2023年全国高中数学联赛山东省预赛试题含答案.pdf

《2023年全国高中数学联赛山东省预赛试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年全国高中数学联赛山东省预赛试题含答案.pdf（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023 全国数学联赛山东省预赛试题全国数学联赛山东省预赛试题一、填空题（每小题 8 分，共 80 分）1、已知,33811|1ZxxAx，,032|NxxxxB，则集合,|ByAxxymmC的元素个数是.2、已知：3tansin41)2,0(，则是.3、已知关于x的方程023cbxaxx的三个非零实数根成等比数列，则33bca的值是.4、正方体1111DCBAABCD 的底面1111DCBA内有一个动点M，且CADBM1/平面，则MDD1tan的最大值是.5、数列na中，11a，),2,1(211naann，那么na.6、已知0,zyx，则zyxxzzyyxf539164222222的最小值

2、是.7、设ABC的内心为I，而且满足0652ICIBIA，则Bcos的值是.8、已知双曲线 H：221xy上第一象限内一点 M，过 M 的作 H 的切线l，与双曲线 H 切于 M，交 H的渐近线于 P，Q 两点（P 在第一象限），R 与 Q 在同一渐近线上.则RP RQ 的最小值为.9、小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分他的目标是至少得7分，7分及格小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率为21，小张应该做_多少道题，及格的概率最大.10、设实数yx,使得yx，22yx，33yx 均为素数，则yx的值是.二、解答题（共 70 分）11

3、、（本题 15 分）已知：O是ABC的外心，ED,分别是边ABAC,上的点.线段CEBDDE,的中点分别为RQP,.DEOH 垂足为H.求证：P，Q，R，H 四点共圆.12、（本题 15 分）在区间)2,2(32nn中任取1212n个奇数.求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能被另一个数整除.13、（本题 20 分）已知：cba,为正实数.证明：)(9)2)(2)(2(222cabcabcba.14、（本题 20 分）1010的表格上填入 1 到 100，第i行第j列填入ji)1(10.每次操作如下：取一个格子，或者将此格数字减少 2，将两个相对的邻格同时加 1；或者将此格数字

4、增加 2，将两个相对的邻格同时减 1.证明：如果经过一些步骤后表格中又得到 1 到 100 的数字，则它们是按原来的顺序排列的.2023 全国数学联赛山东省预赛试题（答案）全国数学联赛山东省预赛试题（答案）一、填空题（每小题 8 分，共 80 分）1、已知,33811|1ZxxAx，,032|NxxxxB，则集合,|ByAxxymmC的元素个数是答案：7解析：由已知得2,1,0,1,2A，2,1,0B，所以4201124，C2、已知：3tansin41)2,0(，则是答案：18解析：由已知得)6sin(22sin2，所以易得183、已知关于x的方程023cbxaxx的三个非零实数根成等比数列，

5、则33bca的值是答案：0解析：设这三个根是2,dqdqd，则由韦达定理得cqdbqdqdqdadqdqd33322222整理得cab3)(，所以033bca4、正方体1111DCBAABCD 的底面1111DCBA内有一个动点M，且CADBM1/平面，则MDD1tan的最大值是答案：2解析：由已知点M在线段11CA上运动，所以2tan111MDDDMDD，且当点M是11CA中点时等号成立.5、数列na中，11a，),2,1(211naann，那么na答案：),2,1(1)2(32nann解析：由递推关系得)1(211nnnaaa，)2(121nnnaaa所以2122111nnnnaaaa，所

6、以nnnnaaaa)2(21)2(21111所以),2,1(1)2(32nann6、已知0,zyx，则zyxxzzyyxf539164222222的最小值是答案：55解析：由柯西不等式得yxyx24122，zyzy441422，xzxz8411622所以zyxxzzyyxf539164222222555539842）（zyxxzzyyx且当xzy2时取等号7、设ABC的内心为I，而且满足0652ICIBIA，则Bcos的值是答案：85解析：设ABC的三边长为cba,，由熟悉的结论：0ICcIBbIAa得6:5:2:cba，所以85cosB8、已知双曲线 H：221xy上第一象限内一点 M，过

7、M 的作 H 的切线l，与双曲线 H 切于 M，交 H的渐近线于 P，Q 两点（P 在第一象限），R 与 Q 在同一渐近线上.则RP RQ 的最小值为.答案：21解析：设点00(,)M xy，11(,)P x y，22(,)Q xy，则00:10l x xy y.021210=xyyxxy且2211222200 xyxy，12211221212xxyyyyxx，注意到021210=xyyxxy12012022xxyyyx12012022xxyyyx即 M 为 PQ 的中点.222221111|4444RP RQRMPQPOPQOQ .考虑到 M 在第一象限，故22OQ 21142RP RQOQ

8、 9、小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分他的目标是至少得7分，7分及格小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率为21，小张应该做_多少道题，及格的概率最大答案：7 或 9解析：做对6道题再做一道题及格的概率为1Pp，再做两道题及格的概率为22Pp，再做三道题及格的概率为322233(1)(32)PpC pppp，再做四道题及格的概率为433344(1)(43)PpC pppp显然1234PPPP，因此，只需比较1P与3P的大小当13PP，即2(32)ppp时，解得112p因此，当112p时，13PP，此时回答九道题及格的概率最大；当1

9、02p时，13PP，此时回答七道题及格的概率最大；当12p 时，13PP，此时回答七道题或回答九道题及格的概率最大10、设实数yx,使得yx，22yx，33yx 均为素数，则yx的值是答案：3解析：设pyx，qyx22，ryx33，期中rqp,都是素数，pqyxyxyx22所以)(21ppqx，)(21ppqy代入ryx33整理得)4(332prpq故23|qp，所以3p或qp，经检验只能3p二、解答题（共 70 分）11、（本题 15 分）已知：O是ABC的外心，ED,分别是边ABAC,上的点.线段CEBDDE,的中点分别为RQP,.DEOH 垂足为H.求证：HRQP,四点共圆证明：设ADE

10、的三个内角分别为EDA,，ABC的外接圆半径为R由ACRPABQP/,/知EQPHsinsin，AQPRsinsin，DHPRsinsin又2,2CDPRBEPQ，故HRQP,四点共圆QPRPHQPHPRRPHPQsinsinsinAPHECDDBEsinsin2sin2DEPHADCDAEBE2)()()()(2222EHDHEHDHODRDER2222EHDHOEODDEOH 得证12、（本题 15 分）在区间)2,2(32nn中任取1212n个奇数.求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能被另一个数整除.13、（本题 20 分）已知：cba,为正实数.证明：)(9)2)(2

11、)(2(222cabcabcba证明：由抽屉原理，cba,中必有两个数同时不大于 1，或同时比小于 1，设为ba,则由0)1)(1(22ba得22221baba所以)2)(422()2)(2)(2(22222222cbabacba)11)(1(3222cba2)(3cba)(9cabcab14、（本题 20 分）1010的表格上填入 1 到 100，第i行第j列填入ji)1(10.每次操作如下：取一个格子，或者将此格数字减少 2，将两个相对的邻格同时加 1；或者将此格数字增加 2，将两个相对的邻格同时减 1.证明：如果经过一些步骤后表格中又得到 1 到 100 的数字，则它们是按原来的顺序排列的.证明：设一开始填数字k的格子为ka，令1001iiiaA则A在操作中是不变量，始终为33835010012ii又因此数为表格中 1 到 100 所能得到的最大值，故等号成立，所以顺序不变.