高等数学第章微分方程解答高等教育微积分高等教育微积分.pdf

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1、高等数学第章微分方程解答 1/16 习题 7-2 可分离变量的微分方程 1 求下列微分方程的通解：（1）2211yyx；解 原方程为2211dyxydx，分离变量得2211dydxyx 两端积分得 arcsinarcsinyxC，（C为任意常数）即为原方程的通解。（2）0tansectansec22xdyyydxx；解 将原方程分离变量，得 22secsectantanyxdydxyx 两端积分得ln tanln tanlnyxC 或ln tantanlnxyC 故原方程的通解为tantanxyC（C为任意常数）。2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）eyyyxyx2,lnsin；解

2、 将原方程分离变量，得 lnsindydxyyx 两端积分得 tanln2lntan2xddyxy，即ln lnln tanln2xyC 故原方程的通解为lntan2xyC,代入初始条件,2xye,得1C.于是,所求之特解为tan2xye.（2）.1,022xyydxxdy 高等数学第章微分方程解答 2/16 解 将原方程分离变量，得 2dydxyx 两端积分得2dydxyx，即ln2lnlnyxC 故原方程的通解为2x yC,代入初始条件2,1xy,得4C.于是,所求之特解为24x y.3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.解 设曲线方程为,切

3、点为.由条件,切线在 x 轴与 y 轴上的截距分别为 2x 与 2y,于是切线的斜率2002yyyxx ,分离变量得dydxyx,积分得lnlnlnyxC,即xyC.代入初始条件23xy,得6C,故曲线方程为6xy.习 题 7-3 齐次方程 1、求下列齐次方程的通解 （1）022xyyyx 解(a)当0 x 时,可将方程改写成21yyyxx .令yux,即yxu,所以有yuxu.则原方程成为21uxuuu.分离变量,得21dudxxu.两边积分得2ln1lnlnuuxC,即21uuCx.将yux代入上式整理,得通解为222yyxCx;(b)当0 x 时,方 程 两 边 同 除 以x,则 原 方

4、 程 可 改 写 成为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方

5、程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 3/16 220yxyyxx ,即222210yxyyyyyxxxx (因为0 x 时,2xxx),也就是21yyyxx .与x0 的情况一样)所以,对任意的0 x,方程的通解为222yyxCx(C为任意常数).（注:如果C=0,则由原方程知,0 xy,即0 x 或yA,若0 x,则原方程变为20yy,只有当0y 时成立;若yA(A为常数),则原方程变成220AAx,当A0 时方程有解.）（2）0cos3)cos3sin2(dyxyxdxxyyxyx 解 原方程可改写成2tan03yydyxxdx.令yux,即yxu,所以有yuxu.则原方程

6、成为2tan3duuxuudx.分离变量,得32 tandudxux.两边积分得3ln sinlnln2uxC,即32sin uCx.将yux代入上式,得通解为32sinyCxx(C为任意常数).2.求齐次方程1|,02)3(022xyxydxdyxy满足所给初始条件的特解 解 原方程可写成21320 xx dxyy dy .令xuy,即xyu,有dxduuydydy,所以原方程成为21320duuu uydy.分 离 变 量,得221udyduuy,积 分 得2ln1lnlnuyC,即21uCy 代入xuy并整理,得通解为223xyCy.为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分

7、得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 4/16 由初始条件0

8、,1xy,得1C .于是所求特解为322yyx.习 题 7-4 一阶线性微分方程 1、求下列微分方程的通解（1）xeydxdy（2）0cos2)1(2xxyyx（3）0)ln(lndyyxydxy.解(1)由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为.dxdxxxxxxyeeedxCeee dxCexC(2)将原方程改写成222cos11xxyyxx.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为 22222112222cos1cossin11111xxdxdxxxxxxCyeedxCxdxCxxxx.(C为任意常数)(3)将原方程改写成11lndxxdyyyy,由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为

9、ln lnln lnlnln1111dydyyyyyyyxeedyCeedyCyy 2111ln11lnlnln2ydyCyCyyy.即 212 lnln2xyyCCC.(C为任意常数)(注:ln ln1lnyey,当ln0y 时,去掉绝对值即得上述解答过程.而当ln0y 时,则 lnlnlnln1111ln1ln1lnlnlnlnyyyyyeedy Cdy Cdy Cdy Cyyyyyyy与上述结果一样)为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求

10、之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 5/16 2、求微分方程0|,sectan0 xyxxydxdy满足所给初始条件的特解。解 由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为 tantanln cosl

11、n cossecsecxdxxdxxxyexedxCexedxC 1sec coscoscosxCxxdxCxx.代入初始条件x=0,y=0 得C=0.故所求特解为 cosxyx.3、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点),(yx处的切线斜率等于yx 2。解 设曲线方程为 yy x,由题目条件得2yxy,即02,0.xyyxy 由一阶线性微分方程的通解公式得,22dxdxxxyexedxCexe dxC 2222xxxxexeeCxCe 由初始条件0,0 xy得2C.故所求曲线的方程为 21xyex.4、用适当的变量代换将微分方程2)(yxdxdy化为可分离变量的方程，然后求出通解。解

12、令uxy,则1dudydxdx,且原方程变为21duudx.分离变量得21dudxu.两边积分得arctan uxC,即tanuxC.代入uxy,得原方程的通解为tanyxxC (C为任意常数).习 题 7-4 可降阶的高阶微分方程 1、求下列微分方程的通解 为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离

13、变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 6/16 （1）211xy 解 12arctan1dxyxCx，112arctanarctan1xyxCdxxxdxC xx 2121arctanln 12xxxC xC(C1,C2为任意常数)（2）0 yyx 解 令 yp x，则yp，且原方程化为0 xpp ，分离变量，得dpdxpx。两边积分得11ln

14、lnlnpCx，即1Cpx，也就是1Cdydxx。两边再积分，得原方程的通解为112lnCydxCxCx。(C1,C2为任意常数)（3）022yyy 解 令 yp y，则dpdp dydpypdxdy dxdy，且原方程化为220dpyppdy，当0p 时，有2dpypdy。分离变量，得2dpdypy 两边积分得021lnlnlnpCy，即02Cypy ，即 20y dyC dx。两边积分得3023yC xC所以原方程的通解为312103yC xCCC。(C1,C2为任意常数)（注：如果p=0，则y为常数函数，也是原方程的解！）2、求微分方程1|,0|,0002xxyyyay满足所给初始条件的

15、特解。解 令yp，则dpypdx，且原方程化为20pap，分离变量，得为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原

16、方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 7/16 2dpadxp，两边积分得11axCp。代入初始条件0,1xpy ，得11C。从而有11axy，即11yax 两边再积分得 21ln1yaxCa 。代入初始条件00 xy，得20C，故所求特解为 1ln1yaxa。3、试求xy 的经过点)1,0(M且在此点与直线12xy相切的积分曲线。解 因为直线12xy 在（0，1）处的切线斜率为12，由题目条件知，所求积分曲线是初值问题：00,11,.2xxyxyy 的解。对yx 两边积分得，212xyC。代入初始条件10,2xy，得112C。从

17、而有2122xy。两边再积分得 3262xxyC。代入初始条件01xy，得21C，故所求积分曲线的方程为3162xxy 。习 题 7-6 常系数齐次线性微分方程 1、求下列微分方程的通解（1）02yyy（2）0 yy（3）02520422xdtdxdtxd（4）0)4(yy.解(1)特征方程为220rr ,特征根为121,2rr,故方程的通解为212xxyC eC e(12,C C为任意常数).为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等

18、一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 8/16（2）特征方程为210r ,特征根为12,ri ri,故方程的通解为12cossinyCxCx(12,C C为任意常数).（3）特征方程为2420250rr,特征

19、根为1,252r,故方程的通解为5212tyCC t e(12,C C为任意常数).(4)特 征 方 程 为410r ,即 22110rr,所 以 特 征 根 为1,23,41,rri,故方程的通解为1234cossinxxyC eC eCxCx(1234,C C C C为任意常数).2、求微分方程0|,2|,04400 xxyyyyy满足所给初始条件的特解。解 解特征方程24410rr，得特征根为1,212r。故方程的通解为 212xyCC x e，且 有122222xCCyCx e 。代 入 初 始 条 件112202CCC，解得122,1CC。故所求的特解为22xyx e。习 题 7-6

20、 常系数非齐次线性微分方程 1、求下列微分方程的通解（1）xeyyy22 解 特征方程为2210rr ,特征根为121,12rr,故对应的齐次方程的通解为212xxYC eC e.又 2,1xf xe不是特征方程的根,令*xyae是原方程的一个特解,代入原方程得22xxxxaeaeaee,消去xe,可得1a,即*xye.所以原方程的通解为 为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求

21、这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 9/16*212xxxyYyC eC ee(12,C C为任意常数).（2）125522xxyy 解 特征方程为2250rr,特征根为1250,2rr,故对应的齐次方程的通解为5212xYCC e.又 2521,0f xxx是

22、特征方程的单根,设*2yx axbxc是原方程的一个特解,代入原方程并整理得2215121045521axab xbcxx,比较系数得137,3525abc,即*321373525yxxx.所以原方程的通解为 5*322121373525xyYyCC exxx(12,C C为任意常数).（3）xeyyyx2sin52 解 对应齐次方程的特征方程为2250rr，解得1,212ri，故对应的齐次方程的通解为12cos2sin2.xYeCxCx 因 2sin20 cos2sin2,12xf xexxCxii 是特征方程的单根，故可设*cos2sin2xyxeaxbx 是原方程的一个特解，代入方程并消

23、去xe得4 cos24 sin2sin2bxaxx，比较系数，得1,04ab，即 *11cos 2cos 244xxyxexxex。故原方程的通解为*121cos2sin2cos24xxyYye CxCxxex (C1,C2为任意常数)。2、求微分方程2|,1|,52300 xxyyyyy满足所给初始条件的特解。为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点

24、为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 10/16 解 因为特征方程2320rr 的特征根为121,2rr,故对应的齐次方程的通解为212xxYC eC e.因 5,0f x不是特征方程的根,故可设*yA是原方程的一个特解,代入方程得52A,即*52y.于是原方程的通解为21252xxyC e

25、C e且有2122xxyC eC e.代入初始条件0,1,2xyy,有121251,222.CCCC 解得125,7.2CC 所以,满足初始条件的特解为275522xxyee.3、设函数)(x连续，且满足 xxxdttxdtttex00)()()(，求)(x。解 由所给方程可得 01，在该方程两端对x求导，得 0 xxxexxt dtxx，即 0 xxxet dt （1）将x=0 代入方程（1）得 01。又在方程（1）的两端对x求导，得 xxex 令 xy，则有初值问题 00,1,1.xxxyyeyy （2）上述二阶线性常系数非齐次微分方程的特征方程为210r ，解得1,2ri，而,1xf x

26、e不是特征方程的根，故令*xyae是方程（2）得特解，代入方程（2）并消去xe，得12a。于是方程（2）有通解121cossin2xyCxCxe且有 为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分

27、方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 11/16 121sincos2xyCxCxe 。代入初始条件0,1,1xyy，有1211,2112CC ，即1212CC。于是得 1cossin2xyxxxe。复习题七 1、求微分方程0sin)1(cosydyeydxx，40 xy满足所给初始条件的特解。解 所给方程为可分离变量的微分方程。分离变量得tan1xxedxydye 两端积分得 ln1ln coslnxeyC，即1cosxeCy。代入初始条件0,4xy

28、，有222C，所以2 2C，于是12 2cosxey 即 1 sec2 2xey是所求之特解。2、求下列齐次方程的通解（1）03)(233dyxydxyx；（2）0)1(2)21(dyyxedxeyxyx.解：原方程可改写2213dyxydxyx，令yux，则2113yuxuuu，分离变量，得 233112ududxux，两端积分 31|1 2|ln|2lmuxC3212Cux，将yux代入并化简，得通解332xyCx.为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始

29、条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 12/16（2）原方程可改写成12210 xxyydxxeedyy.令xuy,即xyu,所以有dxduuydydy.代入原方程得 12210uu

30、dueuyeudy,整理并分离变量,得 122uuedyduuey.两边积分得22uud uedyuey,即ln2lnlnuueyC,也就是2uy ueC.将xuy代入上式,得原方程的通解为2xyxyeC(C为任意常数)3、求微分方程xyyxy，21xy满足所给初始条件的特解：解：令yux，则1yuxuuu ，分离变量得 1ududxx，两端积分，得21ln|2uuC，将yux代入并化简，得通解222(ln|C)yxx，由初始条件21xy，求得2C，所求特解为222(ln2)yxx.4、设有连接点)0,0(O和)1,1(A的一段向上凸的曲线弧OA，对于OA上任一点),(yxP，曲线弧OP与直线

31、段OP所围图形的面积为2x，求曲线弧OA的方程.解：设所求曲线方程为()yy x，由题意2012xydxxyx，等式两边对x求导有11222yyxyx，整理得微分方程4yyx ，此访程为一阶线性非齐次方程，由通解公式，得通解为(4ln)yxxC，又由曲线过)1,1(A，可知1C，故所求曲线方程为(14ln)yxx 5、求下列微分方程的通解（1）xxyy2sintan；为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的

32、任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 13/16 解 （2）02)6(2ydxdyxy.解 6、用适当的变量代换将方程11yxdxdy化为可分离变量的方程，然后求出通解。7、求下列微分方程的通解：（1）xyy；解 为任意常数即为原方程的

33、通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分

34、方程解答 14/16 （2）013yy 解 令 yp y,则dp dydpypdy dxdy,原方程化为310dpy pdy.分离变量,得31pdpdyy.两边积分得2121pCy,故2112111ypCC yyy 又分离变量,得211y dydxC y.当0y 时,原方程为211ydydxC y.两边积分得212111121d C ydxCC y.即 21101C yC xC,两边平方得 2222211010121C yC xCC xCC xC(其中20CC);当0y 时,原方程为211ydydxC y.两边积分得212111121d C ydxCC y.即 21101C yC xC ,两边

35、平方得 2222211010121C yC xCC xCC xC(其中20CC);为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数

36、注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 15/16 综上讨论知,原方程的通解为221121C yC xC (1C为不等于零的任意常数,C2为任意常数)8、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）025yy，20 xy，50 xy.解 （2）0134yyy，00 xy，30 xy.解 9、求下列微分方程的通解：（1）xeyay2；解 为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所

37、求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原高等数学第章微分方程解答 16/16 （3）xxyycos4.解 特征方程240r 的特征根为1,22ri,故对应齐次方程的通解为 12cos2sin2YCxCx.因 cos,f x

38、xxii 不是特征方程的特征根,故可设*cossinyaxbxcxdx 是原方程的一个特解.代入原方程,得332cos332sincosaxbcxcxdaxxx.比较系数得31320,30,320,abccda,解得130,0,2,9abcd,即 *12cossin39yxxx.故原方程的通解为*1212cos2sin2cossin39yYyCxCxxxx.为任意常数即为原方程的通解解将原方程分离变量得两端积分得或故原方程的通解为为任意常数求下列微分方程满足所给初始条件的特解解将原方程分离变量得两端积分得即故原方程的通解为代入初始条件得于是所求之特解为高等一曲线通过点它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设曲线方程为切点为由条件切线在轴与轴上的截距分别为与于是切线的斜率分离变量得积分得即代入初始条件得故曲线方程为习题齐次方程求下列齐次方方程两边同除以则原方程可改写成高等数学第章微分方程解答即因为时也就是与的情况一样所以对任意的方程的通解为为任意常数注如果则由原方程知即或若则原方程变为只有当时成立若为常数则原方程变成当时方程有解令即解原