相似三角形知识点归纳全中学教育中考中学教育中考.pdf

《相似三角形知识点归纳全中学教育中考中学教育中考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相似三角形知识点归纳全中学教育中考中学教育中考.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、相似三角形中考考点归纳与典型例题 知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段dcba,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,叫做成比例线段，简称比例线段 注：比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,的第四比例项，那么应得比例式为：adcb ()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项 同时交换内外项 核心内容：b

2、cad （2）黄金分割：把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，即2ACAB BC，叫做把线段AB黄 金分割，点C叫做线 段AB的黄金分割点，其 中ABAC215 0.618AB即512ACBCABAC 简记为：512长短全长 注：黄金三角形：顶角是 360的等腰三角形 黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：acabcdbdbd 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立如：dcdcbabaccdaabdcba等等 （4）等比性质：如果)0(nfdbnmfedcba，那么banf

3、dbmeca FEDCBA知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知 AD BE CF,可得ABDEABDEBCEFBCEFABBCBCEFACDFABDEACDFDEEF或或或或等.特别在三角形中：由 DE BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或 知识点 4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于”相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例 注：对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 顺序性：相似

4、三角形的相似比是有顺序的 两个三角形形状一样，但大小不一定一样 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形 （2）三角形相似的判定方法 1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理 1：简述为：两角对应相等，两三角形相似 AA 3、判定定理 2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似SAS 4、判定定理 3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似SSS 5、判定定理 4：直角三角形中，“HL”全等与相似的比较：三角形全等 三角形相似 两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三

5、边对应相等(SSS)、(HL）两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例“HL”（3）射影定理：如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边 BC上的高，则 AD2=BD DC，AB2=BD BC，AC2=CD BC.知识点 5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形周长的比等于相似比 EABCDDBCA的是相似三角形如果两个边数相同的多边形的对应角相等对应边成比例这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数知识点比例线段的相关概念比例的性质定义在四条线段中如果和的比等于和的比那内项交换外项同时交换内外项核心内容黄金分割把

6、线段分成两条线段且使是和的比例中项即叫做把线段黄金分割点叫做线段的黄金分割点其中即简记为长短全长注黄金三角形顶角是的等腰三角形黄金矩形宽与长的比等于黄金数的矩仍成立如等等等比性质如果那么知识点比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等特别在三角形中由可得或或知识点相似三角形的概念定义对应角相等对应边成(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点 6 相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)如图：其中1=2，

7、则ADE ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反 A共角型”、“反 A共角共边型”、“蝶型”）(3)一线三等角的变形:知识点 7 等积式证明题常用方法归纳：(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用

8、的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。(4)添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成 比例.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。知识点 8 相似多边形的性质 ABCDE12AABBCCDDEE12412(1)EABCD(3)DBCAE的是相似三角形如果两个边数相同的多边形的对应角相等对应边成比例这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数知识点比例线段的相关概

9、念比例的性质定义在四条线段中如果和的比等于和的比那内项交换外项同时交换内外项核心内容黄金分割把线段分成两条线段且使是和的比例中项即叫做把线段黄金分割点叫做线段的黄金分割点其中即简记为长短全长注黄金三角形顶角是的等腰三角形黄金矩形宽与长的比等于黄金数的矩仍成立如等等等比性质如果那么知识点比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等特别在三角形中由可得或或知识点相似三角形的概念定义对应角相等对应边成(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3)相似多边形面积比等于相似比的

10、平方 注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键 知识点 9 位似图形有关的概念与性质（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.（4）位似图形具有相似图形的所有性质.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移

11、到原点，求出对应点的坐标再平移回去）知识点一：平行线成比例定理 典型例题 例 1、如图，平行四边形ABCD中，上的一点，是43ECBEBCE，于点交FBDAE BF的值。及，求DFDABEcm6 例 2.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC与 BD相交于O，E是 CD的中点，AE交 BD于 F，则 DF:FO_。跟踪练习 1：如图，平行四边形 ABCD 中，O1、O2、O3为对角线 BD上三点，且 BO1O1O2FEDCBA的是相似三角形如果两个边数相同的多边形的对应角相等对应边成比例这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数知识点比例线段的相关概念比例的性质定

12、义在四条线段中如果和的比等于和的比那内项交换外项同时交换内外项核心内容黄金分割把线段分成两条线段且使是和的比例中项即叫做把线段黄金分割点叫做线段的黄金分割点其中即简记为长短全长注黄金三角形顶角是的等腰三角形黄金矩形宽与长的比等于黄金数的矩仍成立如等等等比性质如果那么知识点比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等特别在三角形中由可得或或知识点相似三角形的概念定义对应角相等对应边成第7题图FEBDACO2O3O3D，连结 AO1并延长交 BC于点 E，连结 EO3并延长交 AD于 F，则 AD:FD等于（）。A、19:2；B、9:1；C、

13、8:1；D、7:1 2、如图，在平行四边形ABCD 中 R在 BC的延长线上，AR交 BD于 P，交 CD于 Q，若 DQ CQ 4:3，则 AP PR 3、(2015 湖南株洲,第 7 题 3 分)如图，已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、D、F，且 AB1，CD3，那么 EF 的长是()A13 B23 C34 D45 4、（2015 甘肃武威,第 9 题 3 分）如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，DEAC，若 SBDE：SCDE=1：3，则 SDOE：SAOC的值为（）A B C D 5、（2015 四川乐山,第 5 题 3 分）如图，两条直线与这

14、三条平行线分别交于点 A、B、C 和 D、E、F已知，则的值为（）A B C D QRPDCBA的是相似三角形如果两个边数相同的多边形的对应角相等对应边成比例这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数知识点比例线段的相关概念比例的性质定义在四条线段中如果和的比等于和的比那内项交换外项同时交换内外项核心内容黄金分割把线段分成两条线段且使是和的比例中项即叫做把线段黄金分割点叫做线段的黄金分割点其中即简记为长短全长注黄金三角形顶角是的等腰三角形黄金矩形宽与长的比等于黄金数的矩仍成立如等等等比性质如果那么知识点比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线所截得

15、的对应线段成比例已知可得或或或或等特别在三角形中由可得或或知识点相似三角形的概念定义对应角相等对应边成知识点二、相似三角形的判定 典型例题 例 1、如图，CD是 RtABC斜边上的中线，过点 D垂直于直线 AB的直线交 BC与点 F，交AC的延长线于点 E，求证：DFDECD2 例 2、在ABC 中，AD 是BAC 的外角平分线，CEAB，求证ACADDEAB 例 3、如图，在ABC中，AD是角平分线，E 是 AD上的一点，且 CE=CD，求证：ADACAEAB 例 4、已知，如图，在ABC中，C=600，AD BC于 D，BE AC于 E，试说明CDE CBA。FABECDABCDEFABC

16、DEA B C D E 的是相似三角形如果两个边数相同的多边形的对应角相等对应边成比例这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数知识点比例线段的相关概念比例的性质定义在四条线段中如果和的比等于和的比那内项交换外项同时交换内外项核心内容黄金分割把线段分成两条线段且使是和的比例中项即叫做把线段黄金分割点叫做线段的黄金分割点其中即简记为长短全长注黄金三角形顶角是的等腰三角形黄金矩形宽与长的比等于黄金数的矩仍成立如等等等比性质如果那么知识点比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等特别在三角形中由可得或或知识点相似三角

17、形的概念定义对应角相等对应边成课后自我练习 1.如图，在ABC中，AD为中线，CF为任意直线且交 AD于点 E，交 AB于点 F，求证：EDAE=FBAF2 2.如图，已知ABACBCADAEDE，试说明：AB EC AC BD。3.在ABC中，M是 AC边的中点，且 AE=41BA，连接 EM，并延长交 BC的延长线于 D，求证:BC=2CD ABCDEEDBCAF的是相似三角形如果两个边数相同的多边形的对应角相等对应边成比例这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数知识点比例线段的相关概念比例的性质定义在四条线段中如果和的比等于和的比那内项交换外项同时交换内外项核

18、心内容黄金分割把线段分成两条线段且使是和的比例中项即叫做把线段黄金分割点叫做线段的黄金分割点其中即简记为长短全长注黄金三角形顶角是的等腰三角形黄金矩形宽与长的比等于黄金数的矩仍成立如等等等比性质如果那么知识点比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等特别在三角形中由可得或或知识点相似三角形的概念定义对应角相等对应边成4.已知，如图，F为 ABCD 边 DC延长线上一点，连结 AF，交 BC于 G，交 BD于 E，试说明 AE2=EG EF 5、已知：在ABC中，BAC=900 AD BC于 D，P 为 AD中点，BP延长线交 AC于 E

19、，EFBC于 F，求证：EF2=AE AC A B C F G E D 的是相似三角形如果两个边数相同的多边形的对应角相等对应边成比例这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数知识点比例线段的相关概念比例的性质定义在四条线段中如果和的比等于和的比那内项交换外项同时交换内外项核心内容黄金分割把线段分成两条线段且使是和的比例中项即叫做把线段黄金分割点叫做线段的黄金分割点其中即简记为长短全长注黄金三角形顶角是的等腰三角形黄金矩形宽与长的比等于黄金数的矩仍成立如等等等比性质如果那么知识点比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等特别在三角形中由可得或或知识点相似三角形的概念定义对应角相等对应边成