高考中常用的数学概念公式中间结论中学教育高考中学教育高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高中数学重要知识点 一、概念 1.集合的基本运算 交集：AB=x|x A且 xB 并集：AB=x|x A或 xB 补集：全集为 U,集合 A(AU)的补集为ACu=x|x U且 x A 2.(1)全称命题 p:xM,p(x)的否定为特称命题 p:0 xM,p(0 x).(2)特称命题 p:0 xM,p(0 x)的否定为全称命题 p:xM,p(x).3.分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.4.奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意 x(定义域关于

2、原点对称)，都有 f(x)f(x)成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(x)f(x)f(|x|)成立，则 f(x)为偶函数)5.对数：如果)1,0(aaNax,那么数x叫做以a为底N的对数,记作Nxalog.其中a叫底数,N叫做真数 6.指数函数与对数函数 指数函数 对数函数 定义 形如 y=xa(a0 且 a1)的函数 形如 y=xalog(a0 且 a1)的函数 图象 定义域 R x|x0 值域 y|y0 R 过定点(0,1)(1,0)单调性 a1 时,在 R上单调递增 0a1 时,在(0,+)上单调递增 0a1 时,在(0,+)上单调递减 函数值性质 0a0 时,0y1；当 x1 0a1

3、 时,y0；当 0 x0 a1,当 x0 时,y1；当 x0 时,0y1,当 x1 时,y0；当 0 x1 时,y1,d 为常数).(2)等差中项:若 a,A,b 成等差数列,则 A叫做 a 与 b 的等差中项,且 A=2ab.17.等比数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q(q 0)表示.符号表示为12nnaq na，q 为常数.(2)等比中项:如果三个数 a、G、b 成等比数列,则 G叫做 a 和 b 的等比中项,那么Ga=bG,即G2=ab.18.判断二元一次不等

4、式表示的平面区域的方法(1)在直线 Ax+By+C=0的某侧任取一点(0 x,0y),通过 A0 x+B0y+C的符号来判断Ax+By+C0(或 Ax+By+C0,则当 B0时表示直线 Ax+By+C=0的上方；当 B0时，表示直线Ax+By+C=0的下方.若 Ax+By+C0);圆心(a,b),半径为 r;圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0);圆心(-2D,-2E),半径22142DEF.24.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(2ab0)22xa-22

5、yb=1(a0,b0)y2=2px(p0)图形 范围|x|a,|y|b|x|a x0 顶点(a,0)(0,b)(a,0)(0,0)对称性 关于 x 轴,y 轴和原点对称 关于 x 轴对称 焦点(c,0)(2p,0)轴 长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a,虚轴长 2b 离心率 e=ca=221ba(0e1)e=1 准线 x=-2p 渐近线 y=bax 25.求曲线轨迹方程的定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则根据定义直接求出动点的轨迹方程.的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域

6、是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载 26.极坐标：设 M是平面内一点,极点 O与点 M的距离|OM|叫做点 M的极径,记为.以极轴Ox为始边,射线OM

7、为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点 M的极坐标,记作 M(,).27.常用简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆 =r(0 2)圆心为(r,0),半径为 r 的圆 =2rcos (-22)圆心为(r,2),半径为 r 的圆 =2rsin (0)过极点,倾斜角为的直线 =(R)或 =+(R)过点(a,0),与极轴垂直的直线 cos=a(-22)过点(a,2),与极轴平行的直线 sin=a(0b0)的参数方程cos,sin.xayb(为参数)29.将曲线的参数方程化为普通方程时,要把其中的参数消去,还要注意消去参数的过程要保持普通方程与参

8、数方程的等价性.参数方程化为普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.30.求解极坐标方程和参数方程的综合问题应统一化为直角坐标方程后处理.31.线性回归方程axby一定过样本点的中心 yx,其中b值是自变量每增加一个单位，因变量的变化值.32.离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量可能取的值为 x1,x2,xi,取每一个值 xi的概率为 P(=xi)=pi,则称下表:x1 x2 x3 xi P p1 p2 p3 pi 为离散型随机变量的分布列.(2)离散型随机变量的分布列具有两个性质:pi0,p1+p2+pi+=1(i=1,2,3,).(3)对于离散型随机变量在某

9、一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即 P(xk)=P(=xk)+P(=xk+1)+.的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在

10、处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载 二、公式 1.对数性质：.1log,01logaaa ,logNaNa.logNaNa)0.1,0(Naa 2.运算性质：.logloglogNMMNaaa .logloglogNMNMaaa )(loglogRnMnMana)0,0.1,0(NMaa 3.换底公式：.)0.1,0.1,0.(logloglogbccaaabbcca 4.导数公式及运算法则(1)导数公式：c=0（c为常数）；)(nx=1nnx（*Qn）；(sin x)cos x；(cos x)sin

11、 x；(xa)xaln a(a0且 a1)；(xe)xe；(xalog)1xln a(a0 且 a1)；(ln x)1x.(2)导数的四则运算法则 u(x)v(x)=u(x)v(x);u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);u xv x=2u x v xu x v xv x(3)复合函数的求导法则：复合函数 y=f(g(x)的导数和 y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为xy=f(u)g(x).5.同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sin cos tan.(2+k,k Z)；(2)平方关系：sin2cos21(R)6.诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k+(

12、k Z)+-2-2+正弦 sin -sin -sin sin cos cos 余弦 cos -cos cos -cos sin -sin 正切 tan tan -tan -tan 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限其中，“奇、偶”是指“k2(kZ)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角 看作锐角时，原函数值的符号 7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(+)=cos cos-sin sin,余余正正符号异 cos(-)=cos cos+sin sin.的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同

13、的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载 sin(+)=sin cos+cos sin,正余余正

14、符号同 sin(-)=sin cos-cos sin tan(+)=tantan,Z1tantan2kk ,tan(-)=tantan,Z1tantan2kk 8.二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 2=2sin cos.cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.tan 2=22tan1tan.9.公式的常见变式(1)tan tan=tan()(1 tan tan).(2)sin2=1cos22;cos2=1cos22;sin cos=1sin 22.(3)1+cos=22cos2;1-cos=22sin2;1+sin=2sincos22;1-sin=2sincos22

15、.10.形如 asin x+bcos x的式子的化简 asin x+bcosx=22absin(x+)(其中 sin=22bab,cos=22aab).11.正弦定理:sinaA=sinbB=sincC=2R(2R为ABC外接圆的直径).变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.sin A=2aR,sin B=2bR,sin C=2cR.abc=sin A sin B sin C.12.余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.推论:cos A=2222bcabc,cos B=2222acbac

16、,cos C=2222abcab.13.三角形常用面积公式(1)S=12aha(ha表示边 a 上的高);(2)S=12absin C=1sin 2bcA=12acsin B;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).注意：圆锥曲线题求三角形面积有时会用分割法。14.平面向量的运算(1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ab=(x1x2,y1y2);的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记

17、作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载(2)若 a=(x,y),则a=(x,y).|a|aax2y2.aa(3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点)2,2(2121yyxxC.),(1212yyxxAB(4)若a(x1，y

18、1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.)()(dbcbdacadcba 15.等差数列(1)若等差数列an的首项是 a1,公差为 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d.通项的推广:an=am+(n-m)d.(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn=12nn aa=112n ndna 16.等比数列(1)设等比数列an的首项为 a1,公比为 q,q 0,则它的通项公式 an=a1qn-1.通项公式的推广an=amqn-m.(2)等比数列的前 n 项和公式：q1，Sna11qn1qa1anq1q q1，Snna1 17.

19、复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;除法:12zz=iiabcd=(i)(i)(i)(i)abcdcdcd=2222iacbdbcadcdcd(c+di 0).18.表面积和体积公式 柱体的体积 V=Sh;锥体的体积 V=13Sh;台体的体积 V=13(S+SS+S)h 球的表面积和体积:S球24 R，V球334R.19.空

20、间向量运算的坐标表示 设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么 加、减运算:a b=(x1x2,y1y2,z1z2).数量积:a b=x1x2+y1y2+z1z2.夹角公式:cos=12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz.模长公式:|a|=a a=222111xyz.数乘运算:a=(x1,y1,z1)(R).平行的充要条件:a b x1=x2,y1=y2,z1=z2(R).垂直的充要条件:a b x1x2+y1y2+z1z2=0.的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数

21、是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载 20用向量求空间中角的公式(1)直线l1，l2夹角 有 cos|cos l1，l2|；(2

22、)直线l与平面 的夹角有：sin|cos l，n|(其中n是平面 的法向量)；(3)平面，夹角余弦为cos=cos=|cosn1，n2|，则 l 二面角的平面角为 或.(其中n1，n2分别是平面，的法向量)21.求空间距离(1)两点间距离求法 若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=222121212xxyyzz.(2)点面距的求法 设n是平面的法向量,点A在平面内,点B在平面外,则点B到平面的距离为AB nn.(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解.22.直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角范围为,0,注意任意直线都有倾斜角。直线的斜率：斜率与倾斜角的关

23、系是k tan(90)，注意倾斜角为 90的直线没有斜率。过两点的直线的斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k=2121yyxx 注意：两条直线平行是两条直线斜率相等的既不充分也不必要条件,即12/llkkkkll不能推出，不能推出时,21,ll的斜率可能不存在，21kk 时21,ll可能重合.两条直线21,ll垂直是两直线的斜率乘积为-1的必要不充分条件，即21ll 时,21,ll可能一条斜率为 0，另一条斜率不存在.23.求平面距离(1)两点距离:两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=222121xxyy.(

24、2)点线距离:点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0(A、B不同时为 0)的距离 d=0022AxByCAB.(3)线线距离：两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d=1222CCAB.24.有关弦长的问题(1)圆的弦长的求法 法一：几何法:圆的弦长的计算常用弦心距 d,弦长一半12l 及圆的半径 r 所构成的直角三角形来解,即 r2=d2+212l .的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定

25、义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载 球：任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆）.球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且22dRr，其中R为球半径，r为截面半径，d为球心

26、到截面的距离。法二：利用弦长公式|P1P2|=21k|x1-x2|=2212121()4kxxx x (2)圆锥曲线的弦长公式 斜率为 k 的直线与圆锥曲线相交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则弦长|P1P2|=21k|x1-x2|=2212121()4kxxx x或|P1P2|=211k|y1-y2|=21212211()4yyy yk（0k）.当直线的斜率不存在时,求出交点直接运算.椭圆与双曲线的通径长为2b2a；抛物线通径为 2p.抛物线22(0)ypx p的焦点弦长|AB|=x1+x2+p.25.对角线垂直的四边形 ABCD 面积为：BDAC 21.26.极坐标与直角坐

27、标的互化 设点 P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,),则直角坐标方程化为极坐标方程的公式为cos,sin,xy极坐标方程化为直角坐标方程的公式为22,tan.xyyx 27频率分布直方图(1)频率小长方形的面积频率组距组距；频率样本容量频数.(2)各小长方形的面积之和等于 1.28.样本数据的数字特征 平均数：x1n(x1x2xn)方差：s21n(x1x)2(x2x)2(xnx)2 29.怎样利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数与方差?(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3)平均数等于每个小长方形底边中点的横坐标乘以小长

28、方形的面积之和;(4)方差等于每个小长方形底边中点的横坐标与平均数的差的平方乘以小长方形面积之和.30.排列、组合(1)Amn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=!nnm,Ann=n!,0!=1 (nN*,mN*,mn).(2)Cmn=AAmnmm=121!n nnnmm=!nm nm.31.二项式定理(a+b)n=0Cnan+1Cnan-1b+Crnan-rbr+1Cnnabn-1+Cnnbn)(*Nn.的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性

29、是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载(1)通项(展开式的第 r+1 项):Tr+1=Crnan-rbr,其中Crn(r=0,1,n)叫做二项式系数.(2)二项式系数最值问题：当n为偶数时，中间一项即

30、第n21 项的二项式系数2nnC最大；当n为奇数时，中间两项即第n12，n32项的二项式系数21nnC，21nnC相等且最大(3)求两个二项积展开式中xk项(或系数)，要用系数配对 32.概率计算公式(1)古典概型：P(A)事件A包含的基本事件数m基本事件总数n；(2)几何概型：P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 33.离散型随机变量的期望值和方差 期望E(X)x1p1x2p2 xnpn.反映了X的平均值.方差D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn，标准差DX.反映了X的离散程度.34.互斥事件有一个发生的概率：P(AB

31、)P(A)P(B)；对立事件的概率：P(A)1P(A)；相互独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B).35.条件概率：在 A发生的条件下 B发生的概率 P(B|A)=P ABP A.36.超几何分布 一般地,在含有 M件次品的 N件产品中,任取 n 件,其中恰有 X件次品,则P(X=k)=C CCkn kMNMnN,k=0,1,2,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.则称随机变量X服从超几何分布.37.二项分布 在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在 n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n

32、 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 Pn(=k)=Cknpkqn-k(k=0,1,2,3,q=1-p)于是得到随机变量的概率分布如下:0 1 k n Pn()0Cnp0qn 1Cnp1qn-1 Cknpkqn-k Cnnpnq0 由于Cknpkqn-k恰好是二项展开式(q+p)n=0Cnp0qn+1Cnp1qn-1+Cknpkqn-k+Cnnpnq0中的各项的值,所以称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p),其中 n,p 为参数.若B(n,p),则 E()=np,D()=np(1-p).的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析

33、式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载 三、中间结论 1判断函数单调性的方法:区间 D上的增函数 区

34、间 D上的减函数 定义法 1x2xf(1x)f(2x)1xf(2x)图象法 自左向右函数图象上升 自左向右函数图象下降 导数法 导数大于零 导数小于零 运算法 增函数+增函数 减函数+减函数 复合函数法 内外层单调性相同 内外层单调性相反 注意:函数 f(x)在(a,b)内单调递增,则 f(x)0,f(x)0 是 f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2.函数奇偶性的重要结论(1)f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于 y 轴对称(2)在 x=0 处有定义的奇函数 f(x)一定有 f(0)=0.(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函

35、数在对称的两个区间上有相反的单调性 3.函数图象平移变换的相关结论 作出函数 y=211xx的图象 y=2+11x,故函数图象可由y=1x的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,如图所示.4.存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若 f(x)m恒成立,则f(x)max m;若f(x)m恒成立,则f(x)min m.若f(x)m有解,则f(x)min m;若f(x)m有解,则 f(x)max m.若,)()(maxminxgxf则)()(xgxf.反之，不一定成立.5.关于三次函数)0()(23adcxbxaxxf：cbxaxxf23)(2.0)(xf中acb34)2(2

36、.当0a时，若0，则0)(xf，)(xf在R上递增；若0，0)(xf两根为.,21xx（1x2x），则)(xf在1,x上递增，),(21xx 上递减，,2x上递增.的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根

37、函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载 当0a时，若0，则0)(xf，)(xf在R上递减.若0，0)(xf两根为.,21xx（1x2x），则)(xf在1,x上递减，),(21xx 上递增，,2x上递减.三次函数是中心对称图形。6.几组特殊值.42615sin0 .42675sin0 .3215tan0 .3275tan0 2tan，正弦绝对值552，余弦绝对值55;31tan，正弦绝对值1010，余弦绝对值10103.7三点共线的判定（1）A，B

38、，C三点共线 AB，AC共线；（2）向量PA，PB，PC中三终点A，B，C共线 存在实数，使得PAPBPC，且 1.特别地，=21,A为BC的中点。8.若,ba 则cbca 9.an与 Sn的关系(1)Sn=12naaa.(2)若数列an的前 n 项和为 Sn,则 an=11 1,2.nnSnSSn（需检验 a1是否符合 n2时,an的表达式,若符合则把通项公式合写,否则应分 n=1与 n2两段来写.）10.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.11n n=111nn;121 21nn=)121121(21nn;11nn=nn 1.11.一元二次

39、不等式的解集 若1x，2x是方程)0(02acbxax的两不等实根（1x2x），则)0(02acbxax的解集为21|xxxxx 或)0(02acbxax的解集为21|xxxxx 或)0(02acbxax的解集为21|xxxx )0(02acbxax的解集为21|xxxx.的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定

40、点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载 提示:若 ab0 nanb(n N,n2).14.六个重要的不等式(1)|a|0,a20(a R);(2)a2+b22ab(a,b R);(3)2abab(a,b0);(4)ab（2ab）2(a,bR);(5)222ab 2abab2abab(a,b0);(6)2(a2+b2)(a+b)2(a,b

41、R,当 a=b 时等号成立).15.222cabcabcba),(Rcba 16.定理:如果 a,b 是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时,等号成立.结论：|a|-|b|a+b|a|+|b|.|a|-|b|a-b|a|+|b|.17.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a0 a=0 a0|x|a x|-axa x|xa或 x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc 或 ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 方法一:利用绝对值不等式

42、的几何意义求解,体现了数形结合的思想.方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.提示:数轴上,设与实数 x,a,b对应的点分别为 P,A,B,则|x-a|+|x-b|的几何意义为|PA|+|PB|.(4)形如|ax+b|cx+d|的不等式,可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解.18.柯西不等式二维形式:若 a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc时,等号成立.19.复数的几个常见结论(1)(1i)22i；(2)1i1ii，1i1ii；(3)i4n1，i4n1i

43、，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30(nZ)；的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线

44、的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数学习必备 欢迎下载 20.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 圆心在过切点且与切线垂直的直线上;圆心在任一弦的中垂线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.21.（1）直线与圆的位置关系 几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr相离，dr相切（2）圆与圆的位置关系 几何法:设圆 O1的半径为 r1,圆 O2的半径为 r2 两圆外离|O1O2|r1+r2;2 条内公切线，2 条外公切线 两圆外切|O1O2|=r1+r2;1 条内公切线，2 条外公切线 两圆相交|r2-r1|O1O

45、2|r1+r2;2 条外公切线 两圆内切|O1O2|=|r2-r1|;1 条外公切线 两圆内含|O1O2|0,则直线与椭圆相交;若=0,则直线与椭圆相切;若b0)的左、右焦点,P 为椭圆上的任意一点,则有|PF1|a-c,a+c.(2)双曲线中的最值 F1、F2为双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的左、右焦点,1P为双曲线左支上的任一点,2P为双曲线右支上的任一点,O 为坐标原点,则有|O1P|a.21PP2a.|1PF1|c-a.12FP c+a.23.圆锥曲线中涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点 A、B的坐标,弦中点 M坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化.椭圆2

46、2xa+22yb=1(ab0)中有.22abkkABOM 椭圆12222bxay(ab0)中有.22bakkABOM 双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)中有.22abkkABOM 双曲线12222bxay(a0,b0)中有.22bakkABOM 的否定为特称命题特称命题的否定为全称命题分段函数在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式这类函数称为分段函数分段函数是一个函数分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集奇偶性是函数在其定义域叫做以为底的对数记作其中叫底数叫做真数指数函数与对数函数指数函数对数函数形如且的函数形如且的函数定义图象单调性定义域值域过定点时在上单调递增时在上单调递增时在上单调递减时在上单调递减当时当时当时当时当时与轴的交点的坐标所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数值性质导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率相应的切线方程为线上又在函数图象上切点在切学习必备欢迎下载求可导函数