圆锥曲线知识题型总结中学教育高考中学教育高考.pdf

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1、高二选修 1圆锥曲线知识点及典型例题总结 1.圆锥曲线的定义：椭圆中，与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a|F1F2|不可忽视。若2a|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹 中 是

2、 椭 圆 的 是 A 421PFPF B621PFPF C1021PFPF D122221PFPF（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_ 如已知点)0,22(Q及抛物线42xy 上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_ _ 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab）焦点在y轴上时2222bxay1（0ab）。如（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为_ （2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax=1，焦点在y轴上：2222bxay1（0,0ab

3、）。如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_ （2）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线 C 过点)10,4(P，则 C 的方程为_ （3）抛 物 线：开 口 向 右 时22(0)ypx p，开 口 向 左 时22(0)ypx p，开 口 向 上 时22(0)xpy p，开 口 向 下 时22(0)xpy p。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一

4、次项的坐标轴上，一次项的符号决定焦点具体位置及开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭 圆（以12222byax（0ab）为 例）：范 围：,axabyb ；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),

5、(0,)ab，其中长轴长为 2a，短轴长为 2b；准线：两条准线2axc；离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若 椭 圆1522myx的 离 心 率510e，则m的 值 是 _ _ （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_ （2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：范围：xa 或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a，实轴长为 2a，虚轴长为 2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 x

6、yk k；离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。如（1）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于_ （2）双曲线221axby的离心率为5，则:a b=（3）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率 e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_ （3）抛物线（以22(0)ypx p为例）：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线2px ；离心率：cea，抛物线1e。如设Raa,0，则抛物线24

7、axy 的焦点坐标为_ 5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；（3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab 6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，

8、故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。小数乘整数的计算方法小数乘整数先按整数乘法的计算方法计算再看因数中有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点积的小数末尾有的把去掉小数乘法的计算方法把小数乘法转化为整数乘法进行计算看因数中共有几位小数就积比原来的数大一个数除外乘小于的数积比原来的数小求积的近似数的方法用四舍五入法求积的近似数首先明确要保留的小数位数再看保留的小数位数下一位的数字若大于或等于向前一位进一若小于舍去积的近似数进一法收尾法去往右的顺序依次运算乘加乘减运算顺序无括号的先算乘法再算加减有括号的先算括号里面的再算括号外面的整数乘法运算律对于小数乘法同样适用应用乘法运算律

9、可以使一些计算简便整数乘法运算定律推广到小数加法加法交换律加如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k的取值范围是_；（2）直线 ykx1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则 m 的取值范围是_ （3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB 4，则这样的直线有_条 （2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,

10、直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条

11、平行于对称轴的直线。如（1）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_ （2）过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ （3）求椭圆284722 yx上的点到直线01623 yx的最短距离 7.圆锥曲线上的点 P到焦点 F 的距离的计算方法：（1）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（2）若该抛物线上的点M到焦点的距离是 4，则点M的坐标为_ （3）抛物线xy22上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到y轴的距离为_ 小数乘整数的计算方法小数乘整数先

12、按整数乘法的计算方法计算再看因数中有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点积的小数末尾有的把去掉小数乘法的计算方法把小数乘法转化为整数乘法进行计算看因数中共有几位小数就积比原来的数大一个数除外乘小于的数积比原来的数小求积的近似数的方法用四舍五入法求积的近似数首先明确要保留的小数位数再看保留的小数位数下一位的数字若大于或等于向前一位进一若小于舍去积的近似数进一法收尾法去往右的顺序依次运算乘加乘减运算顺序无括号的先算乘法再算加减有括号的先算括号里面的再算括号外面的整数乘法运算律对于小数乘法同样适用应用乘法运算律可以使一些计算简便整数乘法运算定律推广到小数加法加法交换律加8.椭圆或双曲线上的一点与

13、两焦点所构成的三角形问题：常利用定义和正弦、余弦定理求解。如（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于 A、B 两点，则2ABF的周长为_ （2）设 P 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212 FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （3）椭圆22194xy的焦点为 F1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2 PF1 0 时，点 P 的横坐标的取值范围是 （4）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e26，F1、F2是它的左右焦点，若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点，且AB是2AF与2BF等差中项，则AB_

14、 （5）已知双曲线的离心率为 2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021 PFF，31221FPFS求该双曲线的标准方程 9.弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点 A、B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则AB22121 214kxxxx，若12,y y分别为 A、B 的纵坐标，则AB212122114yyy yk，特别地，抛物线的焦点弦（过焦点的弦）一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦用定义转化后求解。过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若 x1+x2=6，那么|AB|等于_ 10.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦

15、问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。如（1）如果椭圆221369xy弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （2）已知直线 y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_ 小数乘整数的计算方法小数乘整数先按整数乘法的计算方法计算再看因数中有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点积的小数末尾有的把去掉小数乘法的计算方法把小数乘法转化为整数乘法进行计算看因数中共有几位小数就积比原来的数大一个数除外乘小于的数积比原来的数小求积的近似数的方法用四舍五入法求积的近似数首先明确要保留的小数位数再看

16、保留的小数位数下一位的数字若大于或等于向前一位进一若小于舍去积的近似数进一法收尾法去往右的顺序依次运算乘加乘减运算顺序无括号的先算乘法再算加减有括号的先算括号里面的再算括号外面的整数乘法运算律对于小数乘法同样适用应用乘法运算律可以使一些计算简便整数乘法运算定律推广到小数加法加法交换律加 11.常见结论 （1）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0）。如与双曲线116922yx有共同的渐近线，且过点)32,3(的双曲线方程为_ （2）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的

17、步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立,x y之间的关系(,)0F x y；如已知动点 P到定点 F(1,0)和直线3x的距离之和等于 4，求 P的轨迹方程；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0）)0(m，端点 A、B 到 x轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点 P向圆221xy作

18、两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=600，则动点 P的轨迹方程为 （2）点 M与点 F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于 1，则点 M的轨迹方程是_ (3)一动圆与两圆M：122yx和N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为 相关点法：动点(,)P x y依赖于另一动点00(,)Q xy的变化而变化，并且00(,)Q xy又在某已知曲线上，则可先用,x y的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P是抛物线122 xy上任一点，定点为)1,0(A,点 M在 PA上且2PMMAuuuu ruuuu r，则 M的轨迹方程为_ 小

19、数乘整数的计算方法小数乘整数先按整数乘法的计算方法计算再看因数中有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点积的小数末尾有的把去掉小数乘法的计算方法把小数乘法转化为整数乘法进行计算看因数中共有几位小数就积比原来的数大一个数除外乘小于的数积比原来的数小求积的近似数的方法用四舍五入法求积的近似数首先明确要保留的小数位数再看保留的小数位数下一位的数字若大于或等于向前一位进一若小于舍去积的近似数进一法收尾法去往右的顺序依次运算乘加乘减运算顺序无括号的先算乘法再算加减有括号的先算括号里面的再算括号外面的整数乘法运算律对于小数乘法同样适用应用乘法运算律可以使一些计算简便整数乘法运算定律推广到小数加法加法交换

20、律加例：椭圆12422yx的左、右焦点分别为 F1，F2，直线l过 F2与椭圆相交于A、B 两点，O 为坐标原点.（1）当OBOA 时，求直线l的方程；（2）当OBOA与的夹角为 120时，求直线l的斜率 k 的值.解：（1）)2(),0,2(2xkylF的方程设直线 ),(),(2)(2),2(),2(21)1(4,2124),(),(0)1(424)21(:)2(0422211221221221221122212212211222222yxOByxOAkxxkxxkyyxkyxkykkxxkxxyxByxAkxkxkxkyyx又又则设得由 .,.2,02142,0,222121不垂直与不存

21、在时又当OBOAkkkkyyxxOBOAOBOAOBOA 所求直线方程为)2(2xy.（2）又,212,21222222121xyxy yxyxOBOA222121|22421161636kkk .210540122050422116163642|120cos242242kkkkkkkOBOAOBOA 2 小数乘整数的计算方法小数乘整数先按整数乘法的计算方法计算再看因数中有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点积的小数末尾有的把去掉小数乘法的计算方法把小数乘法转化为整数乘法进行计算看因数中共有几位小数就积比原来的数大一个数除外乘小于的数积比原来的数小求积的近似数的方法用四舍五入法求积的近似数首先明确要保留的小数位数再看保留的小数位数下一位的数字若大于或等于向前一位进一若小于舍去积的近似数进一法收尾法去往右的顺序依次运算乘加乘减运算顺序无括号的先算乘法再算加减有括号的先算括号里面的再算括号外面的整数乘法运算律对于小数乘法同样适用应用乘法运算律可以使一些计算简便整数乘法运算定律推广到小数加法加法交换律加