圆锥曲线综合计算中学教育高考中学教育高考.pdf

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1、 圆锥曲线计算能力专项训练 求 f(m)的最值.2 x 1.P、Q、M、N 四点都在椭圆 2 y 2 1 上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点已知 PF与FQ共 线，MF与FN共线，且PF?MF 0.求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.2.如图，设抛物线 c：y 2 X的焦点为 F,动点 P 在直线 0上运动，过P作抛物线 C 6.如图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y 8x的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点。的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.(I)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 I的方程;(1)求厶 APB 的重心 G 的轨迹方程(H)若

2、a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明(2)证明/PFA=Z PFB.2 2|FP|-|FP|cos2 a为定值，并求此定值。2 x-2 7.设椭圆a b2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2,A 是 3.已知方向向量为 v=(1,3)的直线 l过点(0，2 3)和椭圆 C:笃每 1(a a b 点，且椭圆 C 的中心关于直线 l的对称点在椭圆 C 的右准线上 (I)求椭圆 C 的方程；(H)是否存在过点 E(2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、N,满足OM ON /MON丰0(O 为原点)若存在，求直线 m 的方程；若不存在，请说明理由 b 0

3、)的焦 V6,cot 3 2 2 x y 2 2、4.已知椭圆 C：a+b=1(a b0)的左右焦点为 F1、F2，离心率为 e.直线 l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 I与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1关于直线 I的对称点,设AM=入AB.(I)证明：入=1 e2；(H)确定入的值，使得 PF1F2是等腰三角形.5.如图，已知椭圆 x2=1(2w mW 5),过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及其准线的交点从 椭圆上的一点,AF2 F2，原点O到直线AF1的距离为 t(，b)使得下述命题成立：设圆 点，则 OQ1 OQ2 左到右的顺序为 A、B、C

4、、D，设 f(m)=|AB|CD|(1)求 f(m)的解析式;F1(I)证明 a 2b；(n)求 2 t上任意点M(x0，%)处的切线交椭圆于Q1,Q2两 y（2）设P是“果圆”的半椭圆 b2 笃 1 C2（Xb0）和双曲线 2 x 2 a b2 1 的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上 不同于 A,B 的动点 且有 AP+BP=(AQ+BQ)(R,|1),设 AP,BP,AQ,BQ斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求 证:k1+k2+k3+k4为一个定值.17.如图，直线 y=2 x 与抛物线 ynBx2 4 交于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与直线 y=5 交于 Q 点 （

5、1）求点 Q 的坐标；（2）当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方（含点 A、B）的动点时，求厶 OPQ 面积 的最大值.2 18.在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x 2 py（P 0）相交于A,B两 点.（I）若点N是点C关于坐标原点0的对称点，求 ANB面积的最小值；（II）是否存在垂直 于y轴的直线I，使得I被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 I的方程；若不存 在，说明理由.面积的最小值和最大值如图设抛物线的焦点为动点在直线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求厶的重心的轨迹方程证明上运动过作抛物线如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两

6、点求抛物线的焦点的坐标及准线的直线过点和椭圆笃每的焦椭圆上的一点原点直线的距离为证明求点且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上求椭圆的方程使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于两是否存在过点的直线交椭圆于点满足丰为原点圆的一个公共点是点关于直线的对称点设入证明入确定入的值使得是等腰三角形如图已知椭圆过其左焦点且斜率为的直线与椭圆及其准线的交点从左右的顺序为设求的解析式设是果圆的半椭圆笃上任意一点求证当取得最小值时在平 1.(05 全国卷 2)1 X1 X1 2.解:(1)设切点 A、B 坐标分别为 2 2(X,Xo)和(Xi,Xi)(X1 Xo),所以 P 点到直线 BF 的距离为

7、：d2 切线AP 的方程为:2XOX y 2 X0 0；/2(Xi(Xi)2(2 1、|Xi|(Xi-)-4 2 2 1 Xi 4|Xi|切线 BP 的方程为:2X1X y 2 X1 0；所以 di=d2,即得/AFP=Z PFB.解得 P 点的坐标为:XP X0 X-Fyp X0X1 当 X1X0 0时，直线 AF 的方程:2 1 X。4 0 X0 2(X 0),即(X0 1 7)X Xoy 1 2X0 0,所以 APB 的重心 G 的坐标为XG X Xi XP Xp,直线 2 y0 yi yp x y 2 Xi X0X1 3(X0 Xi)2 XoX1 4Xp2 yp 3 所以 所以yp 3

8、yG 2 4XG，由点 P 在直线 I上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:d1 X(3y 4X2)(2)方法 1:因为 2 0,即 y(4x2 3 FA(x,x。2：),FP 4 X 2).产,xxi)FB(Xi,Xi2 由于 P 点在抛物线外，则|FP|0._ _ X0 Xi FP FA 2 -cos AFP 2|FP|FA|1 2 1 X0(X0X1-)(X0-)_ 4 4 I 2 2 1 2|FP|,X。(X0)2 4 1 4|FP|X0X1 同理有cos BFP FP FB X0 X1 2/AFP=/PFB.方法 2:当X1X0 I FP|FB|X1(X0X1 丄)&12 4 _

9、A:2 2 I FP L Xi(Xi 0时，由于X1 点到直线 AF 的距离为：d1 2 1 1 即(捲)X X-I y X1 4 4 BF 的方程：y 1 4 Xi P 点到直线 AF 的距离为:2 1 0),即(x；)X X1 y 4 2 i X0 X1 2 1 1(x0-)(0-)X0 X-X0I 4 2 4 1 2 2)X0 4 I 2(X0 到直线 BF 的距离d2|X1 X0 I，因此由 0,X0 Xi 2-)(X0 2 2 X0 3.(I)解法一：直线l:y 3 解得X.椭圆中心 2 寸)1 4|FP|X0X1 x,不妨设 X0 0,则 y 0,所以 号;而直线BF的方程：y 4

10、 2 X1 X1 P点坐标为 QQ，则P 4X,)I Xo X1|d1=d2，可得至U/AFP=Z PFB.3X 2 3,过原点垂直I的直线方程为y(0,0)关于直线I的对称点在椭圆 C 的右准线上,直线I过椭圆焦点，该焦点坐标为(2,0).c 2,a2 6,b2 2.故椭圆 x2，同理可得到 P 点 2 y 2 C 的方程为 1.解法二：直线l:y、3X 3 3.设原点关于直线l对称点为(p,q),则 2 3 解得 p=3.T椭圆中心(0,0)关于直线l的对称点在椭圆 C 的右准线上,面积的最小值和最大值如图设抛物线的焦点为动点在直线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求厶的重心的轨迹方程证明

11、上运动过作抛物线如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两点求抛物线的焦点的坐标及准线的直线过点和椭圆笃每的焦椭圆上的一点原点直线的距离为证明求点且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上求椭圆的方程使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于两是否存在过点的直线交椭圆于点满足丰为原点圆的一个公共点是点关于直线的对称点设入证明入确定入的值使得是等腰三角形如图已知椭圆过其左焦点且斜率为的直线与椭圆及其准线的交点从左右的顺序为设求的解析式设是果圆的半椭圆笃上任意一点求证当取得最小值时在平 2 直线l过椭圆焦点，该焦点坐标为(2,0).c 2,a 2 6,b 2.故椭圆 C 解法二：设 M

12、(x1,y1),N(x2,y2).当直线 m 不垂直x轴时，直线m:k(x 2)代入,整理得 2 的方程为!_ 6 2 1.2(3k2 1)x2 12k2x 12k2 6 0,Xi X2 12k2 3k2 1(II)解法一:设 M(Xi,yi),N(X2,y2).当直线 m 不垂直x轴时，直线m:y k(x 2)代入，整理得(3k2 2 2 2 1)x 12k x 12k 6 0,xi x2 12k2 3k2 1,Xi X2 12k2 3k2 E(-2,0)是椭圆|MN|=|ME|+|NE|2=e(-xi)c 以下与解法一相同.C 的左焦点,2 a c e(X2)(Xi c a X2)2a 2

13、6 12k2 3k2 1 2 6(k2 1)3k2 1|MN|1 k2(xi x2)2 4xix2 i 2-2 12k2 2 k2.(2)2 3k2 1,12k2 6 42 3k2 1 2 6(1 k2)解法三：设 M(xi,yi)，N(X2,y).3k2 1 设直线 x ty 2，代入，整理得(t2 3)y2 4ty 2 0.点 O 到直线 MN 的距离d 4i|2k|_ k2 yi y2 4t 2 厂，沖2严,4 OM ON 3 6cot MON,即|OM|ON|cos MON 4 cos MON 3 6 sin MON 0,I yi y21.(yi y2)4y2(4t|OM|ON|sin

14、 MON 4.6 3 S OMN -6.|MN|d 3 即 4 6|k|.k2 4 L 2.6(3k 3 1).整理得 k2 3,当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 OMN 2 6.3/1 丿 J 46,-4 OM ON-：6cot 3 MON,即|OM 故直线 m 的方程为y 2 3,或 x 2.经检验上述直线均满足 OM ON 0.|OM|ON|sin S OMN S OEM 2422.(t 解得t 故直线 m MON S OEN 3,或t 的方程为 所以所求直线方程为 3 y孑X，或y 3 2、3 0.经检验上述直线方程为 4 6,3 OMN 3)2 8 t2 2 24t 24 2 2.

15、(t 3)|ON|cos MON 4-cos MON 3 6 sin MON 1 訐E|整理得t4.3 23 x 3|yi y2 24t2 24(t2 3)2.3t2.3X=或 x 2.OM ON 0.面积的最小值和最大值如图设抛物线的焦点为动点在直线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求厶的重心的轨迹方程证明上运动过作抛物线如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两点求抛物线的焦点的坐标及准线的直线过点和椭圆笃每的焦椭圆上的一点原点直线的距离为证明求点且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上求椭圆的方程使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于两是否存在过点的直线交椭圆于点满足丰

16、为原点圆的一个公共点是点关于直线的对称点设入证明入确定入的值使得是等腰三角形如图已知椭圆过其左焦点且斜率为的直线与椭圆及其准线的交点从左右的顺序为设求的解析式设是果圆的半椭圆笃上任意一点求证当取得最小值时在平 a a c e e b2 a 即a-时，即当 3 PF1F2为等腰三角形.解法二：因为 PF1丄 I，所以/PF1F2=90+/BAF1为钝角，要使 PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F 1F2I,设点 P 的坐标是(X，y。),y。0 1 e2 3 x 2 c,x c e 解得 e 1 y0 0 x c 2(1 e2)a e a.y0 2 则 2 2 e 1 (622 3)c

17、c2 2(12 e)a 2 2 4c 由|PF1|=|F 1F2|得 e 1 e 1 所以所求直线方程为 y 3x 2-,或y 3 3 2 22,或x 2.3 3 1 e2 e.2 e 所以 1 e2(a,0),(0,a).由 y ex a,x c,2 x 2 y 得 b2这里 c 2 2-a b e 2 2 1,y -.是 a b c b2 a b a c,AM AB 得(c,)(,a)所以点 M 的坐标是(a).由 e a e 因为 A、B 分别是直线 I:y ex a与 x 轴、y 轴的交点，所以 A、B 的坐标分别 证法二：因为 A、B 分别是直线 I:y ex a与 x 轴、y 轴的

18、交点，所以 A、B 的坐标分别是 a,0),(0,a).e 设 M 的坐标是 Em由AM AB 得(x。-,yo)e(a,a),e (e2 1)2 2 2 1 2 e.e.两边同时除以 4a2,化简得 e 1 从而 3 2 2 2 1 1 e 于是 3 即当 3 时，PF1F2为等腰三角 所以 X。yo a(e 2 a e(1)a.1)2(a)2 b2 因为点 M 在椭圆上，所以 1,所以斗 e 1.2 2(1)e(1)2 0,2 解得e(n)解法一：因为 PF1 丄 l,有|PF1|=|F1F2|，即 2|C.设点 F1到 I的距离为 d,2 X。2 a 2 y。b2 1,5.(1)设椭圆的

19、半长轴、半短轴及半焦距依次为 a、b、c,则 a2=m,b2=m 1,c2=a2 b2=1 椭圆的焦点为 F1(1,0),F2(1,0).2 故直线的方程为 y=x+1,又椭圆的准线方程为 x=，即 x=m.c A(m,m+1),D(m,m+1)所以/PF1F2=9O +Z BAF1为钝角，要使 PF1F2为等腰三角形，必 y x 1 考虑方程组 x2 y2 m m 1,消去 y 得：(m 1)x2+m(x+1)2=m(m 1)1 1 严|由|e(c)0 a|a ec|.：2 1 e 整理得：(2 m 1)x2+2mx+2m m2=0 A=4m2 4(2m 1)(2m m2)=8m(m 1)2

20、/2 0 恒成立，XB+XC=迥 2m 1 又 A、B、C、D 都在直线 y=x+1 上|AB|=|XB XA|=-2=(XB XA)-2,|CD|=、2(XD xc)r|AB|CD|=i 2|xB XA+XD Xc|=、2|(XB+XC)(XA+XD)|4.(I)证法 解得 1 e2 面积的最小值和最大值如图设抛物线的焦点为动点在直线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求厶的重心的轨迹方程证明上运动过作抛物线如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两点求抛物线的焦点的坐标及准线的直线过点和椭圆笃每的焦椭圆上的一点原点直线的距离为证明求点且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上求椭圆

21、的方程使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于两是否存在过点的直线交椭圆于点满足丰为原点圆的一个公共点是点关于直线的对称点设入证明入确定入的值使得是等腰三角形如图已知椭圆过其左焦点且斜率为的直线与椭圆及其准线的交点从左右的顺序为设求的解析式设是果圆的半椭圆笃上任意一点求证当取得最小值时在平 又XA=m,xD=m,.XA+XD=0|AB|-|CD|=|XB+XC|2=|竺|-.2=(2 w mW 5)1 2m 2m 2,2m 令 y=0,得 P 的横坐标 xP 2k2 4 Hk p 故 f(m)=2、2m,m 2,5.2m,2V2m 由 f(m)=2m 4(k2 1)|FP|&2 I 4 s

22、in2 a 242，可知 f(m)=2 m 从而|FP|FP|cos2a 4(1 cos 2 a)sin a 2 4-2sin a 2 8 为定值。sin a 7.(I)证法一：由题设 AF2 F1F2及 Fi(c,0),F2(C,0)，不妨设点 A(c,y)，其中 1 1 1 又 2 w 2 w 2-2 m 10、2.f(m)一 9 故 f(m)的最大值为 4 2：3 4.2 2 c y 0，由于点A在椭圆上，有 a 1,2.2 a b 2 a，此时 3(21)图作 m=2;f(m)的最小值为10 2，此时 m=5.解得 6.(n)解法一：如图 I FA|=|Fq,|FB=|BD|.记 A、

23、B 的横坐标分别为 Xxxz,贝U AC 丄 I,BD 丄 I,垂足为 9 C D,则由抛物线的定义知 b2 y，从而得到 a b2 A c,，直线AF2的方程为 a y 夕(x 2ac c)，整理得|FA|=|AC|=Xx P|FA|cosa-2 2|FA|cos a 4 解得|FA|FB|cosa，解得|FB|4 0 1 cosa b2x 2 2acy b c 0.c 3 一 一2，将 2 2 4a c 1 由题设，原点 0到直线AF1的距离为丄OF1 3 c2 a2 b2代入原式并化简得 a2 2b2，即 证法二：同证法一，得到点 记直线 m 与 AB 的交点为 E,贝U|FA|FB|2

24、|FE|FA|AE|FA|1-(I FA|FB|)cosa 4 1 cosa 4 cosa.2-sin a 以|FP|匹 cosa 4.2 0 sin a 故|FP|FP|cos 2a 解法二：设 A(XA，yA),4(1 cos2a)sin a B(XBB)，直线 2 4-2 sin a&sin2 a AB 的斜率为 k BO F2A 0F1 F1A tana 将此式代入 y2 8x，得 k2x2 4(k2 2)x 4k2 0，故 XA XB，则直线方程为 k(k2 2)Hk1 k(x 2)。由椭圆定义得 AF1 AF2 F2A F2A 记直线 m 与 AB 的交点为 2 2(k 2)k2

25、XE XA XB 2 yE k(xE 2)故直线m的方程为y 4 E(XE，E)，则 F1A 2a|F2A(n)解法一：圆 x2 当t(0,b)时，圆x2 2k2 b2 A的坐标为 c,一,过点O作OB AF1，垂足为，解得F2A，而F2A 2-，即 a.2 2 2 2 y t上的任意点M(x。，y。)处的切线方程为xx yy t.y2 t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点 A处的切线必交椭圆于两个 不同的点Q1和Q2，因此点Qdx1,%),Q2(X2,y2)的坐标是方程组 面积的最小值和最大值如图设抛物线的焦点为动点在直线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求厶的重心的轨迹方程证明上运动过作抛

26、物线如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两点求抛物线的焦点的坐标及准线的直线过点和椭圆笃每的焦椭圆上的一点原点直线的距离为证明求点且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上求椭圆的方程使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于两是否存在过点的直线交椭圆于点满足丰为原点圆的一个公共点是点关于直线的对称点设入证明入确定入的值使得是等腰三角形如图已知椭圆过其左焦点且斜率为的直线与椭圆及其准线的交点从左右的顺序为设求的解析式设是果圆的半椭圆笃上任意一点求证当取得最小值时在平 .2 X0X yy t 2 X 2y2 2b2 的解.当yo 0时，由式得 b2 X2.2 代入式,t2 X0X

27、 2 2 2 2 2 2 2b,(2x0 y0)x 4t X0X 4 2 2 2t 2b y0 0,Xi yo yo b2 2 c|PM|2的最小值只能在x 0或x c处取到.X2 4t2X0 2x；2 y。XX2 2t4 2b2yo 2x 2 y。y2 t2 x0 xt2 X1X2 y1 即当 PM 取得最小值时，P在点 Bi,B2或Ai处.yo(3)|AiM|MA21，且Bi和B2同时位于“果圆”的半椭圆 yrt xt2(X1 X2)2 X0X1X2 1 y0 t4 4t2X0 X0t 2 2 2x0 y x2 2t4 2b2y2 X0 2 2 2X0 y t4 2b2 2x0 y0 2

28、X 2 a _y_ 2 b 1(x 0)和半椭 若OQ1 OQ2，则 X1X2 2t4 2x 2 2 2b y y。-4 2 2 t 2b X0 2 2-2x0 y 3t4 2b2(x0 y0)2 圆笃 b 上的情形即可.(x 0)上,所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆 所以，3t4 2b2(x：yf)0.由 x：y0 t2，得 3t4 2b2t2 2 2 2x0 y 2|PM|0.在区间（0,b）内此方程的解 当y 0时，必有X0 0,同理求得在区间（0,b）内的解为t弓b.2 c 2 a a2(a c)2c2 b2(a c)2 4 a2(a c)2 4c2 另一方面，当 t丄

29、6 b时，可推出X1X2 y”2 0,从而0Q1 3 综上所述，t fb(0,3 b）使得所述命题成立.8 解：（1）F0(c,0)，F1 0,F2 0,b2 F0F2 b2 1,F1F2 2,b2 OQ2.2c2 此时P的横坐标是 2/t a(a 当x 2 2c2 即 a 2c 时，|PM|2的最小值在 a2（a c）e”石厂时取到,a2(a c)2c2 c)a，即a 2c时，由于|PM|2在x a时是递减的，|PM|2的最小值在 x a时取到，此时 P的横坐标是a.综上所述，若 a 0),y2#x2 1 3(x 0).|PM|取得最小值时，点 P的横坐标是a或 c.(2)设 P(x,y)，

30、则 2 9.（I）解法一：设 A,B两点坐标分别为 W,y1,专,y2，由题设知|PM|2 2 2 y1 2 2 2 y1 2 2 y1 y2 2(y1 y2)2.面积的最小值和最大值如图设抛物线的焦点为动点在直线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求厶的重心的轨迹方程证明上运动过作抛物线如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两点求抛物线的焦点的坐标及准线的直线过点和椭圆笃每的焦椭圆上的一点原点直线的距离为证明求点且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上求椭圆的方程使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于两是否存在过点的直线交椭圆于点满足丰为原点圆的一个公共点是点关于直线的对称

31、点设入证明入确定入的值使得是等腰三角形如图已知椭圆过其左焦点且斜率为的直线与椭圆及其准线的交点从左右的顺序为设求的解析式设是果圆的半椭圆笃上任意一点求证当取得最小值时在平 解得 yi2 y；i2,2 2 2 2 di d2 2did2 cos2(di d2)4did2sin 所以 A(6,2、3),B(6,2、3)或 A(6,2、3),B(6,2、3).(di d2)2 4 4 2 设圆心C的坐标为（r,0），则r 3 6 4，所以圆C的方程为 2 2(x 4)y 解法二：设A,B两点坐标分别为(xi,yi),(X2,y2)，由题设知 di d2 2.（小于2的常数）故动点P的轨迹C是以Fi,

32、F2为焦点，实轴长2a 2.i 的双曲线.2 2 方程为亠丄i.i 2 2 2 xi yi X2 2 y2.(2)方法一：在 AFiB 中，设 AFi di,AF2 d BFi da,BF2 d4.1 I 2 2 又因为yi 2xi,y2 2x2，可得 2 2 xi 2xi x2 2x2.即 假设 AFiB为等腰直角三角形，则(xi x2)(xi x2 2)0.故A B两点关于x轴对称，所以圆心 C在x轴上.di da 设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为 r,色 r，于是有 r 2 2 2 2 3 3r，解得r 4，所以 2 da di 2a|2a|d2-2d a d2 d4 d4 圆C的

33、方程为(x 4)2 y2 i6.dad4 sin2 n I(II)解：设 ECF 2a，则 CE|CF|CE|C?|2 cos2 i6cos 2 32cos i6.由与得d2 2a,di 在 RtA PCE 中，cos x，由圆的几何性质得|PC|PC|则da 4a 2,2a|PC|MC|i 所以丄 cos 2十 8 CEICF|MC|i 7 i 6,由此可得 16，最小值为 8.9 ii.解：(i)在厶 PRF2 中，FiF2 2 d4 由得 ds 2a dad4 2(8 2 2 i)a i2 2(0,)面积的最小值和最大值如图设抛物线的焦点为动点在直线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求厶

34、的重心的轨迹方程证明上运动过作抛物线如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两点求抛物线的焦点的坐标及准线的直线过点和椭圆笃每的焦椭圆上的一点原点直线的距离为证明求点且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上求椭圆的方程使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于两是否存在过点的直线交椭圆于点满足丰为原点圆的一个公共点是点关于直线的对称点设入证明入确定入的值使得是等腰三角形如图已知椭圆过其左焦点且斜率为的直线与椭圆及其准线的交点从左右的顺序为设求的解析式设是果圆的半椭圆笃上任意一点求证当取得最小值时在平 故存在 屮 满足题设条件.（2）设过 Q 的切线为 y yi ki x/c y

35、2x，所以 ki 2X，即 方法二：（1）设 AFiB为等腰直角三角形，依题设可得 2 2xix 2xi yi 2 2xix xi，它与y c的交点为 c 2x-c，又 AFAFsi 2 n in 8 AFJ AF2 BFi IBF2|sin2 n 1 1 4 厶2 n.2 i cos_ 4 yi y2 k2 T c，所以 k Q 2,c，因为XiX2 C,所以为 c X2，所以 BFi|BF2 Xi X2 AFJ AF2 sin n 则 SA AF1B(2 12)i)，SA BFiF2 2 BFi J BF2，所以点 M 和点 Q 重合,也就是 QA 为此抛物线的切线。k 2,c，因为 PQ

36、 k x轴，所以P尹因为2 X X2 k 2，所以 P 为 AB 的中点。由 SAABF?SA BFi F2 AF2 BF2 2 i，可设 BF2 i2.解：设圆心坐标为（m,n）（m0）,则该圆的方程为（X-m）2+（y-n）2=8 已知该圆与直线 y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则AF2(近 i)d,BFi AB(2 m n=2、2、2 则 SA AFiB 2AB!(2架2 即 m n=4 由得（2、2）d2 平方得：C2 i）2d2 由消去d可解得,2.BF2 2a 2 Ji 4(i)i2 22 根据双曲线定义 BFi 可得,仃(2 i)d 2i 又圆与直线切于原点，将

37、点（0,0）代入得 m?+n2=8 联立方程和组成方程组解得 i2 解：（i）设过 C 点的直线为y kX c，所以 A x,%,B X2,y2,_ Xi,yi OB X2,y2 XiX2 y2 2，即 XiX2 kxi c kx2 所以 c k2c kc|k c2 2 2，即c i2 2 2满足题设条件.i7 故圆的方程为（X+2）2+（y-2）2=8（2）a=5,.a2=25，则椭圆的方程为 2 X 25 kx，因为 XiX2 2 0,所以c OA OB 2，即X 2，所以 2 k XiX2 kc Xi X2 2 舍去 c i kx 0，设 其焦距c-.25 9=4,右焦点为（4,0），那

38、么 OF=4。要探求是否存在异于原点的点 Q,使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF的长度 4，我们可以转化为 探求以右焦点 F 为顶点，半径为 4 的圆（X 4）2+y2=8 与所求的圆的交点数。4 i2 通过联立两圆的方程解得 x=,y=一 5 5 4 i2 即存在异于原点的点 Q（,），使得该点到右焦点 F 的距离等于OF的长。5 5 面积的最小值和最大值如图设抛物线的焦点为动点在直线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求厶的重心的轨迹方程证明上运动过作抛物线如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两点求抛物线的焦点的坐标及准线的直线过点和椭圆笃每的焦椭圆上的一点原点直线的距离为证明求点且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上求椭圆的方程使得下述命题成立设圆上任意点处的切线交椭圆于两是否存在过点的直线交椭圆于点满足丰为原点圆的一个公共点是点关于直线的对称点设入证明入确定入的值使得是等腰三角形如图已知椭圆过其左焦点且斜率为的直线与椭圆及其准线的交点从左右的顺序为设求的解析式设是果圆的半椭圆笃上任意一点求证当取得最小值时在平