圆恒过点M.方法点睛2:在对几何图形特征分析的基础上，先猜想，缩小定点的范围，然后证明，颇有四两拨千斤之效.但前提还是先要联立方程，得 到 匕，的关系4 F 机 2+3=0,然后赋值.事实上，例 1 的背景是椭圆的一个重要性质:动直

8、线/与椭圆圣+g=l(a b 0)相切于点P,与椭圆右准线相交于点。，右焦点为F,则 PFJ_QF.本题即是以此性质为背景命制的一道定点问题.背景不变，换个命题角度，我们可以得到如下题目，但问题本质仍未改变.结合题目求解过程，通过分析可以看出，尽管定点、定值问题背景多元，形式多样，但求解方法都有共同之处，即建立在对几何图形特征分析的基础上，最终回到解析几何的核心方法(坐标法)上，依托直线与圆锥曲线的方程联立，翻译题目条件，构造等式或不等式.总结起来，应注意如下几点：首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，思路通畅可操作；其次，找准主元，引入参

9、数，建立各个量间的数量关系，运用消元变形、推理运算等手段证明定点、定值问题；再次，要努力突破计算关、心理关，认真仔细计算、准确规范，随时检查，树立信心，只要方向正确就一算到底；最后，必须树立数形结合意识，善于把握问题的特定信息，运用对称性、特殊性猜想定点、定值，然后证明，要仔细分析图中的点、线等关系，挖掘隐含条件，往往能取得出奇制胜的效果.2定值问题定值问题与最值问题属同一类问题，都是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题.此类问题的求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将

10、目标式用参变量表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值.另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少，然后进行一般性计算或证明，探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石.例2已知椭圆=l(a b 0)的离心率为压过左焦点尸且垂直于长轴的弦长为色.55求椭圆C的标准方程；(1 1)点/加，0)为椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆C于A,B 两点,求证:伊川2 +|P B 为定值.思路探求1:(1)直接求出椭圆的基本量。，b,c,得到椭圆的标准方程；(2)动直线/的斜率为定值，横截距应是运动变化的主元，因此只需将|P A +|P B|2表示成关

11、于的函数即可，化简即得定值.应先将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理得4,8两点坐标的关系，为表示|P4|2+|P B|2做准备.解 法1:椭 圆 的 标 准 方 程 是=1.2 5 1 6(.y2 1AI 7 T +-7 =1 -(I I)设F(x2,y2)直线 I 的方程为:y =7(x -m),联立(2 5 4 1 6,=2 x2-2 mx+?n2-2 5 =(y =式 _ m)0,所以/+x2=m,xrx2=m 25-(*)PA2+PB2=(%1-m)2+yl+(x2-m)2+yl=素 修 +打/一 智(与 +不)一 袅 用 +1|疗，将(*)式带入得|P*2+PB2=41(定值)

12、.方法点睛1：本题主要考查圆锥曲线与直线的联立、韦达定理等知识.求解的主要步骤：(1)确定主元m；(2)联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理得4,8 两点坐标关系：(3)利用整体思想，由两点间距离公式求得|P*2+|PB的表达式，化简即得定值.思路探求2:本题还可用直线的参数方程求解，用直线参数，的几何意义表示出|P*|PB.(X=T H dt4同(t 为参数)，设 A,8 分别对应ti2,将直线的参数方程代椭圆方尸 而t程得产+疆t+黑一 1=0,则伊如2+|P f i|2=t2+t2=(t i+t2)2 _ 2 t lt2=41.方法点睛2:利用直线的参数方程及参数的儿何意义求解线段长度等问

13、题非常有效，应根据题目条件合理选择解题方法.例 3 已 知 点 是 椭 圆 E:5 +=l(a b 0)上一点，儿尸2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，轴.求椭圆E 的方程；(II)设 4,B 是椭圆上两个动点，PA+PB=APO(0A b 0),四点 P l (1,1),P2(0,1),P3(-1,且)，P4(1,昱)中恰有a2 b2 2 2三点在椭圆C上.(I )求 c 的方程；(I I)设直线1 不经过B点且与c 相交于A,B两点.若直线P z A 与直线P?B 的斜率的和为-1,证明：1 过定点.r2【答案】(1)+/=1.4(2)证明见解析.【解析】(1)I I I R两点

14、关于y 轴对称，故由题设知。经过与，丹两点.1113又 由-H fl-知，C 不 经 过 点 所 以 点 只 在。上.a b a 4/?因此，-L=i“，解得+-=ia2 4b2/=4b2=r2故C的方程 为 二+y2=l.4-（2）设直线8 4与直线月8的斜率分别为4,左,如 果/与x轴班直，设/：A=t,由题设知fK O,且，|=丘+加 代入工+丁=1得4-(4左2 +l)x2+8A/nr+4m2 4=0由题设可知=16（4%2-裙+1）0设/（X i,yi）,8（x2,於），则 用+须=一8km4m2-4 5-，汨x2=-4F+1 4 尸+1而廿”kx1+m-l kx2+m-1玉2 k

15、x+(/1)(玉 +w)由题设匕+左2 =一1，故（24+1）书j+（加一1）（玉+x2）=0.即”.智/8km 八+(w-l)-=0.)4公+1f,m+1解得k=.当且仅当2 1 时，（）,欲 使/：y=-x +m,即 y +l =（x-2）,所 以/过 定 点（2,-1）2 22.设椭圆C：3+%=l（ab0），右顶点是A（2,0）,离心率为（1）求椭圆。的方程；（2）若直线/与椭圆交于两点M,N（M,N不同于点A），若 砌 丽=0,求证:直线/过定点，并求出定点坐标.【答案】土 +匕=1；信,0 1.4 3 U ）（1）右顶点是A（2,0）,离心率为 彳，C 所以。=2,=,c =1,则

16、/?=5/3，a 22 2.椭圆的标准方程为二+匕=1.4 3（2）当直线MN斜率不存在时，设lMN；x=m,2 2 I f 2 I/2与椭圆方程?+?=1 联立得：=一；J,|肥$=2,3 1-：J,I-/2设直线MN与轴交于点8,即3 1-:一 =2 -m,V V 4 12.,.m=或 f n=2（舍），7二.直线加过定点（m，）;当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为攵，M（不,）,（马,%），则直线2 2MN:y=kx+b（k大0）,与椭圆方 程 亍+与=1联立，得（4公+3）/+8励x+4-12=0 ,8kb4b2-12,yy2=（A x,+/?）（AX2-b）=k1xx2+kbx+

17、）+Z72,A =（8妨了-4（4炉+3）（破 一 12）0入 E ,AM-AN=Q 则（玉 _2,必）（工2_ 2,%）=0,即百 9 2（%|+法）+4+,%=，/.7/+4父+16劭=0,*.b=k 或。=2k f7二 直 线：=%卜-亍）或=%（-2）,.直线过定点（M，）或（2，0）舍去；综上知直线过定点（T，2 2/T-3.已知椭圆C:=+A =l（ab 0）的 离 心 率 为 卫，点（2,J 5）在。上a b 2（1）求C的方程（2）直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A3,线段4 8的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线/的斜率的乘积为定值.X2 y2 1【答案】

18、上+乙=1（2）kOM-k=8 4 2【解析】解：（I）由题意有，2一=受,且+义=1,解得a 2=8,。2=4.所以椭圆C的方程为W+=l.a 2 a1 b2 82 422 2（I I）设直线/:y =A x+b伍#0,6。0）,4（%,乂）,8（七,%）,“国,）,把3;=力+6代入泉+%=1得（2公+1）f +4 妨+2Z?2-8 =0.故X,M =%+。=?,于是直线OM的斜率左。”=子=一 ，即Z Z/C +1 Z/C +1 人 何 乙 KkOM/=-；,所以直线OM的斜率与直线1的斜率乘积为定值.4.已知椭圆C：9 f+y 2=机2（根0）,直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C

19、有两个交点4，B,线段A8的中点为M.（1 ）证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；H 7（I I）若/过点（,加），延长线段OM与。交于点P,四边形Q 4 P 8能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若不能，说明理由.【答案】（I ）详见解析；（I I ）能，4一 近 或4+5.【解析】（I）设直线/：=丘+力。0）,4（*,弘），3（尤2，%），加（/，加）.y =kx-b c c c-由 2 2_ 2得（A +9）元+2%心+一加2=0,9厂+y=ITTX +x22kb攵2+9,9byM M+=7 5 TK-r ；/直线OM的斜率&加=也=一苫，即向“M=-9.4 k即直线OM的

20、斜率与I的斜率的乘积为定值一9.（2）四边形。47 5能为平行四边形.n i.直线/过点（一,%），./不过原点且与C有两个交点的充要条件是女0，k手39由（1）得。0的方程为了=一 一%.设点尸的横坐标为Xp.k9y=x,.由 k9x2+y2=加 2将点（9,加）的坐标代入直线/的方程得b=3丁）,因此无=:警 一；）.3 3 3（化 +四边形Q 4 P 8为平行四边形当且仅当线段A3与线段0尸互相平分，即小=2%M八，-D）r-7 7=2XW 9 T-解得K=S 币.:kjO,k产 3,i =l,2.，当/的斜率为4 -J 7或4 +J 7时，四边形O A P B为平行四边形.5.已知椭圆

21、C的标准方程为与+力 =l（a b 0）,该 椭 圆 经 过 点 且 离 心 率 为（1）求椭圆的标准方程；2 2（2）过椭圆鼻+今=1（。6 0）长轴上一点S（1,O）作两条互相垂直的弦A B,C D.若弦A B,C O的中点分别为M,N,证明：直线M N恒过定点.【答案】（1）r2+v-2 =1;（2）4-,0、.4 3 V ）（3、1 9（1）解：点尸J,在椭圆上，+=1 ,1 c 1又 禺心率为一，:e =二 ,/.a 2 c 2 a 24 c r-4 b2=a2,解 彳 J Q?=4，=3 2 2二椭圆方程为土+二=1.4 3（2）证明：设直线A5的方程为1 =阳+S,加#0,则直线

22、8的方程为x =-y +s,mv+/=1联立 0）的 离 心 率 为 火，焦距为2 G.a2 b2 2（1）求。的方程；（2）若 斜 率 为 的 直 线/与 椭 圆。交于尸，。两 点（点 尸，。均在第一象限），。为坐标原点，证明:2直线。尸，P Q,。的斜率依次成等比数列.2【答案】工+丁=1.见解析.4 -（1）由题意可得a=2解得 /2 c =26c =V所以椭圆方程 为 工+尸=1.证明：设直线/的方程为y =-5%+胆，P&，X），。（工2，%），1V=X+22，消去 丁，得 W-2）我+2 9%2-1）=0则 =4，/一8（加2 1）=4（2 2，0,且尤1+w =2机0,xx2=2

23、（，-1）0故 1%=-%1+m1 1 /2 M 1X.Y-m I X.4-X-1-1-7 7 7 =-即直线O P,P Q，OQ的斜率依次成等比数列.8.椭圆：+与=1 （。0）的 离 心 率 是 立，点P（0,D在短轴8上，且 无.苏=1.a2 b2 2（1）求椭圆E的方程；（2）设。为坐标原点，过点尸的动直线与椭圆交于A B两点，是否存在常数2,使得画 瓦+2序 而 为 定值？若存在，求4的值；若不存在，请说明理由2 2【答案】（1）+-=1;（2）见解析.4 2（1）由已知，点C,D的坐标分别为（0,-b）,（0,b）又点P的坐标为（0,1）,且 定 而=一1于是 =立 ，解得a=2,

24、b=V 2a 2a2-b1=c2X2 y2所以椭圆E方程为 二+)-=l.4 2(2)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为丫=1+1A,B 的坐标分别为(xi,yi),(X2,yz)2 2-*-F-11联立 4 2，得(2k2+l)x2+4kx-2=0y=kx+其判别式4=(4k)2+8(2k2+l)04k 2W r 以 +%=-o ,x,x,=-；1-2k2+-2公+1从 而 砺 砺+4 西 丽=xiX2+yiy2+MxiX2+(yi 1)(y21)=(1 +k)(1 +k2)xixz+k(x+X2)+1_(-2 2-4)/+(2/1-1)2P +1叁 T_ 覆_ 公所以，当入=1 时，

25、一土一贪 哭=3,此时，砺 砺+4 西 丽=-3 为定值.当直线AB斜率不存在时，直线A B 即为直线C D此 时 砺 砺+4 丽 丽=无 而+1 丽=-2 1 =一3故存在常数入=1,使得9 4.砺+4 西 丽 为 定值一3.9.已知椭圆C：5 +方=1（。0）的 离 心 率 为 孝，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.(2)设点为椭圆上位于第一象限内一动点，A B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线M B与x轴交于点C,直 线 与 轴 交 于 点。，求证：四边形A B C。的面积为定值.2【答案】(I )+y2=l；(2)见解析.4 a -Tci=2b=l；a2b2+c2(I)由已知可得：一=

26、1解得：a所以椭圆 的方程为：+/=.4 -r2（I I）因为椭圆 的方程为：+2=i,所以A（-2,0）,S（O,-1）.2设 加（加 0,”0）,则 -+2=1,即加 2+4 2=4.H 4-1m则直线6 V的方程为：y =x-1,令y =0,得 =：m +1同理：直线4犷的方程为：y =-（x+2）,令x =0,得 必）=-.m+2 m+2所以S g.|的.即.2+4 2+1产+2广2）：A B 8 2 I 1 1 1 2 几+1 I I根+2 2 （根+2）（几 +1）_ 1 m2+4 n2+4 +4机 +4加+8 _ 1 4?+4根+8 +8 _?2 n m +m +2 几+2 2

27、mn+m +2 n +2即四边形力优。的面积为定值2.1 0.己知椭圆：二+与=1（。b0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线a b/：丁 =一尤+3与椭圆E有且只有一个公共点T.（I ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（I I）设。是坐标原点，直线/平行于O T,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线/交于点尸，证明：存在常数;I,使得|7 7=1 PA|.|PB|,并求;I的值.x v 4【答案】（I ）一+L =1,点T坐 标 为（2,1）；（I I）2 =-.6 3 5【解析】2 2（I ）由已知，a=6 b，则椭圆E的方程 为 二+4=1.2 b b由方程组甯嘘一人得

28、3/一I 2 x+（1 8-2/）=0.%=-富国，方程的判别式为A=2 4（8一3）,由=（）,得程=3,此时方程的解为x=2,2 2所以椭圆E的方程 为 三+工=1.6 3点T坐 标 为（2,1）.（U ）由已知可设直线I 的方程为y =；x+z（2。0）,0 2 m1 x=2-,ty=x+mf t 3由方程组 2 可得 二1 2 my=-x+3,y =1 +.3所以P点坐标为（2-也,1+型），|牙=强23 3 1 1 9设点A,B的坐标分别为A（x，y）,B（x2,y2）.由方程组 可得3 f+4 3+(4/-1 2)=0.y =x+m,-2方程的判别式为A二1 6（9 2加2）,由

29、（）,解得 谑根迪2 2由得 +x2=4 m-鼠 也4 m2 1 2I-所以|PA|=J（2咨一八）2+（1 +事-），了=岑2 学一小同理|P3|=告2 _冽 _ 所以|产山.|尸耳=：（2-Xj）（2-x2）5 2机、2 -2 m、,、-(2 )(2 )(j +x2)+x1x25 2 m 2 2 m 4 m 4 m2-1 2二(2-)-(2-)(-)+-4 3 3 3 31 0=一m29故存在常数4 =不4 ，使得|尸叶9=川尸从|尸 耳.2 2/T 2 2H.已知椭圆G：二+乌=1（。60）的离心率为乂9,椭圆c,：J+与=1（。0）经过点a2 b2 3 3/31 r叵|12，2 J（i

30、）求椭圆G 的标准方程；（2）设 点 用 是椭圆G 上的任意一点，射 线 与 椭 圆。2 交于点N,过点M的直线/与椭圆G 有且只有一个公共点，直线/与椭圆G 交于A B两个相异点，证明：M S面积为定值.【答案】+21=i（1）;（2）见解析.3（1）解：因为G的离心率为Y i,3所以9=1一4,9 a2解得/=3必.（n 八、2 2 .将 点 一，一 代 入 二+当=1，整理得了为+二7 7 =1 L 2 2 J 3 a 2 3b2 4 a2 4 b2联立，得 =,/=1 ,42_=1故椭圆G的标准方程为 4 .3（2）证明：当直线/的斜率不存在时，点M为（1,0）或（1,0），由对称性不

31、妨取M（l,0）,2由（1）知椭圆G的方程为g+y2=i,所以有将x=1代入椭圆C,的方程得丫 =士 旦,y 3所以 SANAB=g|MN|.|A8|=；（G +l）=0+乎.当直线/的斜率存在时，设其方程为丁 =履+加，将y =丘+机代入椭圆C,的方程得（1 +3储）尤2 +6kmx+3ni2-1 =（）,由题意得 A=（6%2）4（1 +3 储）（3，1）=0,整理得3/=1 +3炉.将y =履+加 代入椭圆G的方程，得（1 +3公卜2 +（）lawc+3m2 3 =0.设3（马,力）,nrl6km 3m2-3则ML由出=币后c r,.I7 C-3-ll+k2 x2A/3 xy/3k2+1

32、-m2 2娓gk?所以 1明=7 1 7昼/&+用-4X,X2=-素 不-=-3|,-设M（Xo，%），N（F，%），ON=AMO 则可得七二一%/，%=_%龙：+3 y：=l 片+3必=1解得力=6（=G舍去）,所 以 丽=后 而，从而|NM=（G+I）|OM|.I w l又因为点。到直线/的距离为d=T,Vi+F所以点N到直线I的距离为（G+1）a =（：；，所以S/AB舟 罟 平=0 将综上,&V 4 3的面积为定值0+3丫2 2历12.设椭圆C：三+3=1（。）（）的左，右焦点分别为耳，弱，其 离 心 率 为 手，过8的直线/与c交于A 8两点，且4 A耳3的周长为4血.（1）求椭圆C

33、的方程；（2）设椭圆C的上顶点为P,证明：当/的斜率为，时，点P在以A 8为直径的圆上.3【答案】(1)y+/=l；(2)见解析(1)的周长等于|筋|+|4?|+出 用=AFl-iAF2+BF2BFl=4a,所以 4 a=4 /2 从而 ci=A/2 因为e =Y Z,所以c=l,即=/一。2=1，a 2椭圆。的方程为5+9=1.(2)由 得尸(0,1),6。,0).设 A(%,y J,8(%2，%),依题意，/的方程为x =3 y +l,将I的方程代入C并整理，可得1 I k +6)，-1 =0,一一 6 1所以x +必=_ 打，中 丽=M+(X-I)(%T)=(3 y +1)(3%+1)+

34、(%-1)(%T=i 0 y M+2(y+%)+2=o所以综上，点P在 以 为 直 径 的 圆 上.13.已知两动圆月：(+6)2 +丫2=/和 工：(万一百)2+,2=(4一 厂)2(0/.|耳闾.由椭圆的定义可知。的轨迹为椭圆，。=2，c=A 所以曲线C的方程是:2-X-F V 2=1I ;4(2)由题意可知：A/(O,1),设 A(x，y),f i(x2,2),当A5的斜率存在时，设直线=+加，联立方程组:v-2-4-F y2=1 (T)，把代入有：(/1+4攵92)f?+8?1 r+4,篦2-4 二 0 ,y=kx-m-8km.4/一 4 GX|+%2 =2 ，M =-k)1+4 公

35、1 2 1+4 公因 为 庇 丽=0，所以有石A2+（依+m-l）（A x2+m-l）=0（1 +%2）%+%（加一1）（玉+%2）+（加-1）2 =0,把代入整理:(/,1 +左.z2-4-m-2-4 (x-Skmr 7 l+4k2 +k(m-l)勺-+-4-公-v+（2 1）2=0,（有公因式加一 1）继续化简得:3(m l)(5 m+3)=0,或 加=1(舍),1AB的斜率不存在时，易知满足条件瓯.丽 =0的广 线AB为：x =0过定点NO,-,综上，直线AB恒过定点N。,一|(3)面积 S=S +S.MN=g|MN|尤 1 一/I=1&%+%2)2-4 石.尤2，由 第（2）小题的代入

36、，整理得：s =3 2 V 2 5 F +42 5 1 +4/因N在椭圆内部，所以攵wR,可设1=,2 5公+4 N 2,3 2，3 2q=(f 2 9 25 644t2+9 Af，Q 4 r+-,.-.S/?0)的离心率6 =*，且椭圆过点(a,1)(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线/与C交于M、N两点，点。在椭圆。上，0是坐标原点，若丽+丽=历，判定四边形OM 0N的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.2 2【答案】(1)+=1;(2)是定值，其定值为4 2(1)设椭圆。的焦距为2 c(c 0),由题意可得 0,y +%=Qi+）+2机=音JMN=J l +卜

37、J x,-x2|=+k2-+）2 -4中2 =J 1 +/x2 2 A/4-k+2 nV1 +2/m点O到直线M N的距离d=刀上J i+P,47/1 2m由 0M+0C=OO，xD=x-x2=乙 K i _1 ,y。=%+%=1 -r r乙r K?（-4km j（2m Y.点。在椭圆C上，所以有11工2您 1 11+2/J ，整理得1 +2公=2根2,由题意知，四边形OMDN为平行四边形，平行四边形O M D N的面积为c cc c ,1 ,Rk 2&22+2-疝SoM D N _ 2S&O M N =2 X 5|MN|X d=Jl+Z X +2k2 X J .2_（8公+4 2疗）_ ,2

38、（2公+1）80+4 （2公+1）_ 后（2公+1）_ 瓜1 +2/-2r+1-2公+1 故四边形QMEW的面积是定值，其定值为 .2 2 nz15.已知椭圆。：0 +?=13万0）的 离 心 率 为 半，右焦点为F,以原点。为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y-0 =（）相切.（1）求椭圆。的方程;（2）如图，过定点P（2,0）的直线/交椭圆。于A B两点，连接A尸并延长交C于M，求证:N P F M =N P F B.2【答案】（1）+y2=（2）证明过程详见解析解：（1）依题意可设圆C方程为犬+、2 =/,圆C与直线x-y +&=0相切,由 =迎解得J5，a 2椭圆。的方程为二

39、+尸=1 .2 -2（2）依题意可知直线/斜率存在，设Z方程为y =2）,代 入 二+产（1 +2%2卜2一8攵2%+8 左 2 2 =0,/与椭圆有两个交点，.（）,即2%2一1 0）的左焦点为F（-l,0），离心率e =旦（I）求椭圆c的标准方程;（ID已知直线/交椭圆C于A,B两点.若直线/经过椭圆C的左焦点F,交y轴于点P,且 满 足 身=/1丽，厢=乔.求证：+为定值;若求。钻 面积的取值范围.J【答案】（1）+/=1：（2）见解析.2-（1）由题设知，-=,c=l.所以/=2,c =l,/=l,a 22所以椭圆C的标准方程为5 +丁=1（2）由题设知直线/斜率存在，设直线/方程为=

40、Z（x+l）,则P（O,Z）.设,y）,B（w,必），直线/代入椭圆与+丁=1得0+2-/+4k +2左2 _ 2=0,4&2 2k2-2 _.-._所以匹 +M=-7，-丁 ，由 PA=ZA F，PB=LIBF 知 1 +2二-1 +24-。%九2l+Xj 1 +X24k2 4 2 2-4_几+%+2中2=1 +2公 1 +242=_41 +x,+x2+1 4k2 2k2-2 1-7T-I-TV1 +2公 1 +2公当直线OA,OB分别与坐标轴重合时，易知S&OAB=1.当直线。4,03斜率存在且不为0时，设0A：y=，0B:y=-x,k设A（X,y）,B（,必），直线1=加 代入椭圆C得到

41、炉+2左2/一 2=0,所以2=且=，同理考=且=2=，,11 +廿 I（1 +/2 市区石、2/+5炉+2令=1 +公 1，贝电。2c5（一i）+2=导力1 1交2-&一3-2一一-L一综正-2cl-3-2故9-4-2-71-2-1-/1Q因为（）,1）,所以2 0）经过点A（0，T），且离心率为它.a b 2（1）求椭圆E的方程;（2）经过点（1,1）,且斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线A P与A Q的斜率之和为定值.【答案】（I）y+y2=l；（II）证明见解析.解：（1）由题设知：=也，b=l,结合/=/+0 2,解得。二枝,a 2所以椭圆E的方程

42、为 土+2=1.2（2）由题设知:直线P Q的方程为y =Z（x l）+l（Z，2）,代入、+y2=i,得：（1 +2 3）2 4攵（左一i）%+2攵（攵 2）=0,由已知A0,设?（,弘）,。（工2，%），中2。0，则 5 +%=4 Mz-1)1 +2。,xx22 M z -2)1 +2公从而直线A P,A Q的斜率之和为U2与+券=寸+V=2-)匕小2八(2-左)土 也=2 k+（2-k）4M 左一1）2 k（k-2）=2左_2（1）=2.r2118.椭圆c：二+y2=1的右顶点和上顶点分别为A.B,斜率为-的直线I与椭圆C交于p、Q两点(点P4 2在第一象限).(I)求证：直线AP、BQ

43、的斜率之和为定值;(II)求四边形A P B Q面积的取值范围.【答案】(1)见解析；(II)5 e(2,2 .1丫2(I)设直线/方程为：y=X+6代入椭圆C:亍+丁=1并整理得：/+2笈+必2一2=。设 P&,X),。(马,m)，则，从而+BQy+y2 T =中2+9-1）（工1+%2-2）=2 Z 7 2 2+（1）（一2/2）=0-2 x2（无 一2）%2 （%一2）9所以直线A P、BQ的斜率之和为定值0.(II)设C:二+2=1的左顶点和下顶点分别为。、。，则直线/、B C、A。为互相平行的宜线，所以4-SAPBQ=,2-西|=&一/,又P点在第一象限，1.Se(2,2问.2 21

44、 9.已知椭圆E：T +5 =l(a b0)过点(2,0),且其中一个焦点的坐标为(1,0).(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点下的直线/与椭圆交于两点A 3,在x轴上是否存在点加，使 得 祝.丽 为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2 2【答案】(1)土 +工=1；(2)见解析4 3丫2 2(1)由已知得”=2,c=l,；.=百，则的方程 为 二+1 =1 ：4 3(2)假设存在点M(%,0),使得MA.MB为定值，当直线I的斜率不为0时.，可设宜线/的方程为x=my+1,联立2 2x y _4 3，得(3 +4)y2+6 叩 9=0 x=my+设 A(w，y),3(马

45、,%)，则,+%=_6m93nr+yy-3m1MA=(xl-x(),yi),MB=(x2-xa,y2):.MA-MB(xl-xQ)x2-x()+yi-y2=(加2 +1)%.%+(1-/)加(弘+%)+(1-/)2m2+193 m2+4+(1-9)加6m、3m2+4+0 7。)2 =回；？+(1)要使上式为定值，即与加无关，应有6%-15 94311_ 135解得二，此时=-8 64135当直线/的斜率为0时，不妨设A(2,0),3(2,0),当Af的坐标为(,0)时 两 砺=詈64f 1 11 1)_ 135综上，存在点M 。使得=-二-为定值.0）的 离 心 率 为 苧，直线丁=被椭圆。截

46、得的线段长为士 叵.5（1）求椭圆。的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A B两 点（A B不是椭圆。的顶点），点。在椭圆。上，且A Dr A B,直 线 与8轴y轴分别交于M,N两点.设直线8。,4例斜率分别为4,白，证明存在常数2使得仁=九攵2,并求出入的值；求AQ MN面积的最大值.r2【答案】匕+2=1.4-1 9（2）证明见解析，A =一一；一.2 8【解析】（1）由题意知近土=走，可得/=4/.a 2椭圆c的方程可化简为尤2+4/=a2.将y =x代入可得x =也，5因 此 也x宜 鱼=生 叵，可得a=2.5 5因此人=1,r2所以椭圆C的方程 为 上+2=1.4-（2）（i ）

47、设 4（和 弘）（工1乂。0）,。（，%），则 B（一和一乂），因为直线AB的斜率左人8=%，又A B _ L A D，所以直线AD的斜率化=一五,y设直线AD的方程为了 =履+加，由题意知Z w O,m w O，y-kx+m由X2 2，可得(1 +4%2)/+8 m a+4相2 4=0.所以+%=8mk1 +4公2 2因此 y +必=%(3+工2)+2 =+4公由题意知，所以勺=3 4=一，=,x+x2 4K 4 玉所以直线B D的方程为y +X=爵（x +D令y =0,得x =3x 即M（3x，0）.可得2 =一 普.2xl所以=k）,即 4=.2 2因此存在常数2=-工 使得结论成立.2

48、(i i)直线BD的方程y+M=(x+%)3 3令 x =(),得 y =_ X，即 N(0,_ y),由(i )知 M(3,0),3 9可得 AOWN 的面积 S=-x 3 X x%=%|yj,2 4 8因 为 瓜 区 手+y；=l，当且仅 当 耳=闻=孝 时 等号成立，9此时S取得最大值5，o9所以A O M N的面积的最大值为一.82 1.己知椭圆m+%=1（。20）的 离 心 率 为，且经过点A（2,0）.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A的动直线/交椭圆于另一点8,设。（一2,0）,过椭圆中心。作直线8。的垂线交/于点C,求证：瓦 能 为 定值.2 2【答案】（1）?+=1（2）4

49、,证明见解析（1）利用椭圆C：+2 =l（ab0）的离心率为 乎，且经过点M （2,0）,可求（1）因为椭圆的离心率e=走，且4=2,所以c=&.a 22 2又。2=/一 /=2.故椭圆的标准方程 为 土+21=1.4 2（2）设直线/的方程为x=）+2（f-定存在，且，#0）.代入炉+2丁=4,并整理得1 2+2）丁+4共=0.-4/4 一 2 r解得力=375,于是与=h 8 +2 =17.“十 乙 ，十N.-4 (4 一 2产 、t乂 (-2,0),所以80的斜率为了H+7rH+2)=一.因为O C _ L 5 ,所以直线的方程为y =2九X与方程X =)+2联立，解得C1-2,?1,7

50、=T 7 7V7=；4厂 8 1 6 4厂 +8 ,.故。8。=+-：=4为定值.厂+2 t +2 r+22 2.已知定点A(-3,0),5(3,0),直线AM、3M相交于点M，且它们的斜率之积为一：，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线。的方程；(2)过点T(l,0)的直线与曲线。交于P、。两点，是否存在定点S(天,0),使得直线S P与S。斜率之积为定值，若存在，求出S坐标；若不存在，请说明理由.2【答案】(1)+y2=l(x 3)；(2)存在定点S(3,0),见解析解：(1)设动点 (x,y),则&W A =-(XH-3),x+3=.式3)，X Jk4 A.MR ，B p ,二M A M