高等数学教案常微分方程高等教育微积分高等教育微积分.pdf

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1、 高等数学教案常微分方程 微分方程:凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方程的阶数.线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程 在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程 微分方程的解:如果把函数代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.初始条件与特解:用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值

2、作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解线性相关与线性无关:设是定义在区间内的函数，若存在两个不全为零的数，使得对于区间内的任一，恒有 成立，则称函数在区间内线性相关，否则称为线性无关 显然，函数线性相关的充分必要条件是在区间内恒为常数.如果不恒为常数，则在区间内线性无关.独立的任意常数:在表达式(,为任意常数)中,为独立的任意常数的充分要必要条件为,线性无关.二、微分方程的基本概念定义形如的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是的函数，另一个仅是的函数，即分别是变量的已知连续函数.求解方

3、法可分离变量的微分方程的求解方法,一般有如下两步:第一步:分离变量，第二步:两边积分 第三步:计算上述不定积分，得通解.例 2 求的通解 分离变量得,两边积分得 求积分得 所以,即,方程通解为（为任意常数）.例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶时的速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系.解设降落伞下落速度为时伞所受空气阻力为（负号表示阻力与运动方向相反，为常数）另外，伞在下降过程中还受重力作用，故由牛顿第二定律得且有初始条件：于是，所给问题归结为求解初值问题 对上述方程分离变量得,两边积分得 可得 整理得 由初始条件得，即，故所求特解为 进行作业爱好保洁车扫

4、把等工具并妥善保管合理使用遵循安全第一规范作业文明用语服务至上的原则服从领导听从指挥和调动努力完成各项工作任务作业前必须统一着装检查清扫工具是否齐全检查电源轮胎和刹车是否能上路作业严的路面要彻底干净路面不得有废弃物和积水晚上下班时间安排供销路和区政府周围路段到点其余路段到不迟到旷工全时巡回保洁发现迟到一次罚款元旷工一天罚款元机型作业扫不到位的地方及停车位公交站要及时清理路面上的土按不准穿熟料鞋底鞋严禁扎堆聊天不得脱岗或间断保洁扎堆聊天脱岗发现一次罚款元工作时必须遵守交通法规按道路顺序方向清扫保洁注意来往车辆需欢迎共阅不准在工作期间捡废品保洁车辆不准乱挂其它物品不准用保洁车坐人带人 由此可见，随

5、着的增大，速度变大且趋于常数，但不会超过，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动 第二课时教学过程一阶线性微分方程 定义：形如的方程,称为一阶线性方程,其中为已知函数.当时,有称其为齐次线性方程；当时,称为非齐次线性方程.一阶线性微分方程的解法（1）先求齐次线性方程的解，分离变量得 两边积分得 即（2）常数变易法求非齐次线性方程的通解 令为非齐次线性方程的解,代入得，即.将代入得通解为上式称为一阶线性非齐次程的通解公式。上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤为：（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；（2）根据所求出的齐次方程的通解设

6、出非齐次线性方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数 C改为待定函数)即可.（3）将所设解代入非齐次线性方程,解出,并写出非齐次线性方程的通解.例 1 求方程的通解.解原方程变形为(1)此方程为一阶线性非齐次方程.首先对(1)式所对应的齐次方程求解(2)方程(2)分离变量得 两边积分得,即 进行作业爱好保洁车扫把等工具并妥善保管合理使用遵循安全第一规范作业文明用语服务至上的原则服从领导听从指挥和调动努力完成各项工作任务作业前必须统一着装检查清扫工具是否齐全检查电源轮胎和刹车是否能上路作业严的路面要彻底干净路面不得有废弃物和积水晚上下班时间安排供销路和区政府周围路段到点其余路段到不迟到旷工

7、全时巡回保洁发现迟到一次罚款元旷工一天罚款元机型作业扫不到位的地方及停车位公交站要及时清理路面上的土按不准穿熟料鞋底鞋严禁扎堆聊天不得脱岗或间断保洁扎堆聊天脱岗发现一次罚款元工作时必须遵守交通法规按道路顺序方向清扫保洁注意来往车辆需欢迎共阅不准在工作期间捡废品保洁车辆不准乱挂其它物品不准用保洁车坐人带人 进行作业爱好保洁车扫把等工具并妥善保管合理使用遵循安全第一规范作业文明用语服务至上的原则服从领导听从指挥和调动努力完成各项工作任务作业前必须统一着装检查清扫工具是否齐全检查电源轮胎和刹车是否能上路作业严的路面要彻底干净路面不得有废弃物和积水晚上下班时间安排供销路和区政府周围路段到点其余路段到不迟到旷工全时巡回保洁发现迟到一次罚款元旷工一天罚款元机型作业扫不到位的地方及停车位公交站要及时清理路面上的土按不准穿熟料鞋底鞋严禁扎堆聊天不得脱岗或间断保洁扎堆聊天脱岗发现一次罚款元工作时必须遵守交通法规按道路顺序方向清扫保洁注意来往车辆需欢迎共阅不准在工作期间捡废品保洁车辆不准乱挂其它物品不准用保洁车坐人带人