2021年广东省新高考数学考前模拟试卷及答案解析.pdf

《2021年广东省新高考数学考前模拟试卷及答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年广东省新高考数学考前模拟试卷及答案解析.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5页，2 2 小题，满 分 1 5 0分。考试用时1 2 0分钟。注意事项：1.2.3.4.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用

2、铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）I.（5分）已知集合4 =1,3,a2,B=,a+2,若 ACB=B,则实数。的取值为（）A.1 B.-1 或 2 C.2 D.-1 或 12.（5分）下列命题为真命题的是（）1 1A.若 a V/?V 0,则一 V 一a bB.若 a b 0,则 ac2bc2a bC.若 则-0.如果存在实数.隹 1,3,使得不等式/（x-c）t/J-c2）0成立，则实数C的取值范围是（）A.(-3,2)B.-3,2C.(-2,D.-2,1二.多 选 题（共

3、4 小题，满 分 20分，每小题5 分）9.（5分）关于双曲线C：一1=1,下列说法正确的是（）y 2 42A.该双曲线与双曲线-一=1有相同的渐近线5 4B.过点尸（3,0）作直线/与双曲线。交于A、B,若怩阴=5,则满足条件的直线只有一条C.若直线/与双曲线C的两支各有一个交点，则直线/的斜率k e （-堂，亨）D.过点P（l,2）能作4 条直线与双曲线C仅有一个交点10.（5 分）若（1+x）+（1+x）2+*+（1+x）nao+a 1 x+i=32111.（5 分）已知函数/（x）=|COSX|+COS|A|,则下列结论正确的是（）A./（x）是周期函数B.f （x）在 0,可上单调递

4、减C./（x）是奇函数D./（%）的图象关于直线X=TT对称12.（5 分）函 数 fC x）的导函数为/（x）,若对于定义域内的任意xi,X i（X1WX2）,有/）一%2）=,（要 以）恒成立，则 称于（X）为“恒均变”函数.给出下列函数，其中 为“恒均变”函数的是（）A.f （%）=2x+3 B.f （x）=/-2x+3C.f （x）=D.f （x）=cosx三.填 空 题（共 4 小题，满 分 20分，每小题5 分）13.（5 分）已知直线l：im+2y-1 =0 与直线/2：x-=0 相交,则m 的 取 值 范 围 是.14.（5 分）设随机变量石 N（口，。2）,。2=1,函数/J

5、）=/+2 x-孑没有零点的概率是0.5,则 尸（0SW l）=.附：若 f N（p,。2）,贝 ij P（口 -。XW u+。）0.6826,P（口 -2。XWp+2。）弋0.9544.15.（5 分）如图是古希腊数学家希波克拉底研究的儿何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边A3、直角边8C、AC,N 为 AC的中点，点。在以AC为直径的半圆上.已知以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3,sinND4B=则 cos Z DNC=.A“-16.（5 分）矩形A8CD中，AB=V3,8 c=1,现将AC。沿对角线AC向上翻折，得到四面体D-A 8C,则 该 四 面

6、 体 外 接 球 的 体 积 为；设二面角。-AC-8 的平面角为0,第 3 页 共 1 9 页当 e在弓，自内变化时，的范围为.四.解 答 题(共6小题，满分70分)1 7.(1 0 分)已知数列伍 的前项和为Sn=2-2 .(1)求通项公式即；(2)证明数列伍”为等差数列.1 8.(1 2 分)某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为也(1)求该企业每月有且只有1 条生产线出现故障的概率；(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行修.已知每名维修工人每月只有及时维修1 条生产线的能力，且每

7、月固定工资为1 万元.此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造1 2 万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在“=1与=2之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润-维修工人工资)1 9.(1 2 分)如图，直三棱柱 A B C-4 B C 1 中，A C=BC=A A =2,M、N 分别为 A B、8 1 cl的中点.(1)求证：MN平面 A C C 1 A 1；(2)若 B i M=3 五,求二面角田-4M-N的余弦值.2 0.(1 2 分)在 A B

8、C 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若V z s i n B -hc osBc osC=c c os2B.(1)求角B的值；(2)若 A=*且4ABC的面积为7 b，求 8 c 边上的中线AM的长.2 1.(1 2 分)已知动圆M经过点N (0,2),且动圆M 被 x 轴截得的弦长为4,记圆心M 的轨迹为曲线C.(I )求曲线C的标准方程；第4页 共1 9页(I I )过x轴下方一点尸(相，)向曲线C作切线，切点记作A、B,直线。尸交曲线C于点Q,若直线A B、0 P的斜率乘积为-2,点。在以A 8为直径的圆上，求点P的坐标.2 2.(1 2分)已知函数f(x)=e s-2 x的

9、图象在点(0,1)处的切线方程为)，=1.(1)证明：f(x)+fi.(2)若 xo 是/(x)的极值点，且 x o 且 x 2x i 加 2+2 x 0.第5页 共1 9页2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）已知集合4=1,3,a2,B=,a+2,若 A C B=8,则实数的取值为（）A.1 B.-1 或 2 C.2 D.-1 或 I【解答】解：A Q B=B,：.BQ A,.,.a+2=3 或 a+2=2,.a=1 或 4=-1 或 a=2,。=1或 =-1时，集合A 的元素不满足互异性，不合

10、题意；=2 时，符合题意，=2.故选：C.2.（5 分）下列命题为真命题的是（）1 1A.右 a b b Q,则 ac2hc2,a bC.若 c a b 0,则 V-c-a c-ba a+cD-若 心 Q c ，则/嬴【解答】解：对于A,若V6V0,1 1则丁故A 为假命题;对于8,若当c=0 时，或2=儿2故 8 为假命题;对于 C,若1 1 Q b-a -b,0 c-a-0,所以-,c-a c-b c-a c-b故 C 为假命题:,一 a对 于 3a+c Q(匕+c)-b(a+c)c(a-Z?)b+c b(b+c)b(b+c)因为则a-6 0,所以c(a-b)-77 0b(b+c)所-籍/

11、即A黑，故。为真命题故选：D.第 6 页 共 1 9 页3.(5 分)明代朱载墙创造了音乐学上极为重要的“等程律”.在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的 方 法.比 如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=、黄 钟 X太簇,大吕=、(黄钟)2 X夹钟,太麻=3 黄 钟 夹 钟)2.据此，可得正项等比数列“中，a k=()A.M北 尸 F B.i+Y%.C.弋 a”.a j-i D.”一 毒 尸 二 点 尸【解答】解：根据题意，该问题为已知等比数列的首项、末项，求数列中任意一项，设数列的首项为G,末项为加，

12、其 公 比 尸=器 则 4=”-温，则公=aiX q=a iX 瑞)k i=n j ak-,故选：c.4.(5 分)已知向量Q=(2x,1)与b=(y,-2)互相垂直，则|a+3b|的最小值为()A.7 B.6 C.5 D.4【解答】解：向量2=(2x,1)与1=(y,-2)互相垂直，可得2孙-2=0,即孙=1,：.a+3h|=|(2x+3y,-5)|=J(2x+3y)2+(-5)2,而|2x+3y|2 2y6xy=2 V 6,当且仅当2x=3)=述或 历时取等号，所以J(2%+3y尸+(5尸 2724+25=7.当且仅当2x=3)=遍 或-历时取等号，所以日+3a 的最小值为7.故选：A.5

13、.(5 分)ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知csinC-加in5=2 sinA,c=2 b,则 sin A=()V15 7 V5 2V5A.-B.-C.D.-8 8 5 5【解答】解：A8C 中，已知 csinC-Z?sinB=2asirb4,整理得c2-序=2J,由于c=2b,第7页 共1 9页所以遍b=a=r=,v 2故根据余弦定理cosA=瑞 丁由于0A 0.如果存在实数.隹1,3 ,使得不等式/（x-c）0 成立，则实数C 的取值范围是（）A.（-3,2）B.-3,2 C.（-2,1）【解答】解：根据题意，函数f （x）是 R 上的奇函数，D.-2,1第 8 页 共

14、 1 9 页&)+/()a+b则/(x)满足对任意实数a、b 当a+b O时，都有则函数/(x)在 R 上为增函数,贝！1/(x -c)+f(,X -c2)0 可(x -c)-/(%-c2)=/(x -c)f(c2-x)=x -cc1-x=2xc1+c,又由实数x 6 l,3J,则 2 W2 x W6,若存在实数x 6 l,3,使得不等式f(x-c)t M x-c2)0成立，则有，2+CV6,解可得：-3 cV2,即 c 的取值范围为(-3,2)；故选：A.二.多 选 题(共 4 小题，满分20分，每小题5 分)9.(5 分)关于双曲线C；下列说法正确的是()A.该 双 曲 线 与 双 曲 线

15、 1 有相同的渐近线5 4B.过点F(3,0)作直线/与双曲线C 交于A、B,若|A剧=5,则满足条件的直线只有一条C.若直线/与双曲线C 的两支各有一个交点，则直线/的斜率k e(亭，亭)D.过点P(l,2)能作4条直线与双曲线C 仅有一个交点【解答】解:选项4 双曲线C：一 展=1与双曲线卷 一 9=1 的渐近线均为y=/t,即选项A 正确；2 b2 2 x 5选项8,当直线/与双曲线的右支交于4,B时，通径最短，为-=-=5；a 2当直线/与双曲线的左右两支分别交于A,B时，凶8|的最小值为2=4,所以若|AB|=5,则满足条件的直线有3 条，即选项B错误；V5选 项 C,双曲线C 的渐

16、近线为y=土石乂 若直线/与双曲线C 的两支各有一个交点，则直线/的斜率k 6 (亭，亭)，即选项C 正确；选 项。，过 点 P(1,2)可作两条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线只有1个交点，故满足条件的直线有4条，即选项。正确.故选：A C D.第9页 共1 9页10.(5 分)若(I+JC)+(1+x)2H-F (1+x)n=ao+aix+av+,+anxn,且 m+a2H-5-1 =125-，则下列结论正确的是()A.n6B.(l+2 r)”展开式中二项式系数和为729C.(1+x)+(1+x)2+(1+x)展开式中所有项系数和为126D.。1 +2。2+3。3+,=321【解答

17、】解：V(1+x)+(1+x)2+-+(1+x)n=a a x+a2x2+,且 山+。2+a-1 =125-n,40=fl f C ln CJI=1,令 x=l,可得 2+22+2=+(125-A?)+1,解得=6,故 A 正确；(l+2x)展开式中二项式系数和为2=6 4,故 8 错误；(1+x)+(1+x)2+-+(1+x)展开式中所有项系数和=2+2?+23+26=1 2 6,故 C 正确；因为(1+x)+(1+%)2 4-F(1+x)n=a。+arx+a2x2 H-F anxn,所以 1+2(1+x)+3(l+x)2H-F 6(1+x)s=a1+2a2无 +3%/H-1-6a6x5,从

18、而。1+2。2+3。3+6。6=1+4+12+32+80+192=3 2 1,故 D 正确.故选：ACD.11.(5 分)已知函数/(x)=|cosx|+cos|x|,则下列结论正确的是()A./(x)是周期函数B.f(X)在 0,7 T 上单调递减C./(x)是奇函数D./(x)的图象关于直线x=n 对称【解答】解：因为cos|x|=cosx=cos(-X),cosx=cos(X+2TT),cos(-x)=cos(-x-2n),所以 cos|x|=cos(X+2IT)=COS(-x-如)，所以 COS|X|=COS|X+2TT|,所以f (X+2IT)=|COS(X+2TT)|+cos|x+

19、2n|=|cosx|+cos|x|=f(X),所以2TT是函数f (x)的一个周期，即函数/(x)是周期函数；所以A 周期；第 1 0 页 共 1 9 页8 项，当 xW (5,IT)口 寸，f (x)=|cosx|+cos|x|=-cosx+cosx=0,此时了(无)为常函数，不单调，所以3 不正确；。项，因为/(-x)=|cos(-x)|+cos|-x|=|cosx|+cosW=/(X)是偶函数,所以。不正确；。项，因为f (T T+X)-/(IT-x)=|cos(TT+X)|+COS|TI+X|-cos|(7 T -x)|-cos|n-x=|cosx|+cos|7i+x|-|cosx|-

20、cos|n-x=cos|n+x|-COS|T T-x=-cosx-(-cosx)=0,所以VxER,f（714-X）=f（7T-X）,所以函数/（x）的图像关于X=T T对称，所以。正确,故选：AD.12.（5 分）函数/（X）的导函数为了（X）,若 对 于 定 义 域 内 的 任 意JC 2（X 1 W X 2）,有一小）,二 包=f 恒成立，贝IJ称/（X）为“恒均变”函数.给出下列函数，其巧一%2 2中 为“恒均变”函数的是（）A.f (x)=21+3B.f (x)=J？-2x+3C.f (x)=/D.f (x)=cosx【解答】解：对 于 A,1)一 2)=2巧+3-2伤-3=2,于，

21、(号2)=2,满足“X。一 七)(卫 士.)，故 4 中的函数为“恒均变”函数；Xt-X2 2对于 8c ,-f-(-X-i-)-f-(-X-2-)-=X-1-2-2-X-1-+-3-X-2-2-+-2-X-2-3-=-(-X-1-X-2-)-(-X-1-+-X-2-)-2-(-X-1-X-2-)=X+X2X i-%2 Xr-X2-2,%l+x2 X i+%2 、rf g)一 (2)X l+%2 一 一f(-J)=2*-2=XI+%2-2,满足”八 21 寸(二),故 B 中的函数2 2%1-%2 2为“恒均变”函数；对 于C,当X l=l,X2=0时,7(久 I)-f(%2)e i-e 2-

22、=-=e-1,%l-%2 Xr-X2/（七%=e 中；7,此时不满足誓户=八 詈），故 C 中的函数不为“恒均变”函数;对于D当 X1=%,X 2=0 口 寸,%1)一/(%2)_ COS%COS久2%1-%22，n第1 1页 共1 9页%i+%2 x%1+%2 7r V2，一 f(%l)-f(%2)f (-)=-sin-=sin-=H,即此时不满足-=f2 2 4 2 7r x1-x2(3 士),故。中的函数不为“恒均变”函数；2故选：AB.三.填 空 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）1 3.（5 分）已知直线/i：x+2y-1 =0 与直线/2：x-y+l=0 相交，则机的取值

23、范围是_m#-2【解答】解：由直线/1：mx+2y-1 =0,直线 fc：x-y+l=0；,m 2-1当=H.1-11即 m=-2 时，l b：所以/1与/2相交时，团的取值范围是机W-2.故答案为：加W -2.14.（5 分）设随机变量S N（口，。2）,。2=1,函数/a）=/+2 x-t 没有零点的概率是0.5,则 尸（0 W l）-0.1359.附：若 8N（p,0 2）,则 P（四-。XW|i+。）0.6826,P（p-2。XWR+2。）Q0.9544.【解答】解：函数f（x）=/+2%-己没有零点，.二次方程/+-?=0 无实根，.=4-4 （-P 0,即？-1,又 （x）=:+2

24、 r-没有零点的概率是0.5,（仁-1）=0.5,由正态曲线的对称性知：四=-1,N（-1,1）,|1=-1,。=1,A|i-0=-2,四+。=0,口 -2。=-3,|i+2 o=1,:.P（-2 0）=0.6826,P（-3 1）=0.9544,1 1 P（0 1）=P（-3 f 1）-P（-2 0）=0.9544-0.6826=0.1359.故答案为：0.1359.15.（5 分）如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边A3、直角边2C、AC,N 为 AC的中点，点。在以AC为直径的半圆上.已知以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积

25、之比为3,sinZDAB=|,第1 2页 共1 9页c os N D N C=24V3-750 则【解答】解：以直角边AC,BC为直径的两个半圆的面积之比为3,：.A C：BC =遍,：.Z.C A B=,TU TC TT TT设NZMB=a,%V a 5,且WNC=2(a y)=2 a r由已知，得sina=&,整理得cosa=称,c osoz a 2o c os2 a-11 =一云7，sinoz a=云24,:.c os乙D NC =c os(2a )=c os2a cos4-sin2asin=2473-7故答案为：5016.(5 分)矩 形 A8CD中，A B=陋,B C=1,现将AC。

26、沿对角线AC向上翻折，得到四47r面体D -A BC,则该四面体外接球的体积为；设二面角D -A C -B的平面角为0,-3-71 71 V7 V10当。在写，万 内变化时，|BD|的范围为 三一三一L_.【解答】解：设 AC中点为O,则。为四面体外接球球心，半径O A=1,故 V球=1 兀；取 C。中点E,取 CC三等分点尸，且 F 靠近点C,连 BE、EF、BF,此时N B E F=0,余弦定理求得BF2=E F1+BE2-2EFBEcosO=f -/O Z C BF中，用余弦定理求得cos/B C F=叮 吃 产2=网12cos叱乙 C I D*rBCD 中，余弦定理求得 BD C C+

27、BC2-2BCCDcosZBCF=4-|(1+c osQ),根据n n。啊，小即可确定f B D 缘.4故答案为：-7 T,7 y/10T V1第1 3页 共1 9页四.解 答 题(共 6 小题，满 分 70分)17.(10分)已知数列“”的前八项和为S=2-2.(1)求通项公式加；(2)证明数列(祈 为等差数列.【解答】解：数列 如 的前项和为S产2-2”.所以 an=Sn-Sn-1 re-2n-(n-1)+2(n-1)In-3.当”=1 时，m=-l(符合通项).故：anIn-3.证明：(2)由(1)得：a,=2n-3,所以4-4-1 =2(常数).故数列。“为等差数列.18.(12分)某

28、企业拥有3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为土(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在，7=1与=2 之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润

29、-维修工人工资)1【解答】解：(1)设 3 条生产线中出现故障的条数为X,则 X8(3,-).该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率：P(X=l)=嗨(|)2=小(2)当”=1 时，设该企业每月的实际获利为H 万元.若 X=0,则 H=12X3-1=35,第1 4页 共1 9页若 X=l,贝 Ij H=12X2+8X 1+0X1-1=31,若 X=2,则 H=12X1+8X 1+0X1-1 =19,若 X=3,则 H=12X0+8X 1+0X2-1=7,又 P(X=0)=或(|)3=5，P(X=2)=戏()2(|)=枭P(X=3)=戏 4)3=芸，此时，实际获利”的均值为：EY i 35

30、X 2y+31 X+19 X+7 X 27 当 =2 时，设该企业每月的实际获利为力万元.若 X=0,贝 ij/=1 2 义3-2=34,若 X=l,则 2=12X2+8X1-2=30,若 X=2,则/=12X1+8X2-2=26,若 X=3,则 2=12X0+8X2+0X1-2=14,EY i 34 2y+30 X 2y+26 X+14 X=,7,因为 EHVEy2.于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在=1 与”=2 之中选其一，应选用n=2.119.(12 分)如图，直三棱柱 ABC-AIBICI 中，AC=BC=*A4=2,M、N 分别为 A8、B C 的中点.(1)求证：MN

31、平面 ACC14；(2)若 BiM=3或,求二面角81-4 M-N 的余弦值.【解答】证明：（I）取 AC的中点。，连接OM,OC ,在aABC中，为 A 8 的中点，。为AC的中点，第1 5页 共1 9页：.OM/BC,且。M=；B C,又 N 为 BiC i 的中点，BC/B C ,且 3 c=8i C i,1：.C iN/BC,且 C iN=那,；.O 历C 1 N 且O M=C i N,从而四边形O M N C i为平行四边形.：.MN/OC ,又 M N C 平面 A C C 1 A 1,O C i u 平面 A C C 1 A 1,平面 A C C 1 4；解：(H)在直三棱柱 A

32、 B C-A i B i C i 中，BBiLA B,B】M =3 BBi=4,：.BM=-BBr2=V 2,故 4 B=2&，A C2+BC2=A B2,从而 A C _ L B C,以 C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 M(1,1,0),A i (2,0,4),B(0,2,4),N(0,1,4),族 1 =1,4),R=(l,-1,4),M N =(-1,0,4),设平面M41 8 1的法向量为元=(x,y,z),则 归 M,=x-y +4 z=。，取 a,得 易=(i,1,0);(几 1 M B 1=%+y+4 z=0设平面M 4 1 N 的法向量为几2 =(%7 1/Z 1

33、)，则|吵”】=%-+4 4 =0,取2 2f得 心(*g,1).n2,M N =-x2+4Z2=0./T、江 1 2 2 7 2-CS =而鬲=码=.由图可知，二面角B i -A1M-N 为锐二面角，2 2则二面角B i-A i M-N的余弦值为 丁.第1 6页 共1 9页20.(12 分)在ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若国asinB-ZJCOSBCOSC=CCOS2B.(1)求角8 的值；(2)若 A=J 且ABC的面积为7W，求 2 c 边上的中线4 0 的长.O【解答】解：(1)因为百asinB-cos5cosc=CCOS28,所以由正弦定理可得gsinAsi

34、nB-sinBcosBcosC=sinCcos2B,可 得 遮 sirL4sin3=cos5(sinBcosC+sinCcosB)=cosBsinA,f Q因为 sinAWO,可得遍sin 8=co s8,即 tanB=-y,由(0 IT),可得3=工.o(2)由己知A=,则AABC是等腰三角形，N C=等，设 AC=8C=2”，O D可得 SAABC=8CsinNACB=4(2a)2sin =由已知ABC的面积为7百，得 cP=7,a=V 7,可得A C=8C=2j7,27rACM 中，由余弦定理，A M2=C A1+C M2-2cACMcos一3=(2 夕)2+(V7)2-2X2V7 x

35、V7 x(-1)=49,所以A M=1.21.(12分)已知动圆M 经过点N(0,2),且动圆M 被 x 轴截得的弦长为4,记圆心M 的轨迹为曲线C.(I)求曲线C 的标准方程；(II)过 x 轴下方一点？(?，)向曲线C 作切线，切点记作A、B,直线O P交曲线C于点Q,若直线A B、O P的斜率乘积为-2,点。在以A 8为直径的圆上，求点P的坐标.第1 7页 共1 9页【解答】解：(1 )设 M(x,y),依题意，y2+22=x2+(y-2)22,化简可得，曲线C的标准方程为f=4 y；(H)设由点P向曲线C作切线，切点为(炖，yo),又由曲线C的方程可得y =1x,则切线方程为y-军=-

36、xo),将 P (机，)代入可得，%02 2mx0 4-4 n =0,(=4 7n 2 1 6n 0X 14-x2=2 m，xrx2 4 n由 /=4 为，=4、2 作差可得，.8 =与,又 hp=M.kOpkA B=M$=一 2,解得 n=-4,因此，点 P到 x 轴的距离为4.2 2.(1 2 分)已知函数/(x)=es-/-2r的图象在点(0,1)处的切线方程为y=l.(1)证明：/(x)+x2 l.(2)若 X 0 是/(X)的极值点，且 X 0/n2+2xo.【解答】证明：(I)因为f (x)=泮-*-2 x,所以/(x)=aeax-2 x-2,因为函数的图象在点(0,1)处的切线方

37、程为)，=1,则/(0)a-2 0,解得 a=2,故/(x)e2x-x2-2 x,令 g (x)f(%)+?=6 女-2%,则 g (x)2e2x-2,由 g (x)0,得 x l；由 g (x)0,得 x0,得x 竽；由/?(x)0,f=2 1 V 0,所以北一竽)，使得/(如)=0,即？2%。=&+1,因为/(0)=0,所以由/(x)0,当 x xo 时，t ri(x)V O,所 以 加(x)在(-8,刈)上单调递增，在(刈，0)上单调递减，即 6 (x)在(-8,xo)上单调递增，在(刈，0)上单调递减，因为“(久 0)=-4 e2 x +4 x0+4 =-4(x0+1)+4 x0+4 =0,所以O (x)0,则 p (x)在(-8,o)上单调递减，因 为 年(%)=0,所 以(p(X 1)0,即 f(2 x()-xi)-/(%1)0,即 f(2 xo -xi)f(xi),因为/(xi)=f(x2)所以f(2 xo-xi)f(X 2),因为 X 2 X 0 V xi VO,所以 2 xO-X|V xO,X 2 X 0,且 f (x)在(-8,xo)上单调递增,所以 2M)-X I X 2,即 2XOXI+X2.因为/(&)=2e2x -2x0-2 =0,所以2 e 2&=2 x0+2,所以2 e 2&/2+2XO.第1 9页 共1 9页